Номер 118, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. Решите уравнение:

1) $x^{-\frac{4}{5}} = 0,0016$;

2) $(x-5)^{2,5} = 243$.

1) Запишем данное уравнение: $x^{-\frac{4}{5}} = 0,0016$.
Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,0016 = \frac{16}{10000} = \frac{1}{625}$.
Уравнение принимает вид: $x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{625}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), получаем: $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = \frac{1}{625}$.
Отсюда следует, что $x^{\frac{4}{5}} = 625$.
Для нахождения $x$ возведем обе части уравнения в степень, обратную данной, то есть в степень $\frac{5}{4}$:
$(x^{\frac{4}{5}})^{\frac{5}{4}} = 625^{\frac{5}{4}}$
$x = 625^{\frac{5}{4}}$
Вычислим значение правой части, используя определение степени с рациональным показателем: $625^{\frac{5}{4}} = (\sqrt[4]{625})^5$.
Так как $5^4 = 625$, то $\sqrt[4]{625} = 5$.
Следовательно, $x = 5^5 = 3125$.
Поскольку при определении степени с рациональным показателем основание $x$ должно быть положительным, мы получаем единственный корень.
Ответ: $3125$.

2) Запишем данное уравнение: $(x-5)^{2,5} = 243$.
Представим показатель степени $2,5$ в виде обыкновенной дроби: $2,5 = \frac{5}{2}$.
Уравнение принимает вид: $(x-5)^{\frac{5}{2}} = 243$.
По определению степени с дробным показателем, выражение $(x-5)^{\frac{5}{2}}$ можно записать как $(\sqrt{x-5})^5$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования корня четной степени: подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, $x-5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$.
Получаем уравнение: $(\sqrt{x-5})^5 = 243$.
Заметим, что $243$ является пятой степенью числа $3$, то есть $243 = 3^5$.
Таким образом, уравнение можно переписать как $(\sqrt{x-5})^5 = 3^5$.
Отсюда следует, что $\sqrt{x-5} = 3$.
Чтобы найти $x-5$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-5})^2 = 3^2$
$x-5 = 9$
$x = 9+5$
$x = 14$.
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $14 \ge 5$. Условие выполняется.
Ответ: $14$.