Номер 122, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. Упростите выражение:

1) $\frac{2y - 5x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{x - 4y} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}}}$;

2) $\frac{x^{\frac{1}{6}} - 1}{2x^{\frac{1}{6}} - 6} - \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}} + \frac{3x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{3}} - 6}{2x^{\frac{1}{3}} - 6x^{\frac{1}{6}}}$;

3) $\left( \frac{a^{\frac{1}{6}} + 4}{a^{\frac{1}{6}} - 4} - \frac{a^{\frac{1}{6}} - 4}{a^{\frac{1}{6}} + 4} \right) : \frac{32a^{\frac{1}{2}}}{16 - a^{\frac{1}{3}}}$.

1)

Исходное выражение: $\frac{2y - 5x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{x - 4y} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}}}$.

Преобразуем знаменатели. Знаменатель первой дроби является разностью квадратов: $x - 4y = (x^{\frac{1}{2}})^2 - (2y^{\frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}})$.

Знаменатель второй дроби: $2y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} = -(x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})$. Заменим дробь $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}$ на $-\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}}}$.

Выражение принимает вид:

$\frac{2y - 5x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}}{(x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}})} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}}}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}})$:

$\frac{2y - 5x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}}) - y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})}{(x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}})}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$2y - 5x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + x + 2x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 2y$

$= x + 4y - 4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$

Числитель можно представить в виде полного квадрата: $x - 4x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} + 4y = (x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})^2$.

Получаем дробь:

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})^2}{(x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}})}$

Сокращаем на $(x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}})$:

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}}}$

Ответ: $\frac{x^{\frac{1}{2}} - 2y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} + 2y^{\frac{1}{2}}}$.

2)

Исходное выражение: $\frac{x^{\frac{1}{6}} - 1}{2x^{\frac{1}{6}} - 6} - \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}} + \frac{3x^{\frac{1}{6}} - x^{\frac{1}{3}} - 6}{2x^{\frac{1}{3}} - 6x^{\frac{1}{6}}}$.

Для удобства введем замену: $a = x^{\frac{1}{6}}$, тогда $x^{\frac{1}{3}} = a^2$.

Выражение примет вид:

$\frac{a - 1}{2a - 6} - \frac{1}{a} + \frac{3a - a^2 - 6}{2a^2 - 6a}$

Разложим знаменатели на множители:

$2a - 6 = 2(a - 3)$

$2a^2 - 6a = 2a(a - 3)$

Общий знаменатель для всех дробей: $2a(a - 3)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{a(a - 1)}{2a(a - 3)} - \frac{2(a - 3)}{2a(a - 3)} + \frac{3a - a^2 - 6}{2a(a - 3)}$

Объединим числители:

$\frac{a(a - 1) - 2(a - 3) + 3a - a^2 - 6}{2a(a - 3)}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$a^2 - a - 2a + 6 + 3a - a^2 - 6 = (a^2 - a^2) + (-a - 2a + 3a) + (6 - 6) = 0$

Поскольку числитель равен нулю, все выражение равно нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю).

$\frac{0}{2a(a-3)} = 0$

Ответ: $0$.

3)

Исходное выражение: $(\frac{a^{\frac{1}{6}} + 4}{a^{\frac{1}{6}} - 4} - \frac{a^{\frac{1}{6}} - 4}{a^{\frac{1}{6}} + 4}) : \frac{32a^{\frac{1}{2}}}{16 - a^{\frac{1}{3}}}$.

Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(a^{\frac{1}{6}} - 4)(a^{\frac{1}{6}} + 4) = (a^{\frac{1}{6}})^2 - 4^2 = a^{\frac{1}{3}} - 16$.

$\frac{(a^{\frac{1}{6}} + 4)^2 - (a^{\frac{1}{6}} - 4)^2}{(a^{\frac{1}{6}} - 4)(a^{\frac{1}{6}} + 4)}$

Числитель является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$((a^{\frac{1}{6}} + 4) - (a^{\frac{1}{6}} - 4))((a^{\frac{1}{6}} + 4) + (a^{\frac{1}{6}} - 4)) = (8)(2a^{\frac{1}{6}}) = 16a^{\frac{1}{6}}$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{16a^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} - 16}$

Теперь выполним деление:

$\frac{16a^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} - 16} : \frac{32a^{\frac{1}{2}}}{16 - a^{\frac{1}{3}}}$

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{16a^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} - 16} \cdot \frac{16 - a^{\frac{1}{3}}}{32a^{\frac{1}{2}}}$

Заметим, что $16 - a^{\frac{1}{3}} = -(a^{\frac{1}{3}} - 16)$.

$\frac{16a^{\frac{1}{6}}}{a^{\frac{1}{3}} - 16} \cdot \frac{-(a^{\frac{1}{3}} - 16)}{32a^{\frac{1}{2}}}$

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{3}} - 16)$:

$\frac{16a^{\frac{1}{6}} \cdot (-1)}{32a^{\frac{1}{2}}} = -\frac{16a^{\frac{1}{6}}}{32a^{\frac{1}{2}}}$

Упростим полученное выражение:

$-\frac{16}{32} \cdot a^{\frac{1}{6} - \frac{1}{2}} = -\frac{1}{2} \cdot a^{\frac{1}{6} - \frac{3}{6}} = -\frac{1}{2}a^{-\frac{2}{6}} = -\frac{1}{2}a^{-\frac{1}{3}}$

Ответ: $-\frac{1}{2}a^{-\frac{1}{3}}$.