Страница 72 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $ \frac{4}{\sqrt[3]{3}+1} $

2) $ \frac{9}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1} $

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{4}{\sqrt[3]{3} + 1}$, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Для суммы кубических корней вида $a+b$ сопряженным выражением будет неполный квадрат разности $a^2 - ab + b^2$, чтобы воспользоваться формулой суммы кубов: $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

В данном случае $a = \sqrt[3]{3}$ и $b = 1$. Сопряженное выражение равно $(\sqrt[3]{3})^2 - \sqrt[3]{3} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1$.

Выполним умножение:

$\frac{4}{\sqrt[3]{3} + 1} = \frac{4 \cdot (\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)}{(\sqrt[3]{3} + 1) \cdot (\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)} = \frac{4(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)}{(\sqrt[3]{3})^3 + 1^3}$

Упростим знаменатель:

$\frac{4(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)}{3 + 1} = \frac{4(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)}{4}$

Сократим дробь на 4:

$\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1$

Ответ: $\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1$

2) Знаменатель дроби $\frac{9}{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1}$ представляет собой неполный квадрат разности. Чтобы избавиться от иррациональности, воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим знаменатель в виде $a^2 - ab + b^2$. Заметим, что $\sqrt[3]{4} = (\sqrt[3]{2})^2$. Тогда знаменатель можно переписать как $(\sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{2} \cdot 1 + 1^2$. Отсюда видно, что $a = \sqrt[3]{2}$ и $b = 1$.

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(a+b)$, то есть на $(\sqrt[3]{2} + 1)$:

$\frac{9}{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1} = \frac{9 \cdot (\sqrt[3]{2} + 1)}{(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1) \cdot (\sqrt[3]{2} + 1)} = \frac{9(\sqrt[3]{2} + 1)}{(\sqrt[3]{2})^3 + 1^3}$

Упростим знаменатель:

$\frac{9(\sqrt[3]{2} + 1)}{2 + 1} = \frac{9(\sqrt[3]{2} + 1)}{3}$

Сократим дробь на 3:

$3(\sqrt[3]{2} + 1) = 3\sqrt[3]{2} + 3$

Ответ: $3(\sqrt[3]{2} + 1)$

107. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{12a^8}$;

2) $\sqrt[4]{x^{15}}$;

3) $\sqrt[3]{-m^{16}}$;

4) $\sqrt[4]{x^{26}y^9}$;

5) $\sqrt[4]{1250x^{18}y^{21}}$;

6) $\sqrt[3]{108a^{10}b^{25}}$;

7) $\sqrt[4]{-81a^{13}}$;

8) $\sqrt[8]{a^{34}b^{19}}$;

9) $\sqrt[6]{m^7n^7}$, если $m \le 0$;

10) $\sqrt[6]{a^8b^7}$, если $a \le 0$;

11) $\sqrt[4]{a^5b^{10}c^{20}}$, если $c > 0$;

12) $\sqrt[10]{-p^{21}q^{34}}$, если $q \le 0$.

1)

Чтобы вынести множитель из-под знака корня $\sqrt{12a^8}$, разложим подкоренное выражение на множители, являющиеся полными квадратами.
$12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
$a^8 = (a^4)^2$.
Следовательно, выражение можно переписать так:
$\sqrt{12a^8} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot a^8} = \sqrt{2^2 \cdot 3 \cdot (a^4)^2} = \sqrt{(2a^4)^2 \cdot 3}$.
Используя свойство корня $\sqrt{x^2} = |x|$, выносим множитель:
$\sqrt{(2a^4)^2 \cdot 3} = |2a^4|\sqrt{3}$.
Поскольку $a^4 \ge 0$ для любого значения $a$, то и $2a^4 \ge 0$. Поэтому $|2a^4| = 2a^4$.
Ответ: $2a^4\sqrt{3}$.

2)

В выражении $\sqrt[4]{x^{15}}$ представим степень $x^{15}$ в виде $x^{12} \cdot x^3$, так как 12 — наибольшее число, кратное 4 и не превышающее 15.
$\sqrt[4]{x^{15}} = \sqrt[4]{x^{12} \cdot x^3} = \sqrt[4]{(x^3)^4 \cdot x^3}$.
Для корня четной степени $\sqrt[n]{y^n} = |y|$, поэтому:
$\sqrt[4]{(x^3)^4 \cdot x^3} = |x^3|\sqrt[4]{x^3}$.
Область определения исходного выражения: $x^{15} \ge 0$, что означает $x \ge 0$.
Если $x \ge 0$, то $x^3 \ge 0$, и $|x^3| = x^3$.
Ответ: $x^3\sqrt[4]{x^3}$.

3)

В выражении $\sqrt[3]{-m^{16}}$ вынесем знак минуса из-под корня нечетной степени.
$\sqrt[3]{-m^{16}} = -\sqrt[3]{m^{16}}$.
Представим $m^{16}$ как $m^{15} \cdot m$, так как 15 кратно 3.
$-\sqrt[3]{m^{16}} = -\sqrt[3]{m^{15} \cdot m} = -\sqrt[3]{(m^5)^3 \cdot m}$.
Выносим множитель $(m^5)^3$ из-под знака кубического корня (модуль не нужен, так как корень нечетной степени):
$-\sqrt[3]{(m^5)^3 \cdot m} = -m^5\sqrt[3]{m}$.
Ответ: $-m^5\sqrt[3]{m}$.

4)

Для выражения $\sqrt[4]{x^{26}y^9}$ представим степени переменных в виде произведений, где один из множителей имеет показатель, кратный 4.
$x^{26} = x^{24} \cdot x^2 = (x^6)^4 \cdot x^2$.
$y^9 = y^8 \cdot y = (y^2)^4 \cdot y$.
$\sqrt[4]{x^{26}y^9} = \sqrt[4]{(x^6)^4 \cdot x^2 \cdot (y^2)^4 \cdot y} = \sqrt[4]{(x^6)^4 \cdot (y^2)^4 \cdot x^2y}$.
Выносим множители, используя свойство $\sqrt[4]{z^4} = |z|$:
$|x^6| \cdot |y^2| \cdot \sqrt[4]{x^2y}$.
Так как $x^6$ и $y^2$ являются четными степенями, они всегда неотрицательны: $x^6 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$.
Следовательно, $|x^6| = x^6$ и $|y^2| = y^2$.
Ответ: $x^6y^2\sqrt[4]{x^2y}$.

5)

В выражении $\sqrt[4]{1250x^{18}y^{21}}$ разложим на множители числовой коэффициент и степени переменных.
$1250 = 625 \cdot 2 = 5^4 \cdot 2$.
$x^{18} = x^{16} \cdot x^2 = (x^4)^4 \cdot x^2$.
$y^{21} = y^{20} \cdot y = (y^5)^4 \cdot y$.
$\sqrt[4]{1250x^{18}y^{21}} = \sqrt[4]{5^4 \cdot 2 \cdot (x^4)^4 \cdot x^2 \cdot (y^5)^4 \cdot y} = \sqrt[4]{(5x^4y^5)^4 \cdot 2x^2y}$.
Выносим множитель: $|5x^4y^5|\sqrt[4]{2x^2y} = 5x^4|y^5|\sqrt[4]{2x^2y}$.
Исходное выражение определено при $1250x^{18}y^{21} \ge 0$. Так как $1250>0$ и $x^{18} \ge 0$, то должно выполняться $y^{21} \ge 0$, что означает $y \ge 0$.
При $y \ge 0$ имеем $y^5 \ge 0$, поэтому $|y^5| = y^5$.
Ответ: $5x^4y^5\sqrt[4]{2x^2y}$.

6)

Для выражения $\sqrt[3]{108a^{10}b^{25}}$ разложим на множители число и степени.
$108 = 27 \cdot 4 = 3^3 \cdot 4$.
$a^{10} = a^9 \cdot a = (a^3)^3 \cdot a$.
$b^{25} = b^{24} \cdot b = (b^8)^3 \cdot b$.
$\sqrt[3]{108a^{10}b^{25}} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 4 \cdot (a^3)^3 \cdot a \cdot (b^8)^3 \cdot b} = \sqrt[3]{(3a^3b^8)^3 \cdot 4ab}$.
Выносим множитель из-под корня нечетной степени:
$3a^3b^8\sqrt[3]{4ab}$.
Ответ: $3a^3b^8\sqrt[3]{4ab}$.

7)

Выражение $\sqrt[4]{-81a^{13}}$ определено, если подкоренное выражение неотрицательно: $-81a^{13} \ge 0$.
Так как $-81 < 0$, то должно выполняться $a^{13} \le 0$, что означает $a \le 0$.
При $a \le 0$ величина $-a$ неотрицательна. Представим $a$ как $-(-a)$.
$\sqrt[4]{-81a^{13}} = \sqrt[4]{-81(-(-a))^{13}} = \sqrt[4]{-81(-(-a)^{13})} = \sqrt[4]{81(-a)^{13}}$.
Теперь работаем с неотрицательной переменной $(-a)$:
$\sqrt[4]{81(-a)^{13}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot (-a)^{12} \cdot (-a)} = \sqrt[4]{3^4 \cdot ((-a)^3)^4 \cdot (-a)}$.
Выносим множитель: $|3(-a)^3|\sqrt[4]{-a}$.
Так как $-a \ge 0$, то $(-a)^3 \ge 0$, и $3(-a)^3 \ge 0$. Поэтому модуль можно опустить: $3(-a)^3\sqrt[4]{-a} = 3(-a^3)\sqrt[4]{-a} = -3a^3\sqrt[4]{-a}$.
Ответ: $-3a^3\sqrt[4]{-a}$.

8)

Для выражения $\sqrt[8]{a^{34}b^{19}}$ представим степени в виде произведений.
$a^{34} = a^{32} \cdot a^2 = (a^4)^8 \cdot a^2$.
$b^{19} = b^{16} \cdot b^3 = (b^2)^8 \cdot b^3$.
$\sqrt[8]{a^{34}b^{19}} = \sqrt[8]{(a^4)^8 \cdot a^2 \cdot (b^2)^8 \cdot b^3} = \sqrt[8]{(a^4b^2)^8 \cdot a^2b^3}$.
Выносим множитель: $|a^4b^2|\sqrt[8]{a^2b^3}$.
Поскольку $a^4 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$, их произведение $a^4b^2 \ge 0$. Значит, $|a^4b^2|=a^4b^2$.
Ответ: $a^4b^2\sqrt[8]{a^2b^3}$.

9)

Выражение $\sqrt[6]{m^7n^7} = \sqrt[6]{(mn)^7}$ определено, если $(mn)^7 \ge 0$, то есть $mn \ge 0$.
По условию $m \le 0$. Чтобы произведение $mn$ было неотрицательным, необходимо, чтобы $n \le 0$.
Представим подкоренное выражение как $\sqrt[6]{(mn)^6 \cdot mn}$.
Выносим множитель: $|mn|\sqrt[6]{mn}$.
Так как $m \le 0$ и $n \le 0$, их произведение $mn \ge 0$. Следовательно, $|mn|=mn$.
Ответ: $mn\sqrt[6]{mn}$.

10)

Выражение $\sqrt[6]{a^8b^7}$ определено при $a^8b^7 \ge 0$. Так как $a^8 \ge 0$, то $b^7 \ge 0$, что означает $b \ge 0$.
По условию дано $a \le 0$.
Разложим подкоренное выражение: $\sqrt[6]{a^8b^7} = \sqrt[6]{a^6 \cdot a^2 \cdot b^6 \cdot b} = \sqrt[6]{(ab)^6 \cdot a^2b}$.
Выносим множитель: $|ab|\sqrt[6]{a^2b}$.
Определим знак выражения $ab$ под модулем. Так как $a \le 0$ и $b \ge 0$, то $ab \le 0$.
Следовательно, $|ab| = -ab$.
Ответ: $-ab\sqrt[6]{a^2b}$.

11)

Выражение $\sqrt[4]{a^5b^{10}c^{20}}$ определено, если $a^5b^{10}c^{20} \ge 0$.
Так как $b^{10} \ge 0$ и $c^{20} \ge 0$, то должно быть $a^5 \ge 0$, что означает $a \ge 0$.
По условию дано $c > 0$.
Разложим подкоренное выражение: $\sqrt[4]{a^4 \cdot a \cdot b^8 \cdot b^2 \cdot c^{20}} = \sqrt[4]{a^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^5)^4 \cdot ab^2}$.
Выносим множители: $|a| \cdot |b^2| \cdot |c^5| \cdot \sqrt[4]{ab^2}$.
Раскрываем модули: - $a \ge 0 \implies |a| = a$. - $b^2 \ge 0 \implies |b^2| = b^2$. - $c > 0 \implies c^5 > 0 \implies |c^5| = c^5$. Результат: $a \cdot b^2 \cdot c^5 \cdot \sqrt[4]{ab^2}$.
Ответ: $ab^2c^5\sqrt[4]{ab^2}$.

12)

Выражение $\sqrt[10]{-p^{21}q^{34}}$ определено при $-p^{21}q^{34} \ge 0$.
Так как $q^{34} \ge 0$, то должно быть $-p^{21} \ge 0$, то есть $p^{21} \le 0$, что означает $p \le 0$.
По условию дано $q \le 0$.
Разложим подкоренное выражение: $\sqrt[10]{-p^{21}q^{34}} = \sqrt[10]{p^{20} \cdot q^{30} \cdot (-pq^4)}$.
$\sqrt[10]{(p^2)^{10} \cdot (q^3)^{10} \cdot (-pq^4)}$.
Выносим множители: $|p^2| \cdot |q^3| \cdot \sqrt[10]{-pq^4}$.
Раскрываем модули: - $p^2 \ge 0 \implies |p^2| = p^2$. - $q \le 0 \implies q^3 \le 0 \implies |q^3| = -q^3$. Результат: $p^2(-q^3)\sqrt[10]{-pq^4} = -p^2q^3\sqrt[10]{-pq^4}$.
Ответ: $-p^2q^3\sqrt[10]{-pq^4}$.

108. Внесите множитель под знак корня:

1) $x\sqrt{5}$;

2) $y\sqrt{-y^5}$;

3) $b\sqrt[8]{b^7}$;

4) $3a^3\sqrt{2a^2}$;

5) $m\sqrt[5]{7m^2}$;

6) $5a^3\sqrt[3]{\frac{4}{25a^4}}$;

7) $p^{10}\sqrt{p^6}$, если $p \le 0$;

8) $mn\sqrt[8]{m^4n^3}$, если $m > 0$;

9) $m^3n^5\sqrt[6]{m^4n^8}$, если $m > 0, n < 0$.

1) Чтобы внести множитель $x$ под знак квадратного корня, нужно возвести его в квадрат. Так как корень четной степени, необходимо учитывать знак множителя.
Если $x \ge 0$, то $x = \sqrt{x^2}$, и выражение принимает вид: $x\sqrt{5} = \sqrt{x^2 \cdot 5} = \sqrt{5x^2}$.
Если $x < 0$, то $x = -\sqrt{x^2}$, и выражение принимает вид: $x\sqrt{5} = -\sqrt{x^2 \cdot 5} = -\sqrt{5x^2}$.
Ответ: $\sqrt{5x^2}$ при $x \ge 0$; $-\sqrt{5x^2}$ при $x < 0$.

2) Выражение $y\sqrt{-y^5}$ имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $-y^5 \ge 0$, что эквивалентно $y^5 \le 0$, откуда следует, что $y \le 0$.
Поскольку $y \le 0$, множитель $y$ является неположительным. При внесении под знак корня четной степени (квадратного) ставим знак минус перед корнем: $y = -\sqrt{y^2}$.
$y\sqrt{-y^5} = -\sqrt{y^2} \cdot \sqrt{-y^5} = -\sqrt{y^2 \cdot (-y^5)} = -\sqrt{-y^7}$.
Ответ: $-\sqrt{-y^7}$.

3) Выражение $b^8\sqrt[8]{b^7}$ имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $b^7 \ge 0$, откуда $b \ge 0$.
Множитель $b^8$ при $b \ge 0$ является неотрицательным. Чтобы внести его под корень 8-й степени, возведем его в 8-ю степень.
$b^8\sqrt[8]{b^7} = \sqrt[8]{(b^8)^8 \cdot b^7} = \sqrt[8]{b^{64} \cdot b^7} = \sqrt[8]{b^{71}}$.
Ответ: $\sqrt[8]{b^{71}}$.

4) Корень нечетной степени (3), поэтому множитель $3a^3$ вносится под знак корня путем возведения в 3-ю степень без учета знака.
$3a^3\sqrt[3]{2a^2} = \sqrt[3]{(3a^3)^3 \cdot 2a^2} = \sqrt[3]{27a^9 \cdot 2a^2} = \sqrt[3]{54a^{11}}$.
Ответ: $\sqrt[3]{54a^{11}}$.

5) Корень нечетной степени (5), поэтому множитель $m$ вносится под знак корня путем возведения в 5-ю степень.
$m\sqrt[5]{7m^2} = \sqrt[5]{m^5 \cdot 7m^2} = \sqrt[5]{7m^7}$.
Ответ: $\sqrt[5]{7m^7}$.

6) Корень нечетной степени (3). Вносим множитель $5a^3$ под знак корня, возведя его в куб. Выражение определено при $a \neq 0$.
$5a^3\sqrt[3]{\frac{4}{25a^4}} = \sqrt[3]{(5a^3)^3 \cdot \frac{4}{25a^4}} = \sqrt[3]{125a^9 \cdot \frac{4}{25a^4}} = \sqrt[3]{\frac{125 \cdot 4 \cdot a^9}{25a^4}} = \sqrt[3]{5 \cdot 4 \cdot a^{9-4}} = \sqrt[3]{20a^5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{20a^5}$.

7) По условию $p \le 0$. Корень 10-й степени является корнем четной степени.
Поскольку множитель $p$ неположительный, при внесении его под знак корня четной степени перед корнем ставится знак минус: $p = -\sqrt[10]{(-p)^{10}} = -\sqrt[10]{p^{10}}$.
$p\sqrt[10]{p^6} = -\sqrt[10]{p^{10}} \cdot \sqrt[10]{p^6} = -\sqrt[10]{p^{10} \cdot p^6} = -\sqrt[10]{p^{16}}$.
Ответ: $-\sqrt[10]{p^{16}}$.

8) Корень 8-й степени (четной). Выражение имеет смысл, если $m^4n^3 \ge 0$. По условию $m > 0$, значит $m^4 > 0$. Следовательно, должно выполняться $n^3 \ge 0$, что означает $n \ge 0$.
Множитель $mn$ при $m > 0$ и $n \ge 0$ является неотрицательным ($mn \ge 0$).
Вносим его под корень 8-й степени, возводя в 8-ю степень:
$mn\sqrt[8]{m^4n^3} = \sqrt[8]{(mn)^8 \cdot m^4n^3} = \sqrt[8]{m^8n^8 \cdot m^4n^3} = \sqrt[8]{m^{12}n^{11}}$.
Ответ: $\sqrt[8]{m^{12}n^{11}}$.

9) Корень 6-й степени (четной). По условию $m > 0$ и $n < 0$.
Определим знак множителя $m^3n^5$. Так как $m > 0$, то $m^3 > 0$. Так как $n < 0$, то $n^5 < 0$.
Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно, следовательно, $m^3n^5 < 0$.
Поскольку множитель отрицательный, при внесении его под знак корня четной степени перед корнем ставится знак минус.
$m^3n^5\sqrt[6]{m^4n^8} = -\sqrt[6]{(-(m^3n^5))^6 \cdot m^4n^8} = -\sqrt[6]{(m^3n^5)^6 \cdot m^4n^8} = -\sqrt[6]{m^{18}n^{30} \cdot m^4n^8} = -\sqrt[6]{m^{22}n^{38}}$.
Ответ: $-\sqrt[6]{m^{22}n^{38}}$.

109. Упростите выражение:

1) $(\sqrt[4]{x} + 5)(\sqrt[4]{x} - 5) - (\sqrt[4]{x} + 6)^2$

2) $\frac{\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{c} - 4} - \frac{\sqrt[6]{c}}{\sqrt[6]{c} - 2}$

3) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab}} + \frac{\sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$

4) $\left(\frac{\sqrt[4]{a} + 3}{\sqrt[4]{a} - 3} + \frac{\sqrt[4]{a} - 3}{\sqrt[4]{a} + 3}\right) : \frac{3\sqrt{a} + 27}{9 - \sqrt{a}}$

5) $\frac{5\sqrt[10]{a}}{10\sqrt[10]{a} + 3} + \frac{\sqrt[10]{a} - 6}{3\sqrt[10]{a} + 9} \cdot \frac{135}{6\sqrt[10]{a} - 5\sqrt{a}}$

1) $(\sqrt[4]{x} + 5)(\sqrt[4]{x} - 5) - (\sqrt[4]{x} + 6)^2$
Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к первому произведению:
$(\sqrt[4]{x} + 5)(\sqrt[4]{x} - 5) = (\sqrt[4]{x})^2 - 5^2 = \sqrt{x} - 25$.
Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ ко второму выражению:
$(\sqrt[4]{x} + 6)^2 = (\sqrt[4]{x})^2 + 2 \cdot \sqrt[4]{x} \cdot 6 + 6^2 = \sqrt{x} + 12\sqrt[4]{x} + 36$.
Теперь вычтем второе из первого:
$(\sqrt{x} - 25) - (\sqrt{x} + 12\sqrt[4]{x} + 36) = \sqrt{x} - 25 - \sqrt{x} - 12\sqrt[4]{x} - 36 = -12\sqrt[4]{x} - 61$.
Ответ: $-12\sqrt[4]{x} - 61$.

2) $\frac{\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{c} - 4} - \frac{\sqrt[6]{c}}{\sqrt[6]{c} - 2}$
Введем замену: пусть $y = \sqrt[6]{c}$, тогда $y^2 = (\sqrt[6]{c})^2 = \sqrt[3]{c}$.
Выражение примет вид:
$\frac{y^2}{y^2 - 4} - \frac{y}{y - 2}$.
Разложим знаменатель первой дроби на множители: $y^2 - 4 = (y-2)(y+2)$.
$\frac{y^2}{(y-2)(y+2)} - \frac{y}{y - 2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(y-2)(y+2)$:
$\frac{y^2}{(y-2)(y+2)} - \frac{y(y+2)}{(y-2)(y+2)} = \frac{y^2 - y(y+2)}{(y-2)(y+2)} = \frac{y^2 - y^2 - 2y}{y^2 - 4} = \frac{-2y}{y^2 - 4}$.
Вернемся к исходной переменной:
$\frac{-2\sqrt[6]{c}}{(\sqrt[6]{c})^2 - 4} = \frac{-2\sqrt[6]{c}}{\sqrt[3]{c} - 4}$.
Ответ: $\frac{-2\sqrt[6]{c}}{\sqrt[3]{c} - 4}$.

3) $\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab}} + \frac{\sqrt[4]{b}}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}$
Преобразуем знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель $2\sqrt[4]{a}$:
$2\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab} = 2(\sqrt[4]{a})^2 + 2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b} = 2\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$.
Приведем дроби к общему знаменателю $2\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$:
$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})} + \frac{\sqrt[4]{b} \cdot 2\sqrt[4]{a}}{2\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b} + 2\sqrt[4]{ab}}{2\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}$.
Числитель полученной дроби является полным квадратом:
$\sqrt{a} + 2\sqrt[4]{ab} + \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 + 2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b} + (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})^2$.
Подставим его обратно в дробь и сократим:
$\frac{(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})^2}{2\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})} = \frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}{2\sqrt[4]{a}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}{2\sqrt[4]{a}}$.

4) $(\frac{\sqrt[4]{a} + 3}{\sqrt[4]{a} - 3} + \frac{\sqrt[4]{a} - 3}{\sqrt[4]{a} + 3}) : \frac{3\sqrt{a} + 27}{9 - \sqrt{a}}$
Сначала упростим выражение в скобках. Пусть $y = \sqrt[4]{a}$.
$\frac{y+3}{y-3} + \frac{y-3}{y+3} = \frac{(y+3)^2 + (y-3)^2}{(y-3)(y+3)} = \frac{(y^2+6y+9) + (y^2-6y+9)}{y^2-9} = \frac{2y^2+18}{y^2-9} = \frac{2(y^2+9)}{y^2-9}$.
Подставим обратно $\sqrt{a}$ вместо $y^2$: $\frac{2(\sqrt{a}+9)}{\sqrt{a}-9}$.
Теперь упростим делитель:
$\frac{3\sqrt{a} + 27}{9 - \sqrt{a}} = \frac{3(\sqrt{a}+9)}{-(\sqrt{a}-9)}$.
Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{2(\sqrt{a}+9)}{\sqrt{a}-9} : \frac{3(\sqrt{a}+9)}{-(\sqrt{a}-9)} = \frac{2(\sqrt{a}+9)}{\sqrt{a}-9} \cdot \frac{-(\sqrt{a}-9)}{3(\sqrt{a}+9)}$.
Сократим одинаковые множители $(\sqrt{a}+9)$ и $(\sqrt{a}-9)$:
$\frac{2 \cdot (-1)}{3} = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}$.

5) $(\frac{5\sqrt[10]{a}}{\sqrt[10]{a} + 3} + \frac{10\sqrt[10]{a} - 6}{3\sqrt[10]{a} + 9}) \cdot \frac{135}{6\sqrt[10]{a} - \sqrt[5]{a}}$
Введем замену: пусть $y = \sqrt[10]{a}$, тогда $y^2 = \sqrt[5]{a}$.
Упростим выражение в скобках:
$\frac{5y}{y+3} + \frac{10y-6}{3y+9} = \frac{5y}{y+3} + \frac{10y-6}{3(y+3)} = \frac{3 \cdot 5y + (10y-6)}{3(y+3)} = \frac{15y+10y-6}{3(y+3)} = \frac{25y-6}{3(y+3)}$.
Упростим второй множитель:
$\frac{135}{6y - y^2} = \frac{135}{y(6 - y)}$.
Перемножим полученные выражения:
$\frac{25y-6}{3(y+3)} \cdot \frac{135}{y(6-y)} = \frac{(25y-6) \cdot 135}{3(y+3) \cdot y(6-y)} = \frac{45(25y-6)}{y(y+3)(6-y)}$.
Выполним обратную замену:
$\frac{45(25\sqrt[10]{a}-6)}{\sqrt[10]{a}(\sqrt[10]{a}+3)(6-\sqrt[10]{a})}$.
Ответ: $\frac{45(25\sqrt[10]{a}-6)}{\sqrt[10]{a}(6-\sqrt[10]{a})(\sqrt[10]{a}+3)}$.