Страница 74 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Упростите выражение:

1) $a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - 2) - (a^{\frac{1}{4}} + 2)^2$;

2) $(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}) - (3x^{\frac{1}{3}} + 2y^{\frac{1}{3}})(2x^{\frac{1}{3}} - 3y^{\frac{1}{3}})$;

3) $(m^{\frac{1}{20}} - n^{\frac{1}{20}})(m^{\frac{1}{20}} + n^{\frac{1}{20}})(m^{\frac{1}{10}} + n^{\frac{1}{10}})(m^{\frac{1}{5}} + n^{\frac{1}{5}})$;

4) $(b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}})(b - b^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{2}} + c) - b^{\frac{5}{6}}(b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{6}})$.

1) Раскроем скобки в выражении $a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - 2) - (a^{\frac{1}{4}} + 2)^2$.
Первый член: $a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{1}{4}} - 2) = a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{1}{4}} - 2a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}} - 2a^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{4}}$.
Второй член является квадратом суммы: $(a^{\frac{1}{4}} + 2)^2 = (a^{\frac{1}{4}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{4}} \cdot 2 + 2^2 = a^{\frac{2}{4}} + 4a^{\frac{1}{4}} + 4 = a^{\frac{1}{2}} + 4a^{\frac{1}{4}} + 4$.
Теперь вычтем второе из первого:
$(a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{4}}) - (a^{\frac{1}{2}} + 4a^{\frac{1}{4}} + 4) = a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{4}} - a^{\frac{1}{2}} - 4a^{\frac{1}{4}} - 4$.
Приведем подобные слагаемые: $(a^{\frac{1}{2}} - a^{\frac{1}{2}}) + (-2a^{\frac{1}{4}} - 4a^{\frac{1}{4}}) - 4 = -6a^{\frac{1}{4}} - 4$.
Ответ: $-6a^{\frac{1}{4}} - 4$.

2) Рассмотрим выражение $(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}) - (3x^{\frac{1}{3}} + 2y^{\frac{1}{3}})(2x^{\frac{1}{3}} - 3y^{\frac{1}{3}})$.
Первая часть выражения — это формула разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{3}}) = (x^{\frac{1}{3}})^2 - (y^{\frac{1}{3}})^2 = x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}}$.
Вторую часть раскроем, перемножив скобки:
$(3x^{\frac{1}{3}} + 2y^{\frac{1}{3}})(2x^{\frac{1}{3}} - 3y^{\frac{1}{3}}) = 3x^{\frac{1}{3}} \cdot 2x^{\frac{1}{3}} - 3x^{\frac{1}{3}} \cdot 3y^{\frac{1}{3}} + 2y^{\frac{1}{3}} \cdot 2x^{\frac{1}{3}} - 2y^{\frac{1}{3}} \cdot 3y^{\frac{1}{3}} = 6x^{\frac{2}{3}} - 9x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 4x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} - 6y^{\frac{2}{3}} = 6x^{\frac{2}{3}} - 5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} - 6y^{\frac{2}{3}}$.
Теперь вычтем вторую часть из первой:
$(x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}}) - (6x^{\frac{2}{3}} - 5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} - 6y^{\frac{2}{3}}) = x^{\frac{2}{3}} - y^{\frac{2}{3}} - 6x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + 6y^{\frac{2}{3}}$.
Приведем подобные слагаемые: $(1-6)x^{\frac{2}{3}} + (-1+6)y^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} = -5x^{\frac{2}{3}} + 5y^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $5y^{\frac{2}{3}} - 5x^{\frac{2}{3}} + 5x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$.

3) Воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ последовательно.
Исходное выражение: $(m^{\frac{1}{20}} - n^{\frac{1}{20}})(m^{\frac{1}{20}} + n^{\frac{1}{20}})(m^{\frac{1}{10}} + n^{\frac{1}{10}})(m^{\frac{1}{5}} + n^{\frac{1}{5}})$.
Шаг 1: $(m^{\frac{1}{20}} - n^{\frac{1}{20}})(m^{\frac{1}{20}} + n^{\frac{1}{20}}) = (m^{\frac{1}{20}})^2 - (n^{\frac{1}{20}})^2 = m^{\frac{2}{20}} - n^{\frac{2}{20}} = m^{\frac{1}{10}} - n^{\frac{1}{10}}$.
Шаг 2: Подставляем результат в выражение: $(m^{\frac{1}{10}} - n^{\frac{1}{10}})(m^{\frac{1}{10}} + n^{\frac{1}{10}})(m^{\frac{1}{5}} + n^{\frac{1}{5}})$. Снова применяем формулу разности квадратов: $(m^{\frac{1}{10}} - n^{\frac{1}{10}})(m^{\frac{1}{10}} + n^{\frac{1}{10}}) = (m^{\frac{1}{10}})^2 - (n^{\frac{1}{10}})^2 = m^{\frac{2}{10}} - n^{\frac{2}{10}} = m^{\frac{1}{5}} - n^{\frac{1}{5}}$.
Шаг 3: Подставляем результат в выражение: $(m^{\frac{1}{5}} - n^{\frac{1}{5}})(m^{\frac{1}{5}} + n^{\frac{1}{5}})$. Последнее применение формулы: $(m^{\frac{1}{5}})^2 - (n^{\frac{1}{5}})^2 = m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}$.
Ответ: $m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}$.

4) Рассмотрим выражение $(b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}})(b - b^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{2}} + c) - b^{\frac{5}{6}}(b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{6}})$.
Первая часть выражения $(b^{\frac{1}{2}} + c^{\frac{1}{2}})(b - b^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{2}} + c)$ является формулой суммы кубов $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$, где $x=b^{\frac{1}{2}}$ и $y=c^{\frac{1}{2}}$.
Тогда $(b^{\frac{1}{2}})^2=b$, $(c^{\frac{1}{2}})^2=c$, и $xy = b^{\frac{1}{2}}c^{\frac{1}{2}}$. Формула подходит.
Применяем ее: $(b^{\frac{1}{2}})^3 + (c^{\frac{1}{2}})^3 = b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}}$.
Теперь упростим вторую часть: $- b^{\frac{5}{6}}(b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{6}})$. Раскроем скобки:
$- b^{\frac{5}{6}} \cdot b^{\frac{2}{3}} - b^{\frac{5}{6}} \cdot b^{\frac{1}{6}} = -b^{\frac{5}{6} + \frac{2}{3}} - b^{\frac{5}{6} + \frac{1}{6}} = -b^{\frac{5}{6} + \frac{4}{6}} - b^{\frac{6}{6}} = -b^{\frac{9}{6}} - b^1 = -b^{\frac{3}{2}} - b$.
Теперь объединим обе части:
$(b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}}) + (-b^{\frac{3}{2}} - b) = b^{\frac{3}{2}} + c^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}} - b$.
Сокращаем подобные члены: $c^{\frac{3}{2}} - b$.
Ответ: $c^{\frac{3}{2}} - b$.

117. Найдите значение выражения:

1) $3^{3,6} \cdot 3^{-1,2} \cdot 3^{1,6};$

2) $(5^{-0,8})^7 : 5^{-2,6};$

3) $(6^{-\frac{4}{11}})^{\frac{11}{20}} \cdot 36^{1,1};$

4) $81^{-1,25} \cdot 9^{1,5} \cdot 27^{\frac{2}{3}};$

5) $\left(\frac{7^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{2}{3}}}{14^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}}\right)^{-1,5}.$

1) $3^{3,6} \cdot 3^{-1,2} \cdot 3^{1,6}$
Для решения используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применяя это свойство, мы складываем показатели степеней:
$3^{3,6} \cdot 3^{-1,2} \cdot 3^{1,6} = 3^{3,6 + (-1,2) + 1,6} = 3^{3,6 - 1,2 + 1,6} = 3^{2,4 + 1,6} = 3^4$
Вычисляем полученное значение:
$3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$
Ответ: 81.

2) $(5^{-0,8})^7 : 5^{-2,6}$
Сначала используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(5^{-0,8})^7 = 5^{-0,8 \cdot 7} = 5^{-5,6}$
Далее используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$5^{-5,6} : 5^{-2,6} = 5^{-5,6 - (-2,6)} = 5^{-5,6 + 2,6} = 5^{-3}$
Вычисляем результат:
$5^{-3} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}$
Ответ: $\frac{1}{125}$.

3) $(6^{-\frac{4}{11}})^{\frac{11}{20}} \cdot 36^{1,1}$
Упростим первый множитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(6^{-\frac{4}{11}})^{\frac{11}{20}} = 6^{-\frac{4}{11} \cdot \frac{11}{20}} = 6^{-\frac{4}{20}} = 6^{-\frac{1}{5}}$
Преобразуем второй множитель, представив основание 36 как $6^2$:
$36^{1,1} = (6^2)^{1,1} = 6^{2 \cdot 1,1} = 6^{2,2}$
Теперь перемножим полученные степени. Для удобства представим $-\frac{1}{5}$ в виде десятичной дроби $-0,2$ и воспользуемся свойством $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$6^{-0,2} \cdot 6^{2,2} = 6^{-0,2 + 2,2} = 6^2 = 36$
Ответ: 36.

4) $81^{-1,25} \cdot 9^{1,5} \cdot 27^{\frac{2}{3}}$
Представим все основания (81, 9, 27) как степени числа 3:
$81 = 3^4$
$9 = 3^2$
$27 = 3^3$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$(3^4)^{-1,25} \cdot (3^2)^{1,5} \cdot (3^3)^{\frac{2}{3}}$
Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к каждому множителю:
$3^{4 \cdot (-1,25)} \cdot 3^{2 \cdot 1,5} \cdot 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^{-5} \cdot 3^3 \cdot 3^2$
Сложим показатели степеней:
$3^{-5+3+2} = 3^0 = 1$
Ответ: 1.

5) $(\frac{7^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{14^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}})^{-1,5}$
Сначала упростим выражение в скобках. В знаменателе представим $14^{\frac{2}{3}}$ как $(7 \cdot 2)^{\frac{2}{3}} = 7^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}$:
$\frac{7^{-\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}}$
Сократим общий множитель $2^{\frac{2}{3}}$ в числителе и знаменателе:
$\frac{7^{-\frac{2}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{4}{3}}}$
Теперь применим свойства деления и умножения степеней:
$\frac{7^{-\frac{2}{3}}}{7^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3^{-\frac{4}{3}}} = 7^{-\frac{2}{3} - \frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} = 7^{-\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}$
Используем свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$ в обратном порядке: $a^n \cdot b^{-n} = (\frac{a}{b})^n$
$7^{-\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} = (\frac{3}{7})^{\frac{4}{3}}$
Теперь возведем полученное выражение в степень $-1,5 = -\frac{3}{2}$:
$((\frac{3}{7})^{\frac{4}{3}})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{3}{7})^{\frac{4}{3} \cdot (-\frac{3}{2})} = (\frac{3}{7})^{-\frac{12}{6}} = (\frac{3}{7})^{-2}$
Вычисляем финальное значение:
$(\frac{3}{7})^{-2} = (\frac{7}{3})^2 = \frac{7^2}{3^2} = \frac{49}{9}$
Ответ: $\frac{49}{9}$.

118. Решите уравнение:

1) $x^{-\frac{4}{5}} = 0,0016$;

2) $(x-5)^{2,5} = 243$.

1) Запишем данное уравнение: $x^{-\frac{4}{5}} = 0,0016$.
Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,0016 = \frac{16}{10000} = \frac{1}{625}$.
Уравнение принимает вид: $x^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{625}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), получаем: $\frac{1}{x^{\frac{4}{5}}} = \frac{1}{625}$.
Отсюда следует, что $x^{\frac{4}{5}} = 625$.
Для нахождения $x$ возведем обе части уравнения в степень, обратную данной, то есть в степень $\frac{5}{4}$:
$(x^{\frac{4}{5}})^{\frac{5}{4}} = 625^{\frac{5}{4}}$
$x = 625^{\frac{5}{4}}$
Вычислим значение правой части, используя определение степени с рациональным показателем: $625^{\frac{5}{4}} = (\sqrt[4]{625})^5$.
Так как $5^4 = 625$, то $\sqrt[4]{625} = 5$.
Следовательно, $x = 5^5 = 3125$.
Поскольку при определении степени с рациональным показателем основание $x$ должно быть положительным, мы получаем единственный корень.
Ответ: $3125$.

2) Запишем данное уравнение: $(x-5)^{2,5} = 243$.
Представим показатель степени $2,5$ в виде обыкновенной дроби: $2,5 = \frac{5}{2}$.
Уравнение принимает вид: $(x-5)^{\frac{5}{2}} = 243$.
По определению степени с дробным показателем, выражение $(x-5)^{\frac{5}{2}}$ можно записать как $(\sqrt{x-5})^5$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования корня четной степени: подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Таким образом, $x-5 \ge 0$, откуда $x \ge 5$.
Получаем уравнение: $(\sqrt{x-5})^5 = 243$.
Заметим, что $243$ является пятой степенью числа $3$, то есть $243 = 3^5$.
Таким образом, уравнение можно переписать как $(\sqrt{x-5})^5 = 3^5$.
Отсюда следует, что $\sqrt{x-5} = 3$.
Чтобы найти $x-5$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x-5})^2 = 3^2$
$x-5 = 9$
$x = 9+5$
$x = 14$.
Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $14 \ge 5$. Условие выполняется.
Ответ: $14$.

119. Представьте данное выражение в виде: а) разности квадратов; б) разности кубов и разложите его на множители (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a^7 - b^{13}$;

2) $x^{\frac{9}{17}} - y^{\frac{2}{5}};$

3) $x^{\frac{1}{4}} - 6;$

4) $m^{\frac{5}{7}} - n^{\frac{1}{6}}.$

Поскольку по условию переменные принимают только неотрицательные значения, мы можем использовать свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$ для любых рациональных показателей $m$ и $n$. Для разложения на множители будем использовать формулы разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ и разности кубов $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

1) $a^7 - b^{13}$
а) Представляем выражение в виде разности квадратов:
$a^7 - b^{13} = (a^{\frac{7}{2}})^2 - (b^{\frac{13}{2}})^2$
Раскладываем на множители:
$(a^{\frac{7}{2}} - b^{\frac{13}{2}})(a^{\frac{7}{2}} + b^{\frac{13}{2}})$
Ответ: $(a^{\frac{7}{2}} - b^{\frac{13}{2}})(a^{\frac{7}{2}} + b^{\frac{13}{2}})$.
б) Представляем выражение в виде разности кубов:
$a^7 - b^{13} = (a^{\frac{7}{3}})^3 - (b^{\frac{13}{3}})^3$
Раскладываем на множители:
$(a^{\frac{7}{3}} - b^{\frac{13}{3}})((a^{\frac{7}{3}})^2 + a^{\frac{7}{3}}b^{\frac{13}{3}} + (b^{\frac{13}{3}})^2) = (a^{\frac{7}{3}} - b^{\frac{13}{3}})(a^{\frac{14}{3}} + a^{\frac{7}{3}}b^{\frac{13}{3}} + b^{\frac{26}{3}})$
Ответ: $(a^{\frac{7}{3}} - b^{\frac{13}{3}})(a^{\frac{14}{3}} + a^{\frac{7}{3}}b^{\frac{13}{3}} + b^{\frac{26}{3}})$.

2) $x^{\frac{9}{17}} - y^{\frac{2}{5}}$
а) Представляем выражение в виде разности квадратов:
$x^{\frac{9}{17}} - y^{\frac{2}{5}} = (x^{\frac{9}{34}})^2 - (y^{\frac{1}{5}})^2$
Раскладываем на множители:
$(x^{\frac{9}{34}} - y^{\frac{1}{5}})(x^{\frac{9}{34}} + y^{\frac{1}{5}})$
Ответ: $(x^{\frac{9}{34}} - y^{\frac{1}{5}})(x^{\frac{9}{34}} + y^{\frac{1}{5}})$.
б) Представляем выражение в виде разности кубов:
$x^{\frac{9}{17}} - y^{\frac{2}{5}} = (x^{\frac{3}{17}})^3 - (y^{\frac{2}{15}})^3$
Раскладываем на множители:
$(x^{\frac{3}{17}} - y^{\frac{2}{15}})((x^{\frac{3}{17}})^2 + x^{\frac{3}{17}}y^{\frac{2}{15}} + (y^{\frac{2}{15}})^2) = (x^{\frac{3}{17}} - y^{\frac{2}{15}})(x^{\frac{6}{17}} + x^{\frac{3}{17}}y^{\frac{2}{15}} + y^{\frac{4}{15}})$
Ответ: $(x^{\frac{3}{17}} - y^{\frac{2}{15}})(x^{\frac{6}{17}} + x^{\frac{3}{17}}y^{\frac{2}{15}} + y^{\frac{4}{15}})$.

3) $x^{\frac{1}{4}} - 6$
а) Представляем выражение в виде разности квадратов:
$x^{\frac{1}{4}} - 6 = (x^{\frac{1}{8}})^2 - (6^{\frac{1}{2}})^2$
Раскладываем на множители:
$(x^{\frac{1}{8}} - 6^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{8}} + 6^{\frac{1}{2}})$
Ответ: $(x^{\frac{1}{8}} - 6^{\frac{1}{2}})(x^{\frac{1}{8}} + 6^{\frac{1}{2}})$.
б) Представляем выражение в виде разности кубов:
$x^{\frac{1}{4}} - 6 = (x^{\frac{1}{12}})^3 - (6^{\frac{1}{3}})^3$
Раскладываем на множители:
$(x^{\frac{1}{12}} - 6^{\frac{1}{3}})((x^{\frac{1}{12}})^2 + x^{\frac{1}{12}} \cdot 6^{\frac{1}{3}} + (6^{\frac{1}{3}})^2) = (x^{\frac{1}{12}} - 6^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{12}} + 6^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{12}} + 6^{\frac{2}{3}}) = (x^{\frac{1}{12}} - 6^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{6}} + 6^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{12}} + 6^{\frac{2}{3}})$
Ответ: $(x^{\frac{1}{12}} - 6^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{1}{6}} + 6^{\frac{1}{3}}x^{\frac{1}{12}} + 6^{\frac{2}{3}})$.

4) $m^{\frac{5}{7}} - n^{\frac{1}{6}}$
а) Представляем выражение в виде разности квадратов:
$m^{\frac{5}{7}} - n^{\frac{1}{6}} = (m^{\frac{5}{14}})^2 - (n^{\frac{1}{12}})^2$
Раскладываем на множители:
$(m^{\frac{5}{14}} - n^{\frac{1}{12}})(m^{\frac{5}{14}} + n^{\frac{1}{12}})$
Ответ: $(m^{\frac{5}{14}} - n^{\frac{1}{12}})(m^{\frac{5}{14}} + n^{\frac{1}{12}})$.
б) Представляем выражение в виде разности кубов:
$m^{\frac{5}{7}} - n^{\frac{1}{6}} = (m^{\frac{5}{21}})^3 - (n^{\frac{1}{18}})^3$
Раскладываем на множители:
$(m^{\frac{5}{21}} - n^{\frac{1}{18}})((m^{\frac{5}{21}})^2 + m^{\frac{5}{21}}n^{\frac{1}{18}} + (n^{\frac{1}{18}})^2) = (m^{\frac{5}{21}} - n^{\frac{1}{18}})(m^{\frac{10}{21}} + m^{\frac{5}{21}}n^{\frac{1}{18}} + n^{\frac{2}{18}}) = (m^{\frac{5}{21}} - n^{\frac{1}{18}})(m^{\frac{10}{21}} + m^{\frac{5}{21}}n^{\frac{1}{18}} + n^{\frac{1}{9}})$
Ответ: $(m^{\frac{5}{21}} - n^{\frac{1}{18}})(m^{\frac{10}{21}} + m^{\frac{5}{21}}n^{\frac{1}{18}} + n^{\frac{1}{9}})$.

120. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $3a^{\frac{1}{4}} + a;$

2) $x^{\frac{3}{7}}y - y^{\frac{3}{7}}x;$

3) $14^{\frac{3}{4}} + 21^{\frac{3}{4}};$

4) $8m^{\frac{5}{7}} + 12m^{\frac{3}{14}};$

5) $n^{\frac{1}{6}} + 6n^{\frac{1}{7}};$

6) $a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{3}{5}} + ab + a^{\frac{7}{9}}b^{\frac{1}{5}}.$

1) В выражении $3a^{\frac{1}{4}} + a$ представим второй член как $a^1$. Общий множитель для переменной $a$ будет $a$ в наименьшей степени. Сравнивая степени $\frac{1}{4}$ и $1$, видим, что наименьшая степень - это $\frac{1}{4}$. Таким образом, общий множитель - $a^{\frac{1}{4}}$. Вынесем его за скобки:
$3a^{\frac{1}{4}} + a = a^{\frac{1}{4}}(\frac{3a^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{1}{4}}} + \frac{a^1}{a^{\frac{1}{4}}}) = a^{\frac{1}{4}}(3 \cdot a^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}} + a^{1-\frac{1}{4}}) = a^{\frac{1}{4}}(3a^0 + a^{\frac{3}{4}}) = a^{\frac{1}{4}}(3 + a^{\frac{3}{4}})$.
Ответ: $a^{\frac{1}{4}}(3 + a^{\frac{3}{4}})$

2) В выражении $x^{\frac{3}{7}}y - y^{\frac{3}{7}}x$ найдем общий множитель для каждой переменной. Для $x$ наименьшая степень из $\frac{3}{7}$ и $1$ - это $\frac{3}{7}$. Для $y$ наименьшая степень из $1$ и $\frac{3}{7}$ - это $\frac{3}{7}$. Таким образом, общий множитель - $x^{\frac{3}{7}}y^{\frac{3}{7}}$. Вынесем его за скобки:
$x^{\frac{3}{7}}y - y^{\frac{3}{7}}x = x^{\frac{3}{7}}y^{\frac{3}{7}}(\frac{x^{\frac{3}{7}}y^1}{x^{\frac{3}{7}}y^{\frac{3}{7}}} - \frac{y^{\frac{3}{7}}x^1}{x^{\frac{3}{7}}y^{\frac{3}{7}}}) = x^{\frac{3}{7}}y^{\frac{3}{7}}(y^{1-\frac{3}{7}} - x^{1-\frac{3}{7}}) = x^{\frac{3}{7}}y^{\frac{3}{7}}(y^{\frac{4}{7}} - x^{\frac{4}{7}})$.
Ответ: $x^{\frac{3}{7}}y^{\frac{3}{7}}(y^{\frac{4}{7}} - x^{\frac{4}{7}})$

3) В выражении $14^{\frac{3}{4}} + 21^{\frac{3}{4}}$ разложим основания на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$ и $21 = 3 \cdot 7$. Выражение примет вид: $(2 \cdot 7)^{\frac{3}{4}} + (3 \cdot 7)^{\frac{3}{4}}$. Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, получаем: $2^{\frac{3}{4}} \cdot 7^{\frac{3}{4}} + 3^{\frac{3}{4}} \cdot 7^{\frac{3}{4}}$. Общим множителем является $7^{\frac{3}{4}}$. Вынесем его за скобки:
$7^{\frac{3}{4}}(2^{\frac{3}{4}} + 3^{\frac{3}{4}})$.
Ответ: $7^{\frac{3}{4}}(2^{\frac{3}{4}} + 3^{\frac{3}{4}})$

4) В выражении $8m^{\frac{5}{7}} + 12m^{\frac{3}{14}}$ найдем общий множитель для коэффициентов и для переменной. Наибольший общий делитель для 8 и 12 равен 4. Для переменной $m$ найдем наименьшую степень, сравнивая $\frac{5}{7}$ и $\frac{3}{14}$. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{5}{7} = \frac{10}{14}$. Так как $\frac{3}{14} < \frac{10}{14}$, наименьшая степень равна $\frac{3}{14}$. Общий множитель - $4m^{\frac{3}{14}}$. Вынесем его за скобки:
$8m^{\frac{5}{7}} + 12m^{\frac{3}{14}} = 4m^{\frac{3}{14}}(\frac{8m^{\frac{10}{14}}}{4m^{\frac{3}{14}}} + \frac{12m^{\frac{3}{14}}}{4m^{\frac{3}{14}}}) = 4m^{\frac{3}{14}}(2m^{\frac{10}{14}-\frac{3}{14}} + 3) = 4m^{\frac{3}{14}}(2m^{\frac{7}{14}} + 3) = 4m^{\frac{3}{14}}(2m^{\frac{1}{2}} + 3)$.
Ответ: $4m^{\frac{3}{14}}(2m^{\frac{1}{2}} + 3)$

5) В выражении $n^{\frac{1}{6}} + 6n^{\frac{1}{7}}$ общим множителем для коэффициентов является 1. Для переменной $n$ найдем наименьшую степень, сравнивая $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{7}$. Приведем к общему знаменателю 42: $\frac{1}{6} = \frac{7}{42}$ и $\frac{1}{7} = \frac{6}{42}$. Так как $\frac{6}{42} < \frac{7}{42}$, наименьшая степень равна $\frac{1}{7}$. Общий множитель - $n^{\frac{1}{7}}$. Вынесем его за скобки:
$n^{\frac{1}{6}} + 6n^{\frac{1}{7}} = n^{\frac{1}{7}}(\frac{n^{\frac{1}{6}}}{n^{\frac{1}{7}}} + \frac{6n^{\frac{1}{7}}}{n^{\frac{1}{7}}}) = n^{\frac{1}{7}}(n^{\frac{1}{6}-\frac{1}{7}} + 6) = n^{\frac{1}{7}}(n^{\frac{7-6}{42}} + 6) = n^{\frac{1}{7}}(n^{\frac{1}{42}} + 6)$.
Ответ: $n^{\frac{1}{7}}(n^{\frac{1}{42}} + 6)$

6) В выражении $a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{3}{5}} + ab + a^{\frac{7}{9}}b^{\frac{1}{5}}$ найдем общий множитель для каждой переменной. Для переменной $a$ сравниваем степени $\frac{2}{9}$, $1$ и $\frac{7}{9}$. Наименьшая степень - $\frac{2}{9}$. Для переменной $b$ сравниваем степени $\frac{3}{5}$, $1$ и $\frac{1}{5}$. Наименьшая степень - $\frac{1}{5}$. Общий множитель - $a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}$. Вынесем его за скобки:
$a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{3}{5}} + a^1b^1 + a^{\frac{7}{9}}b^{\frac{1}{5}} = a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}(\frac{a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}} + \frac{a^1b^1}{a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}} + \frac{a^{\frac{7}{9}}b^{\frac{1}{5}}}{a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}})$
$= a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}(a^{\frac{2}{9}-\frac{2}{9}}b^{\frac{3}{5}-\frac{1}{5}} + a^{1-\frac{2}{9}}b^{1-\frac{1}{5}} + a^{\frac{7}{9}-\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}-\frac{1}{5}})$
$= a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}(a^0 b^{\frac{2}{5}} + a^{\frac{7}{9}}b^{\frac{4}{5}} + a^{\frac{5}{9}}b^0)$
$= a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}(b^{\frac{2}{5}} + a^{\frac{7}{9}}b^{\frac{4}{5}} + a^{\frac{5}{9}})$.
Ответ: $a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{1}{5}}(b^{\frac{2}{5}} + a^{\frac{7}{9}}b^{\frac{4}{5}} + a^{\frac{5}{9}})$

121. Сократите дробь:

1) $\frac{x - 9x^7}{x^7 - 9}$;

2) $\frac{6y^3}{y^6 - y^3}$;

3) $\frac{4a^{0.5} - 3b^{0.5}}{16a - 9b}$;

4) $\frac{x + y}{\frac{1}{x^3} + \frac{1}{y^3}}$;

5) $\frac{b + 2b^{0.5}c^{0.5} + c}{bc^{0.5} + b^{0.5}c}$;

6) $\frac{3a^{\frac{1}{3}} + a}{3a^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{5}{6}}}$;

7) $\frac{a + 27}{a^{\frac{2}{3}} - 9}$;

8) $\frac{m^{\frac{5}{8}} + 5m^{\frac{1}{4}}}{m - 25m^{\frac{1}{4}}}$;

9) $\frac{21^{\frac{1}{5}} + 3^{\frac{1}{5}}}{63^{\frac{1}{5}} + 9^{\frac{1}{5}}}$.

1) $\frac{x - 9x^{\frac{2}{7}}}{x^{\frac{5}{7}} - 9}$
В числителе вынесем за скобки общий множитель $x^{\frac{2}{7}}$. Учтем, что $x = x^1 = x^{\frac{7}{7}}$.
$x - 9x^{\frac{2}{7}} = x^{\frac{2}{7}} \cdot x^{\frac{5}{7}} - 9x^{\frac{2}{7}} = x^{\frac{2}{7}}(x^{\frac{5}{7}} - 9)$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{x^{\frac{2}{7}}(x^{\frac{5}{7}} - 9)}{x^{\frac{5}{7}} - 9} = x^{\frac{2}{7}}$.
Ответ: $x^{\frac{2}{7}}$

2) $\frac{6y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{5}{6}} - y^{\frac{2}{3}}}$
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $y^{\frac{2}{3}}$. Представим $y^{\frac{2}{3}}$ как $y^{\frac{4}{6}}$.
$y^{\frac{5}{6}} - y^{\frac{2}{3}} = y^{\frac{5}{6}} - y^{\frac{4}{6}} = y^{\frac{4}{6}}(y^{\frac{1}{6}} - 1) = y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{6}} - 1)$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{6y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{2}{3}}(y^{\frac{1}{6}} - 1)} = \frac{6}{y^{\frac{1}{6}} - 1}$.
Ответ: $\frac{6}{y^{\frac{1}{6}} - 1}$

3) $\frac{4a^{0.5} - 3b^{0.5}}{16a - 9b}$
Знаменатель является разностью квадратов, так как $16a = (4a^{0.5})^2$ и $9b = (3b^{0.5})^2$.
$16a - 9b = (4a^{0.5})^2 - (3b^{0.5})^2 = (4a^{0.5} - 3b^{0.5})(4a^{0.5} + 3b^{0.5})$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{4a^{0.5} - 3b^{0.5}}{(4a^{0.5} - 3b^{0.5})(4a^{0.5} + 3b^{0.5})} = \frac{1}{4a^{0.5} + 3b^{0.5}}$.
Ответ: $\frac{1}{4a^{0.5} + 3b^{0.5}}$

4) $\frac{x + y}{x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}}$
Числитель можно представить как сумму кубов, так как $x = (x^{\frac{1}{3}})^3$ и $y = (y^{\frac{1}{3}})^3$.
$x + y = (x^{\frac{1}{3}})^3 + (y^{\frac{1}{3}})^3 = (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}})$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}})}{x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}}} = x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}$

5) $\frac{b + 2b^{0.5}c^{0.5} + c}{bc^{0.5} + b^{0.5}c}$
Числитель является полным квадратом: $b + 2b^{0.5}c^{0.5} + c = (b^{0.5} + c^{0.5})^2$.
В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $b^{0.5}c^{0.5}$:
$bc^{0.5} + b^{0.5}c = b^{0.5}c^{0.5}(b^{0.5} + c^{0.5})$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{(b^{0.5} + c^{0.5})^2}{b^{0.5}c^{0.5}(b^{0.5} + c^{0.5})} = \frac{b^{0.5} + c^{0.5}}{b^{0.5}c^{0.5}} = \frac{b^{0.5} + c^{0.5}}{(bc)^{0.5}}$.
Ответ: $\frac{b^{0.5} + c^{0.5}}{(bc)^{0.5}}$

6) $\frac{3a^{\frac{1}{3}} + a}{3a^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{5}{6}}}$
В числителе вынесем за скобки $a^{\frac{1}{3}}$: $3a^{\frac{1}{3}} + a = a^{\frac{1}{3}}(3 + a^{1-\frac{1}{3}}) = a^{\frac{1}{3}}(3 + a^{\frac{2}{3}})$.
В знаменателе вынесем за скобки $a^{\frac{1}{6}}$: $3a^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{5}{6}} = a^{\frac{1}{6}}(3 + a^{\frac{5}{6}-\frac{1}{6}}) = a^{\frac{1}{6}}(3 + a^{\frac{4}{6}}) = a^{\frac{1}{6}}(3 + a^{\frac{2}{3}})$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{a^{\frac{1}{3}}(3 + a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{6}}(3 + a^{\frac{2}{3}})} = \frac{a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{6}}} = a^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}} = a^{\frac{1}{6}}$.
Ответ: $a^{\frac{1}{6}}$

7) $\frac{a + 27}{a^{\frac{2}{3}} - 9}$
Разложим числитель по формуле суммы кубов: $a + 27 = (a^{\frac{1}{3}})^3 + 3^3 = (a^{\frac{1}{3}} + 3)(a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}} + 9)$.
Разложим знаменатель по формуле разности квадратов: $a^{\frac{2}{3}} - 9 = (a^{\frac{1}{3}})^2 - 3^2 = (a^{\frac{1}{3}} - 3)(a^{\frac{1}{3}} + 3)$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{(a^{\frac{1}{3}} + 3)(a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}} + 9)}{(a^{\frac{1}{3}} - 3)(a^{\frac{1}{3}} + 3)} = \frac{a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}} + 9}{a^{\frac{1}{3}} - 3}$.
Ответ: $\frac{a^{\frac{2}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}} + 9}{a^{\frac{1}{3}} - 3}$

8) $\frac{m^{\frac{5}{8}} + 5m^{\frac{1}{4}}}{m - 25m^{\frac{1}{4}}}$
В числителе вынесем за скобки $m^{\frac{1}{4}}$: $m^{\frac{5}{8}} + 5m^{\frac{2}{8}} = m^{\frac{2}{8}}(m^{\frac{3}{8}} + 5) = m^{\frac{1}{4}}(m^{\frac{3}{8}} + 5)$.
В знаменателе вынесем за скобки $m^{\frac{1}{4}}$: $m - 25m^{\frac{1}{4}} = m^{\frac{1}{4}}(m^{\frac{3}{4}} - 25)$.
Получим дробь: $\frac{m^{\frac{1}{4}}(m^{\frac{3}{8}} + 5)}{m^{\frac{1}{4}}(m^{\frac{3}{4}} - 25)} = \frac{m^{\frac{3}{8}} + 5}{m^{\frac{3}{4}} - 25}$.
Знаменатель полученной дроби - это разность квадратов: $m^{\frac{3}{4}} - 25 = (m^{\frac{3}{8}})^2 - 5^2 = (m^{\frac{3}{8}} - 5)(m^{\frac{3}{8}} + 5)$.
Снова подставим и сократим: $\frac{m^{\frac{3}{8}} + 5}{(m^{\frac{3}{8}} - 5)(m^{\frac{3}{8}} + 5)} = \frac{1}{m^{\frac{3}{8}} - 5}$.
Ответ: $\frac{1}{m^{\frac{3}{8}} - 5}$

9) $\frac{21^{\frac{1}{5}} + 3^{\frac{1}{5}}}{63^{\frac{1}{5}} + 9^{\frac{1}{5}}}$
Разложим числа под корнем на множители.
В числителе: $21^{\frac{1}{5}} + 3^{\frac{1}{5}} = (7 \cdot 3)^{\frac{1}{5}} + 3^{\frac{1}{5}} = 7^{\frac{1}{5}} \cdot 3^{\frac{1}{5}} + 3^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{1}{5}}(7^{\frac{1}{5}} + 1)$.
В знаменателе: $63^{\frac{1}{5}} + 9^{\frac{1}{5}} = (7 \cdot 9)^{\frac{1}{5}} + 9^{\frac{1}{5}} = 7^{\frac{1}{5}} \cdot 9^{\frac{1}{5}} + 9^{\frac{1}{5}} = 9^{\frac{1}{5}}(7^{\frac{1}{5}} + 1)$.
Подставим это в дробь и сократим:
$\frac{3^{\frac{1}{5}}(7^{\frac{1}{5}} + 1)}{9^{\frac{1}{5}}(7^{\frac{1}{5}} + 1)} = \frac{3^{\frac{1}{5}}}{9^{\frac{1}{5}}} = (\frac{3}{9})^{\frac{1}{5}} = (\frac{1}{3})^{\frac{1}{5}}$.
Ответ: $(\frac{1}{3})^{\frac{1}{5}}$