Номер 112, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

112. Найдите значение выражения:

1) $8^{\frac{1}{3}}$;

2) $32^{-\frac{2}{5}}$;

3) $0,0004^{-1,5}$;

4) $81^{0,75}$;

5) $\left(12\frac{1}{4}\right)^{1,5}$.

1) Чтобы найти значение выражения $8^{\frac{1}{3}}$, воспользуемся определением степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае $m=1$ и $n=3$, поэтому $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}$. Кубический корень из 8 равен 2, так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Альтернативный способ — представить основание 8 в виде степени $8 = 2^3$. Тогда выражение можно записать как $(2^3)^{\frac{1}{3}}$. Используя свойство возведения степени в степень $(a^x)^y = a^{xy}$, получаем: $2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$. Ответ: 2.

2) Для вычисления выражения $32^{-\frac{2}{5}}$ воспользуемся двумя свойствами степеней. Сначала свойством отрицательного показателя $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $32^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}$. Теперь вычислим знаменатель $32^{\frac{2}{5}}$. Представим 32 как степень числа 2: $32 = 2^5$. Подставим это в наше выражение: $\frac{1}{(2^5)^{\frac{2}{5}}}$. По свойству $(a^x)^y = a^{xy}$ получаем: $\frac{1}{2^{5 \cdot \frac{2}{5}}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) Для вычисления $0.0004^{-1.5}$ преобразуем десятичные дроби в обыкновенные для удобства. $0.0004 = \frac{4}{10000} = \frac{1}{2500}$. $-1.5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$. Таким образом, исходное выражение равно $(\frac{1}{2500})^{-\frac{3}{2}}$. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, "перевернем" дробь и сменим знак показателя на положительный: $(\frac{2500}{1})^{\frac{3}{2}} = 2500^{\frac{3}{2}}$. Теперь вычислим это значение. $2500^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{2500})^3$. Поскольку $\sqrt{2500} = 50$, то получаем $50^3 = 50 \cdot 50 \cdot 50 = 125000$. Ответ: 125000.

4) Чтобы найти значение $81^{0.75}$, представим десятичный показатель $0.75$ в виде обыкновенной дроби: $0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$. Теперь выражение имеет вид $81^{\frac{3}{4}}$. Представим основание 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$. Подставим в выражение: $(3^4)^{\frac{3}{4}}$. Используя свойство $(a^x)^y = a^{xy}$, получаем: $3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$. Ответ: 27.

5) Для вычисления $(12\frac{1}{4})^{1.5}$ преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби. $12\frac{1}{4} = \frac{12 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{49}{4}$. $1.5 = \frac{3}{2}$. Исходное выражение принимает вид $(\frac{49}{4})^{\frac{3}{2}}$. Можно представить основание как квадрат дроби: $\frac{49}{4} = (\frac{7}{2})^2$. Тогда выражение равно $((\frac{7}{2})^2)^{\frac{3}{2}}$. По свойству $(a^x)^y = a^{xy}$ получаем: $(\frac{7}{2})^{2 \cdot \frac{3}{2}} = (\frac{7}{2})^3$. Возводим дробь в куб: $\frac{7^3}{2^3} = \frac{343}{8}$. Этот ответ можно представить в виде смешанного числа $42\frac{7}{8}$ или десятичной дроби $42.875$. Ответ: $\frac{343}{8}$.