Номер 137, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Решите неравенство:

1) $\sqrt{2x + 14} \ge x + 3;$

2) $\sqrt{11 - 5x} \ge x - 1;$

3) $\sqrt{x^2 + 7x + 12} > 6 - x.$

4) $\sqrt{-x^2 + 2x + 3} \ge x + 1.$

1)

Решим неравенство $\sqrt{2x + 14} \ge x + 3$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ и 2) $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) \ge (g(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае $f(x) = 2x + 14$ и $g(x) = x + 3$.

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} x + 3 < 0 \\ 2x + 14 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3 \\ 2x \ge -14 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3 \\ x \ge -7 \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in [-7, -3)$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 2x + 14 \ge (x + 3)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ 2x + 14 \ge x^2 + 6x + 9 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:

$0 \ge x^2 + 6x + 9 - 2x - 14$

$x^2 + 4x - 5 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 4x - 5$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 4x - 5 \le 0$ выполняется при $x \in [-5, 1]$.

Теперь найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x \ge -3 \\ x \in [-5, 1] \end{cases}$.

Решением этой системы является промежуток $x \in [-3, 1]$.

Объединим решения обеих систем:

Решением исходного неравенства является объединение промежутков $[-7, -3)$ и $[-3, 1]$, что дает $x \in [-7, 1]$.

Ответ: $x \in [-7, 1]$.

2)

Решим неравенство $\sqrt{11 - 5x} \ge x - 1$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} \ge g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ и 2) $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) \ge (g(x))^2 \end{cases}$

Здесь $f(x) = 11 - 5x$ и $g(x) = x - 1$.

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} x - 1 < 0 \\ 11 - 5x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ 11 \ge 5x \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x \le \frac{11}{5} \end{cases}$

Решением этой системы является промежуток $x \in (-\infty, 1)$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ 11 - 5x \ge (x - 1)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 1 \\ 11 - 5x \ge x^2 - 2x + 1 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$0 \ge x^2 - 2x + 1 - 11 + 5x$

$x^2 + 3x - 10 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$. Корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 2$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 + 3x - 10 \le 0$ выполняется при $x \in [-5, 2]$.

Найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x \ge 1 \\ x \in [-5, 2] \end{cases}$.

Решением этой системы является промежуток $x \in [1, 2]$.

Объединим решения обеих систем:

Объединение промежутков $(-\infty, 1)$ и $[1, 2]$ дает $(-\infty, 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

3)

Решим неравенство $\sqrt{x^2 + 7x + 12} > 6 - x$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$ равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ и 2) $\begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}$

Здесь $f(x) = x^2 + 7x + 12$ и $g(x) = 6 - x$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для подкоренного выражения: $x^2 + 7x + 12 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 + 7x + 12 = 0$: $x_1 = -4, x_2 = -3$. ОДЗ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-3, \infty)$.

Рассмотрим первую систему:

$\begin{cases} 6 - x < 0 \\ x^2 + 7x + 12 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 6 \\ x \in (-\infty, -4] \cup [-3, \infty) \end{cases}$

Пересечение этих условий дает $x \in (6, \infty)$.

Рассмотрим вторую систему:

$\begin{cases} 6 - x \ge 0 \\ x^2 + 7x + 12 > (6 - x)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 6 \\ x^2 + 7x + 12 > 36 - 12x + x^2 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$7x + 12 > 36 - 12x \implies 19x > 24 \implies x > \frac{24}{19}$

Найдем пересечение решений системы: $\begin{cases} x \le 6 \\ x > \frac{24}{19} \end{cases}$.

Решением этой системы является промежуток $x \in (\frac{24}{19}, 6]$. Этот промежуток удовлетворяет ОДЗ.

Объединим решения обеих систем:

Объединение промежутков $(\frac{24}{19}, 6]$ и $(6, \infty)$ дает $(\frac{24}{19}, \infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{24}{19}, \infty)$.

4)

Решим неравенство $\sqrt{-x^2 + 2x + 3} \ge x + 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$-x^2 + 2x + 3 \ge 0 \implies x^2 - 2x - 3 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$: $x_1 = -1, x_2 = 3$.

Неравенство $x^2 - 2x - 3 \le 0$ выполняется при $x \in [-1, 3]$. Это ОДЗ.

Решаем неравенство с помощью совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} x + 1 < 0 \\ -x^2 + 2x + 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -1 \\ x \in [-1, 3] \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как пересечение множеств пустое.

2) $\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ -x^2 + 2x + 3 \ge (x + 1)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ -x^2 + 2x + 3 \ge x^2 + 2x + 1 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$0 \ge 2x^2 - 2 \implies 2x^2 \le 2 \implies x^2 \le 1$

Это неравенство выполняется при $x \in [-1, 1]$.

Найдем пересечение решений системы 2) с учетом ОДЗ:

$\begin{cases} x \ge -1 \\ x \in [-1, 1] \\ x \in [-1, 3] \end{cases}$

Пересечением всех трех условий является промежуток $x \in [-1, 1]$.

Общее решение неравенства — это решение второй системы, так как первая система решений не имеет.

Ответ: $x \in [-1, 1]$.