Номер 106, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

1) $ \frac{4}{\sqrt[3]{3}+1} $

2) $ \frac{9}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}+1} $

1) Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{4}{\sqrt[3]{3} + 1}$, нужно домножить числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю. Для суммы кубических корней вида $a+b$ сопряженным выражением будет неполный квадрат разности $a^2 - ab + b^2$, чтобы воспользоваться формулой суммы кубов: $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

В данном случае $a = \sqrt[3]{3}$ и $b = 1$. Сопряженное выражение равно $(\sqrt[3]{3})^2 - \sqrt[3]{3} \cdot 1 + 1^2 = \sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1$.

Выполним умножение:

$\frac{4}{\sqrt[3]{3} + 1} = \frac{4 \cdot (\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)}{(\sqrt[3]{3} + 1) \cdot (\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)} = \frac{4(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)}{(\sqrt[3]{3})^3 + 1^3}$

Упростим знаменатель:

$\frac{4(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)}{3 + 1} = \frac{4(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1)}{4}$

Сократим дробь на 4:

$\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1$

Ответ: $\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3} + 1$

2) Знаменатель дроби $\frac{9}{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1}$ представляет собой неполный квадрат разности. Чтобы избавиться от иррациональности, воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Представим знаменатель в виде $a^2 - ab + b^2$. Заметим, что $\sqrt[3]{4} = (\sqrt[3]{2})^2$. Тогда знаменатель можно переписать как $(\sqrt[3]{2})^2 - \sqrt[3]{2} \cdot 1 + 1^2$. Отсюда видно, что $a = \sqrt[3]{2}$ и $b = 1$.

Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(a+b)$, то есть на $(\sqrt[3]{2} + 1)$:

$\frac{9}{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1} = \frac{9 \cdot (\sqrt[3]{2} + 1)}{(\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1) \cdot (\sqrt[3]{2} + 1)} = \frac{9(\sqrt[3]{2} + 1)}{(\sqrt[3]{2})^3 + 1^3}$

Упростим знаменатель:

$\frac{9(\sqrt[3]{2} + 1)}{2 + 1} = \frac{9(\sqrt[3]{2} + 1)}{3}$

Сократим дробь на 3:

$3(\sqrt[3]{2} + 1) = 3\sqrt[3]{2} + 3$

Ответ: $3(\sqrt[3]{2} + 1)$