Номер 121, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. Сократите дробь:

1) $\frac{x - 9x^7}{x^7 - 9}$;

2) $\frac{6y^3}{y^6 - y^3}$;

3) $\frac{4a^{0.5} - 3b^{0.5}}{16a - 9b}$;

4) $\frac{x + y}{\frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3}}$;

5) $\frac{b + 2b^{0.5}c^{0.5} + c}{bc^{0.5} + b^{0.5}c}$;

6) $\frac{3a^{\frac{1}{3}} + a}{3a^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{5}{6}}}$;

7) $\frac{a + 27}{a^{\frac{2}{3}} - 9}$;

8) $\frac{m^{\frac{5}{8}} + 5m^{\frac{1}{4}}}{m - 25m^{\frac{1}{4}}}$;

9) $\frac{21^{\frac{1}{5}} + 3^{\frac{1}{5}}}{63^{\frac{1}{5}} + 9^{\frac{1}{5}}}$.

1) $\frac{x - 9x^{\frac{2}{7}}}{x^{\frac{5}{7}} - 9}$
В числителе вынесем за скобки общий множитель $x^{\frac{2}{7}}$. Учтем, что $x = x^1 = x^{\frac{7}{7}}$.
$x - 9x^{\frac{2}{7}} = x^{\frac{2}{7}} \cdot x^{\frac{5}{7}} - 9x^{\frac{2}{7}} = x^{\frac{2}{7}}(x^{\frac{5}{7}} - 9)$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{x^{\frac{2}{7}}(x^{\frac{5}{7}} - 9)}{x^{\frac{5}{7}} - 9} = x^{\frac{2}{7}}$.
Ответ: $x^{\frac{2}{7}}$

2) $\frac{6y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{5}{6}} - y^{\frac{2}{3}}}$
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $y^{\frac{2}{3}}$. Представим $y^{\frac{2}{3}}$ как $y^{\frac{4}{6}}$.
$y^{\frac{5}{6}} - y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{5}{6}} - y^{\frac{4}{6}} = y^{\frac{4}{6}}(y^{\frac{1}{6}} - 1) = y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{6}} - 1)$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{6y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{6}} - 1)} = \frac{6}{y^{\frac{1}{6}} - 1}$.
Ответ: $\frac{6}{y^{\frac{1}{6}} - 1}$

3) $\frac{4a^{0.5} - 3b^{0.5}}{16a - 9b}$
Знаменатель является разностью квадратов, так как $16a = (4a^{0.5})^2$ и $9b = (3b^{0.5})^2$.
$16a - 9b = (4a^{0.5})^2 - (3b^{0.5})^2 = (4a^{0.5} - 3b^{0.5})(4a^{0.5} + 3b^{0.5})$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{4a^{0.5} - 3b^{0.5}}{(4a^{0.5} - 3b^{0.5})(4a^{0.5} + 3b^{0.5})} = \frac{1}{4a^{0.5} + 3b^{0.5}}$.
Ответ: $\frac{1}{4a^{0.5} + 3b^{0.5}}$

4) $\frac{x + y}{x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}}$
Числитель можно представить как сумму кубов, так как $x = (x^{\frac{1}{3}})^3$ и $y = (y^{\frac{1}{3}})^3$.
$x + y = (x^{\frac{1}{3}})^3 + (y^{\frac{1}{3}})^3 = (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}})$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}{x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}} = x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}$

5) $\frac{b + 2b^{0.5}c^{0.5} + c}{bc^{0.5} + b^{0.5}c}$
Числитель является полным квадратом: $b + 2b^{0.5}c^{0.5} + c = (b^{0.5} + c^{0.5})^2$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $b^{0.5}c^{0.5}$:
$bc^{0.5} + b^{0.5}c = b^{0.5}c^{0.5}(b^{0.5} + c^{0.5})$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{(b^{0.5} + c^{0.5})^2}{b^{0.5}c^{0.5}(b^{0.5} + c^{0.5})} = \frac{b^{0.5} + c^{0.5}}{b^{0.5}c^{0.5}} = \frac{b^{0.5} + c^{0.5}}{(bc)^{0.5}}$.
Ответ: $\frac{b^{0.5} + c^{0.5}}{(bc)^{0.5}}$

6) $\frac{3a^{\frac{1}{3}} + a}{3a^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{5}{6}}}$
В числителе вынесем за скобки $a^{\frac{1}{3}}$: $3a^{\frac{1}{3}} + a = a^{\frac{1}{3}}(3 + a^{1-\frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{3}}(3 + a^{\frac{2}{3}})$.
В знаменателе вынесем за скобки $a^{\frac{1}{6}}$: $3a^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{5}{6}} = a^{\frac{1}{6}}(3 + a^{\frac{5}{6}-\frac{1}{6}}) = a^{\frac{1}{6}}(3 + a^{\frac{4}{6}}) = a^{\frac{1}{6}}(3 + a^{\frac{2}{3}})$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{a^{\frac{1}{3}}(3 + a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{6}}(3 + a^{\frac{2}{3}})} = \frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{6}}} = a^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}} = a^{\frac{1}{6}}$.
Ответ: $a^{\frac{1}{6}}$

7) $\frac{a + 27}{a^{\frac{2}{3}} - 9}$
Разложим числитель по формуле суммы кубов: $a + 27 = (a^{\frac{1}{3}})^3 + 3^3 = (a^{\frac{1}{3}} + 3)(a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}} + 9)$.
Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: $a^{\frac{2}{3}} - 9 = (a^{\frac{1}{3}})^2 - 3^2 = (a^{\frac{1}{3}} - 3)(a^{\frac{1}{3}} + 3)$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{(a^{\frac{1}{3}} + 3)(a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}} + 9)}{(a^{\frac{1}{3}} - 3)(a^{\frac{1}{3}} + 3)} = \frac{a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}} + 9}{a^{\frac{1}{3}} - 3}$.
Ответ: $\frac{a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}} + 9}{a^{\frac{1}{3}} - 3}$

8) $\frac{m^{\frac{5}{8}} + 5m^{\frac{1}{4}}}{m - 25m^{\frac{1}{4}}}$
В числителе вынесем за скобки $m^{\frac{1}{4}}$: $m^{\frac{5}{8}} + 5m^{\frac{2}{8}} = m^{\frac{2}{8}}(m^{\frac{3}{8}} + 5) = m^{\frac{1}{4}}(m^{\frac{3}{8}} + 5)$.
В знаменателе вынесем за скобки $m^{\frac{1}{4}}$: $m - 25m^{\frac{1}{4}} = m^{\frac{1}{4}}(m^{\frac{3}{4}} - 25)$.
Получим дробь: $\frac{m^{\frac{1}{4}}(m^{\frac{3}{8}} + 5)}{m^{\frac{1}{4}}(m^{\frac{3}{4}} - 25)} = \frac{m^{\frac{3}{8}} + 5}{m^{\frac{3}{4}} - 25}$.
Знаменатель полученной дроби - это разность квадратов: $m^{\frac{3}{4}} - 25 = (m^{\frac{3}{8}})^2 - 5^2 = (m^{\frac{3}{8}} - 5)(m^{\frac{3}{8}} + 5)$.
Снова подставим и сократим: $\frac{m^{\frac{3}{8}} + 5}{(m^{\frac{3}{8}} - 5)(m^{\frac{3}{8}} + 5)} = \frac{1}{m^{\frac{3}{8}} - 5}$.
Ответ: $\frac{1}{m^{\frac{3}{8}} - 5}$

9) $\frac{21^{\frac{1}{5}} + 3^{\frac{1}{5}}}{63^{\frac{1}{5}} + 9^{\frac{1}{5}}}$
Разложим числа под корнем на множители.
В числителе: $21^{\frac{1}{5}} + 3^{\frac{1}{5}} = (7 \cdot 3)^{\frac{1}{5}} + 3^{\frac{1}{5}} = 7^{\frac{1}{5}} \cdot 3^{\frac{1}{5}} + 3^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{1}{5}}(7^{\frac{1}{5}} + 1)$.
В знаменателе: $63^{\frac{1}{5}} + 9^{\frac{1}{5}} = (7 \cdot 9)^{\frac{1}{5}} + 9^{\frac{1}{5}} = 7^{\frac{1}{5}} \cdot 9^{\frac{1}{5}} + 9^{\frac{1}{5}} = 9^{\frac{1}{5}}(7^{\frac{1}{5}} + 1)$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{3^{\frac{1}{5}}(7^{\frac{1}{5}} + 1)}{9^{\frac{1}{5}}(7^{\frac{1}{5}} + 1)} = \frac{3^{\frac{1}{5}}}{9^{\frac{1}{5}}} = (\frac{3}{9})^{\frac{1}{5}} = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{5}}$.
Ответ: $(\frac{1}{3})^{\frac{1}{5}}$