Номер 134, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

134. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x-3} > 2$;

2) $\sqrt{x-3} < 2$;

3) $\sqrt{x-3} > -2$;

4) $\sqrt{x-3} < -2$.

1) $\sqrt{x-3} > 2$

Для решения данного неравенства сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [3, +\infty)$.

Поскольку обе части неравенства ($\sqrt{x-3}$ и 2) являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:
$(\sqrt{x-3})^2 > 2^2$
$x - 3 > 4$
$x > 4 + 3$
$x > 7$

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. Мы имеем систему:
$\left\{\begin{array}{l}x > 7 \\ x \ge 3\end{array}\right.$
Общим решением системы является $x > 7$.

Ответ: $x \in (7, +\infty)$.

2) $\sqrt{x-3} < 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) такая же, как и в первом пункте, так как подкоренное выражение то же самое:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$
ОДЗ: $x \in [3, +\infty)$.

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:
$(\sqrt{x-3})^2 < 2^2$
$x - 3 < 4$
$x < 4 + 3$
$x < 7$

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ:
$\left\{\begin{array}{l}x < 7 \\ x \ge 3\end{array}\right.$
Решением этой системы является интервал $3 \le x < 7$.

Ответ: $x \in [3, 7)$.

3) $\sqrt{x-3} > -2$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ):
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$
ОДЗ: $x \in [3, +\infty)$.

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x-3}$ всегда принимает неотрицательные значения, то есть $\sqrt{x-3} \ge 0$ для всех $x$ из ОДЗ. Правая часть неравенства равна -2 (отрицательное число). Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа. Следовательно, неравенство $\sqrt{x-3} > -2$ будет верным для всех значений $x$, при которых выражение $\sqrt{x-3}$ определено.

Таким образом, решением неравенства является вся его область допустимых значений.

Ответ: $x \in [3, +\infty)$.

4) $\sqrt{x-3} < -2$

Область допустимых значений (ОДЗ) остается прежней:
$x - 3 \ge 0$
$x \ge 3$

Левая часть неравенства, $\sqrt{x-3}$, является арифметическим квадратным корнем, значение которого всегда неотрицательно ($\ge 0$). Правая часть неравенства равна -2. Неравенство требует, чтобы неотрицательное число было меньше отрицательного числа -2, что невозможно ни при каких значениях $x$. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).