Номер 119, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Представьте данное выражение в виде: а) разности квадратов; б) разности кубов и разложите его на множители (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a^7 - b^{13}$;

2) $x^{\frac{9}{17}} - y^{\frac{2}{5}};$

3) $x^{\frac{1}{4}} - 6;$

4) $m^{\frac{5}{7}} - n^{\frac{1}{6}}.$

Поскольку по условию переменные принимают только неотрицательные значения, мы можем использовать свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$ для любых рациональных показателей $m$ и $n$. Для разложения на множители будем использовать формулы разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ и разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

1) $a^7 - b^{13}$
а) Представляем выражение в виде разности квадратов:
$a^7 - b^{13} = (a^{\frac{7}{2}})^2 - (b^{\frac{13}{2}})^2$
Раскладываем на множители:
$(a^{\frac{7}{2}} - b^{\frac{13}{2}})(a^{\frac{7}{2}} + b^{\frac{13}{2}})$
Ответ: $(a^{\frac{7}{2}} - b^{\frac{13}{2}})(a^{\frac{7}{2}} + b^{\frac{13}{2}})$.
б) Представляем выражение в виде разности кубов:
$a^7 - b^{13} = (a^{\frac{7}{3}})^3 - (b^{\frac{13}{3}})^3$
Раскладываем на множители:
$(a^{\frac{7}{3}} - b^{\frac{13}{3}})((a^{\frac{7}{3}})^2 + a^{\frac{7}{3}}b^{\frac{13}{3}} + (b^{\frac{13}{3}})^2) = (a^{\frac{7}{3}} - b^{\frac{13}{3}})(a^{\frac{14}{3}} + a^{\frac{7}{3}}b^{\frac{13}{3}} + b^{\frac{26}{3}})$
Ответ: $(a^{\frac{7}{3}} - b^{\frac{13}{3}})(a^{\frac{14}{3}} + a^{\frac{7}{3}}b^{\frac{13}{3}} + b^{\frac{26}{3}})$.

2) $x^{\frac{9}{17}} - y^{\frac{2}{5}}$
а) Представляем выражение в виде разности квадратов:
$x^{\frac{9}{17}} - y^{\frac{2}{5}} = (x^{\frac{9}{34}})^2 - (y^{\frac{1}{5}})^2$
Раскладываем на множители:
$(x^{\frac{9}{34}} - y^{\frac{1}{5}})(x^{\frac{9}{34}} + y^{\frac{1}{5}})$
Ответ: $(x^{\frac{9}{34}} - y^{\frac{1}{5}})(x^{\frac{9}{34}} + y^{\frac{1}{5}})$.
б) Представляем выражение в виде разности кубов:
$x^{\frac{9}{17}} - y^{\frac{2}{5}} = (x^{\frac{3}{17}})^3 - (y^{\frac{2}{15}})^3$
Раскладываем на множители:
$(x^{\frac{3}{17}} - y^{\frac{2}{15}})((x^{\frac{3}{17}})^2 + x^{\frac{3}{17}}y^{\frac{2}{15}} + (y^{\frac{2}{15}})^2) = (x^{\frac{3}{17}} - y^{\frac{2}{15}})(x^{\frac{6}{17}} + x^{\frac{3}{17}}y^{\frac{2}{15}} + y^{\frac{4}{15}})$
Ответ: $(x^{\frac{3}{17}} - y^{\frac{2}{15}})(x^{\frac{6}{17}} + x^{\frac{3}{17}}y^{\frac{2}{15}} + y^{\frac{4}{15}})$.

3) $x^{\frac{1}{4}} - 6$
а) Представляем выражение в виде разности квадратов:
$x^{\frac{1}{4}} - 6 = (x^{\frac{1}{8}})^2 - (6^{\frac{1}{2}})^2$
Раскладываем на множители:
$(x^{\frac{1}{8}} - 6^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{8}} + 6^{\frac{1}{2}})$
Ответ: $(x^{\frac{1}{8}} - 6^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{8}} + 6^{\frac{1}{2}})$.
б) Представляем выражение в виде разности кубов:
$x^{\frac{1}{4}} - 6 = (x^{\frac{1}{12}})^3 - (6^{\frac{1}{3}})^3$
Раскладываем на множители:
$(x^{\frac{1}{12}} - 6^{\frac{1}{3}})((x^{\frac{1}{12}})^2 + x^{\frac{1}{12}} \cdot 6^{\frac{1}{3}} + (6^{\frac{1}{3}})^2) = (x^{\frac{1}{12}} - 6^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{12}} + 6^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{12}} + 6^{\frac{2}{3}}) = (x^{\frac{1}{12}} - 6^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{6}} + 6^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{12}} + 6^{\frac{2}{3}})$
Ответ: $(x^{\frac{1}{12}} - 6^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{6}} + 6^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{12}} + 6^{\frac{2}{3}})$.

4) $m^{\frac{5}{7}} - n^{\frac{1}{6}}$
а) Представляем выражение в виде разности квадратов:
$m^{\frac{5}{7}} - n^{\frac{1}{6}} = (m^{\frac{5}{14}})^2 - (n^{\frac{1}{12}})^2$
Раскладываем на множители:
$(m^{\frac{5}{14}} - n^{\frac{1}{12}})(m^{\frac{5}{14}} + n^{\frac{1}{12}})$
Ответ: $(m^{\frac{5}{14}} - n^{\frac{1}{12}})(m^{\frac{5}{14}} + n^{\frac{1}{12}})$.
б) Представляем выражение в виде разности кубов:
$m^{\frac{5}{7}} - n^{\frac{1}{6}} = (m^{\frac{5}{21}})^3 - (n^{\frac{1}{18}})^3$
Раскладываем на множители:
$(m^{\frac{5}{21}} - n^{\frac{1}{18}})((m^{\frac{5}{21}})^2 + m^{\frac{5}{21}}n^{\frac{1}{18}} + (n^{\frac{1}{18}})^2) = (m^{\frac{5}{21}} - n^{\frac{1}{18}})(m^{\frac{10}{21}} + m^{\frac{5}{21}}n^{\frac{1}{18}} + n^{\frac{2}{18}}) = (m^{\frac{5}{21}} - n^{\frac{1}{18}})(m^{\frac{10}{21}} + m^{\frac{5}{21}}n^{\frac{1}{18}} + n^{\frac{1}{9}})$
Ответ: $(m^{\frac{5}{21}} - n^{\frac{1}{18}})(m^{\frac{10}{21}} + m^{\frac{5}{21}}n^{\frac{1}{18}} + n^{\frac{1}{9}})$.