Номер 108, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Внесите множитель под знак корня:

1) $x\sqrt{5}$;

2) $y\sqrt{-y^5}$;

3) $b\sqrt[8]{b^7}$;

4) $3a^3\sqrt{2a^2}$;

5) $m\sqrt[5]{7m^2}$;

6) $5a^3\sqrt[3]{\frac{4}{25a^4}}$;

7) $p^{10}\sqrt{p^6}$, если $p \le 0$;

8) $mn\sqrt[8]{m^4n^3}$, если $m > 0$;

9) $m^3n^5\sqrt[6]{m^4n^8}$, если $m > 0, n < 0$.

1) Чтобы внести множитель $x$ под знак квадратного корня, нужно возвести его в квадрат. Так как корень четной степени, необходимо учитывать знак множителя.
Если $x \ge 0$, то $x = \sqrt{x^2}$, и выражение принимает вид: $x\sqrt{5} = \sqrt{x^2 \cdot 5} = \sqrt{5x^2}$.
Если $x < 0$, то $x = -\sqrt{x^2}$, и выражение принимает вид: $x\sqrt{5} = -\sqrt{x^2 \cdot 5} = -\sqrt{5x^2}$.
Ответ: $\sqrt{5x^2}$ при $x \ge 0$; $-\sqrt{5x^2}$ при $x < 0$.

2) Выражение $y\sqrt{-y^5}$ имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $-y^5 \ge 0$, что эквивалентно $y^5 \le 0$, откуда следует, что $y \le 0$.
Поскольку $y \le 0$, множитель $y$ является неположительным. При внесении под знак корня четной степени (квадратного) ставим знак минус перед корнем: $y = -\sqrt{y^2}$.
$y\sqrt{-y^5} = -\sqrt{y^2} \cdot \sqrt{-y^5} = -\sqrt{y^2 \cdot (-y^5)} = -\sqrt{-y^7}$.
Ответ: $-\sqrt{-y^7}$.

3) Выражение $b^8\sqrt[8]{b^7}$ имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $b^7 \ge 0$, откуда $b \ge 0$.
Множитель $b^8$ при $b \ge 0$ является неотрицательным. Чтобы внести его под корень 8-й степени, возведем его в 8-ю степень.
$b^8\sqrt[8]{b^7} = \sqrt[8]{(b^8)^8 \cdot b^7} = \sqrt[8]{b^{64} \cdot b^7} = \sqrt[8]{b^{71}}$.
Ответ: $\sqrt[8]{b^{71}}$.

4) Корень нечетной степени (3), поэтому множитель $3a^3$ вносится под знак корня путем возведения в 3-ю степень без учета знака.
$3a^3\sqrt[3]{2a^2} = \sqrt[3]{(3a^3)^3 \cdot 2a^2} = \sqrt[3]{27a^9 \cdot 2a^2} = \sqrt[3]{54a^{11}}$.
Ответ: $\sqrt[3]{54a^{11}}$.

5) Корень нечетной степени (5), поэтому множитель $m$ вносится под знак корня путем возведения в 5-ю степень.
$m\sqrt[5]{7m^2} = \sqrt[5]{m^5 \cdot 7m^2} = \sqrt[5]{7m^7}$.
Ответ: $\sqrt[5]{7m^7}$.

6) Корень нечетной степени (3). Вносим множитель $5a^3$ под знак корня, возведя его в куб. Выражение определено при $a \neq 0$.
$5a^3\sqrt[3]{\frac{4}{25a^4}} = \sqrt[3]{(5a^3)^3 \cdot \frac{4}{25a^4}} = \sqrt[3]{125a^9 \cdot \frac{4}{25a^4}} = \sqrt[3]{\frac{125 \cdot 4 \cdot a^9}{25a^4}} = \sqrt[3]{5 \cdot 4 \cdot a^{9-4}} = \sqrt[3]{20a^5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{20a^5}$.

7) По условию $p \le 0$. Корень 10-й степени является корнем четной степени.
Поскольку множитель $p$ неположительный, при внесении его под знак корня четной степени перед корнем ставится знак минус: $p = -\sqrt[10]{(-p)^{10}} = -\sqrt[10]{p^{10}}$.
$p\sqrt[10]{p^6} = -\sqrt[10]{p^{10}} \cdot \sqrt[10]{p^6} = -\sqrt[10]{p^{10} \cdot p^6} = -\sqrt[10]{p^{16}}$.
Ответ: $-\sqrt[10]{p^{16}}$.

8) Корень 8-й степени (четной). Выражение имеет смысл, если $m^4n^3 \ge 0$. По условию $m > 0$, значит $m^4 > 0$. Следовательно, должно выполняться $n^3 \ge 0$, что означает $n \ge 0$.
Множитель $mn$ при $m > 0$ и $n \ge 0$ является неотрицательным ($mn \ge 0$).
Вносим его под корень 8-й степени, возводя в 8-ю степень:
$mn\sqrt[8]{m^4n^3} = \sqrt[8]{(mn)^8 \cdot m^4n^3} = \sqrt[8]{m^8n^8 \cdot m^4n^3} = \sqrt[8]{m^{12}n^{11}}$.
Ответ: $\sqrt[8]{m^{12}n^{11}}$.

9) Корень 6-й степени (четной). По условию $m > 0$ и $n < 0$.
Определим знак множителя $m^3n^5$. Так как $m > 0$, то $m^3 > 0$. Так как $n < 0$, то $n^5 < 0$.
Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно, следовательно, $m^3n^5 < 0$.
Поскольку множитель отрицательный, при внесении его под знак корня четной степени перед корнем ставится знак минус.
$m^3n^5\sqrt[6]{m^4n^8} = -\sqrt[6]{(-(m^3n^5))^6 \cdot m^4n^8} = -\sqrt[6]{(m^3n^5)^6 \cdot m^4n^8} = -\sqrt[6]{m^{18}n^{30} \cdot m^4n^8} = -\sqrt[6]{m^{22}n^{38}}$.
Ответ: $-\sqrt[6]{m^{22}n^{38}}$.