Номер 96, страница 70 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Представьте в виде корня выражение:

1) $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[3]{2}$;

2) $\sqrt[8]{a} \cdot \sqrt[12]{b}$;

3) $\frac{\sqrt[15]{a^4}}{\sqrt[5]{b^7}}$;

4) $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{5}}{\sqrt[6]{10}}$;

5) $\sqrt[3]{a\sqrt[5]{a}} \cdot \sqrt[5]{a^2}$.

1) Чтобы представить выражение $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[3]{2}$ в виде одного корня, необходимо привести корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 4 и 3 равно 12. Для приведения к общему показателю воспользуемся свойством $\sqrt[n]{x} = \sqrt[n \cdot k]{x^k}$.
Приведем первый множитель к показателю 12:
$\sqrt[4]{2} = \sqrt[4 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[12]{8}$
Приведем второй множитель к показателю 12:
$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 4]{2^4} = \sqrt[12]{16}$
Теперь перемножим полученные корни:
$\sqrt[12]{8} \cdot \sqrt[12]{16} = \sqrt[12]{8 \cdot 16} = \sqrt[12]{128}$.
Ответ: $\sqrt[12]{128}$.

2) Для того чтобы перемножить корни $\sqrt[8]{a} \cdot \sqrt[12]{b}$, приведем их к общему показателю. НОК для показателей 8 и 12 равно 24.
Приведем каждый корень к показателю 24:
$\sqrt[8]{a} = \sqrt[8 \cdot 3]{a^3} = \sqrt[24]{a^3}$
$\sqrt[12]{b} = \sqrt[12 \cdot 2]{b^2} = \sqrt[24]{b^2}$
Теперь выполним умножение:
$\sqrt[24]{a^3} \cdot \sqrt[24]{b^2} = \sqrt[24]{a^3 b^2}$.
Ответ: $\sqrt[24]{a^3 b^2}$.

3) В выражении $\frac{\sqrt[15]{a^4}}{\sqrt[5]{b^7}}$ приведем корни к общему показателю. НОК(15, 5) = 15.
Числитель $\sqrt[15]{a^4}$ уже имеет нужный показатель.
Приведем знаменатель к показателю 15:
$\sqrt[5]{b^7} = \sqrt[5 \cdot 3]{(b^7)^3} = \sqrt[15]{b^{21}}$
Теперь выполним деление, используя свойство частного корней с одинаковыми показателями:
$\frac{\sqrt[15]{a^4}}{\sqrt[15]{b^{21}}} = \sqrt[15]{\frac{a^4}{b^{21}}}$.
Ответ: $\sqrt[15]{\frac{a^4}{b^{21}}}$.

4) Чтобы представить выражение $\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{5}}{\sqrt[6]{10}}$ в виде одного корня, найдем общий показатель для корней с показателями 2, 4 и 6. НОК(2, 4, 6) = 12.
Приведем каждый корень к показателю 12:
$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 6]{2^6} = \sqrt[12]{64}$
$\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125}$
$\sqrt[6]{10} = \sqrt[6 \cdot 2]{10^2} = \sqrt[12]{100}$
Подставим полученные значения в исходное выражение:
$\frac{\sqrt[12]{64} \cdot \sqrt[12]{125}}{\sqrt[12]{100}} = \sqrt[12]{\frac{64 \cdot 125}{100}}$
Упростим подкоренное выражение:
$\frac{64 \cdot 125}{100} = \frac{64 \cdot 5 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{64 \cdot 5}{4} = 16 \cdot 5 = 80$.
В результате получаем:
$\sqrt[12]{80}$.
Ответ: $\sqrt[12]{80}$.

5) Упростим выражение $\sqrt[3]{a\sqrt[5]{a}} \cdot \sqrt[5]{a^2}$. Сначала преобразуем первый множитель. Для этого внесем множитель a под знак внутреннего корня, возведя его в степень, равную показателю корня:
$\sqrt[3]{a\sqrt[5]{a}} = \sqrt[3]{\sqrt[5]{a^5 \cdot a}} = \sqrt[3]{\sqrt[5]{a^6}}$
Используя свойство корня из корня $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$, получаем:
$\sqrt[3 \cdot 5]{a^6} = \sqrt[15]{a^6}$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $\sqrt[15]{a^6} \cdot \sqrt[5]{a^2}$.
Приведем второй множитель к общему показателю 15:
$\sqrt[5]{a^2} = \sqrt[5 \cdot 3]{(a^2)^3} = \sqrt[15]{a^6}$.
Перемножим полученные корни:
$\sqrt[15]{a^6} \cdot \sqrt[15]{a^6} = \sqrt[15]{a^6 \cdot a^6} = \sqrt[15]{a^{12}}$.
Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, который равен 3:
$\sqrt[15:3]{a^{12:3}} = \sqrt[5]{a^4}$.
Ответ: $\sqrt[5]{a^4}$.