Номер 127, страница 76 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+6} - \sqrt{x-2} = 2$;

2) $\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5} = 1$;

3) $\sqrt{3x-5} + \sqrt{x-2} = 3$;

4) $\sqrt{x+2} + \sqrt{3-x} = 3$;

5) $\sqrt{7x+2} + \sqrt{2x-3} = \sqrt{5x+6} + \sqrt{4x-7}$;

6) $\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4} = 2\sqrt{x}$.

1) $\sqrt{x+6} - \sqrt{x-2} = 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x+6 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -6 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, чтобы избавиться от знака минус:

$\sqrt{x+6} = 2 + \sqrt{x-2}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+6})^2 = (2 + \sqrt{x-2})^2$

$x+6 = 4 + 4\sqrt{x-2} + (x-2)$

$x+6 = x+2 + 4\sqrt{x-2}$

Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся корень:

$x+6 - x - 2 = 4\sqrt{x-2}$

$4 = 4\sqrt{x-2}$

$1 = \sqrt{x-2}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{x-2})^2$

$1 = x-2$

$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Так как $3 \ge 2$, корень принадлежит ОДЗ. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{3+6} - \sqrt{3-2} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$.

$2 = 2$. Равенство верное.

Ответ: $3$.

2) $\sqrt{2x-4} - \sqrt{x+5} = 1$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x-4 \ge 0 \\ x+5 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x \ge 4 \\ x \ge -5 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 2 \\ x \ge -5 \end{cases} \implies x \ge 2$.

Перенесем корень в правую часть:

$\sqrt{2x-4} = 1 + \sqrt{x+5}$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2x-4})^2 = (1 + \sqrt{x+5})^2$

$2x-4 = 1 + 2\sqrt{x+5} + (x+5)$

$2x-4 = x+6 + 2\sqrt{x+5}$

Уединим корень:

$2x-4 - x - 6 = 2\sqrt{x+5}$

$x-10 = 2\sqrt{x+5}$

Так как правая часть уравнения неотрицательна, левая часть также должна быть неотрицательной: $x-10 \ge 0$, откуда $x \ge 10$. Это условие более сильное, чем ОДЗ.

Снова возведем в квадрат:

$(x-10)^2 = (2\sqrt{x+5})^2$

$x^2 - 20x + 100 = 4(x+5)$

$x^2 - 20x + 100 = 4x + 20$

$x^2 - 24x + 80 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1+x_2 = 24$, $x_1 \cdot x_2 = 80$. Корни $x_1 = 20$ и $x_2 = 4$.

Проверим корни с учетом условия $x \ge 10$.

$x_1 = 20$ удовлетворяет условию $20 \ge 10$.

$x_2 = 4$ не удовлетворяет условию $4 \ge 10$, следовательно, это посторонний корень.

Проверим корень $x=20$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2(20)-4} - \sqrt{20+5} = \sqrt{36} - \sqrt{25} = 6 - 5 = 1$.

$1=1$. Равенство верное.

Ответ: $20$.

3) $\sqrt{3x-5} + \sqrt{x-2} = 3$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x-5 \ge 0 \\ x-2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x \ge 5 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 5/3 \\ x \ge 2 \end{cases} \implies x \ge 2$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{3x-5} = 3 - \sqrt{x-2}$

Левая часть неотрицательна, значит и правая должна быть неотрицательной: $3 - \sqrt{x-2} \ge 0 \implies 3 \ge \sqrt{x-2} \implies 9 \ge x-2 \implies x \le 11$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{3x-5})^2 = (3 - \sqrt{x-2})^2$

$3x-5 = 9 - 6\sqrt{x-2} + (x-2)$

$3x-5 = x+7 - 6\sqrt{x-2}$

Уединим оставшийся корень:

$6\sqrt{x-2} = x+7 - (3x-5)$

$6\sqrt{x-2} = 12-2x$

$3\sqrt{x-2} = 6-x$

Опять же, левая часть неотрицательна, значит $6-x \ge 0 \implies x \le 6$.

Возведем в квадрат:

$(3\sqrt{x-2})^2 = (6-x)^2$

$9(x-2) = 36 - 12x + x^2$

$9x-18 = 36 - 12x + x^2$

$x^2 - 21x + 54 = 0$

По теореме Виета: $x_1+x_2=21$, $x_1 \cdot x_2=54$. Корни $x_1=3$ и $x_2=18$.

Проверим корни с учетом ОДЗ ($x \ge 2$) и полученных ограничений ($x \le 11$ и $x \le 6$, итого $2 \le x \le 6$).

$x_1 = 3$ удовлетворяет условию $2 \le 3 \le 6$.

$x_2 = 18$ не удовлетворяет условию $x \le 6$, это посторонний корень.

Проверим корень $x=3$ подстановкой:

$\sqrt{3(3)-5} + \sqrt{3-2} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$.

$3=3$. Равенство верное.

Ответ: $3$.

4) $\sqrt{x+2} + \sqrt{3-x} = 3$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 3-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 3 \end{cases} \implies -2 \le x \le 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+2} + \sqrt{3-x})^2 = 3^2$

$(x+2) + 2\sqrt{(x+2)(3-x)} + (3-x) = 9$

$5 + 2\sqrt{-x^2+x+6} = 9$

$2\sqrt{-x^2+x+6} = 4$

$\sqrt{-x^2+x+6} = 2$

Снова возведем в квадрат:

$-x^2+x+6 = 4$

$-x^2+x+2 = 0$

$x^2-x-2 = 0$

По теореме Виета: $x_1+x_2 = 1$, $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни $x_1=2$ и $x_2=-1$.

Оба корня принадлежат ОДЗ ($-2 \le x \le 3$). Проверим оба:

При $x=2$: $\sqrt{2+2} + \sqrt{3-2} = \sqrt{4} + \sqrt{1} = 2+1=3$. Верно.

При $x=-1$: $\sqrt{-1+2} + \sqrt{3-(-1)} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1+2=3$. Верно.

Ответ: $-1; 2$.

5) $\sqrt{7x+2} + \sqrt{2x-3} = \sqrt{5x+6} + \sqrt{4x-7}$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 7x+2 \ge 0 \implies x \ge -2/7 \\ 2x-3 \ge 0 \implies x \ge 3/2 \\ 5x+6 \ge 0 \implies x \ge -6/5 \\ 4x-7 \ge 0 \implies x \ge 7/4 \end{cases}$.

Наиболее сильное ограничение $x \ge 7/4$. Значит, ОДЗ: $x \in [7/4; +\infty)$.

Перегруппируем слагаемые:

$\sqrt{7x+2} - \sqrt{5x+6} = \sqrt{4x-7} - \sqrt{2x-3}$

Заметим, что если приравнять аргументы соответствующих корней, получим один и тот же корень:

$7x+2 = 5x+6 \implies 2x=4 \implies x=2$.

$4x-7 = 2x-3 \implies 2x=4 \implies x=2$.

Проверим, является ли $x=2$ решением исходного уравнения. Корень $x=2$ принадлежит ОДЗ ($2 \ge 7/4$).

Подставляем $x=2$:

$\sqrt{7(2)+2} + \sqrt{2(2)-3} = \sqrt{5(2)+6} + \sqrt{4(2)-7}$

$\sqrt{16} + \sqrt{1} = \sqrt{16} + \sqrt{1}$

$4+1 = 4+1$

$5=5$. Равенство верное.

Можно доказать, что это решение единственное. Рассмотрим функцию $f(t) = \sqrt{t+a} - \sqrt{t}$. Ее производная $f'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t+a}} - \frac{1}{2\sqrt{t}} < 0$, значит, функция убывающая. Наше уравнение можно записать в виде $\sqrt{(5x+6)+(2x-4)} - \sqrt{5x+6} = \sqrt{(2x-3)+(2x-4)} - \sqrt{2x-3}$, что не очень помогает. Другая перегруппировка $\sqrt{7x+2} - \sqrt{4x-7} = \sqrt{5x+6} - \sqrt{2x-3}$. Разность аргументов слева $(7x+2)-(4x-7)=3x+9$. Разность аргументов справа $(5x+6)-(2x-3)=3x+9$. Уравнение имеет вид $\sqrt{B+(3x+9)}-\sqrt{B} = \sqrt{D+(3x+9)}-\sqrt{D}$, где $B=4x-7, D=2x-3$. Функция $g(t)=\sqrt{t+(3x+9)}-\sqrt{t}$ является убывающей, поэтому равенство возможно только при $B=D$, то есть $4x-7 = 2x-3$, откуда $x=2$.

Ответ: $2$.

6) $\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4} = 2\sqrt{x}$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x+4 \ge 0 \implies x \ge -4/3 \\ x-4 \ge 0 \implies x \ge 4 \\ x \ge 0 \end{cases}$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4})^2 = (2\sqrt{x})^2$

$(3x+4) + 2\sqrt{(3x+4)(x-4)} + (x-4) = 4x$

$4x + 2\sqrt{3x^2 - 12x + 4x - 16} = 4x$

$4x + 2\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 4x$

Вычтем $4x$ из обеих частей:

$2\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 0$

$\sqrt{3x^2 - 8x - 16} = 0$

Возведем в квадрат:

$3x^2 - 8x - 16 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4(3)(-16) = 64 + 192 = 256 = 16^2$.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 16}{6}$

$x_1 = \frac{8+16}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

$x_2 = \frac{8-16}{6} = \frac{-8}{6} = -4/3$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 4$).

$x_1=4$ удовлетворяет ОДЗ.

$x_2=-4/3$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним корнем.

Проверим корень $x=4$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{3(4)+4} + \sqrt{4-4} = \sqrt{16} + \sqrt{0} = 4+0=4$.

$2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.

$4=4$. Равенство верное.

Ответ: $4$.