Страница 73 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

1) $7^{\frac{1}{3}}$;

2) $5^{\frac{3}{7}}$;

3) $2^{-\frac{1}{5}}$;

4) $11^{-\frac{2}{9}}$;

5) $(m-n)^{2.5}$;

6) $(2x+3y^2)^{-\frac{5}{2}}$.

Для преобразования степени с дробным показателем в корень используется формула: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a > 0$, $m$ - целое число, $n$ - натуральное число. Если показатель степени отрицательный, используется свойство $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.

1) Дано выражение $7^{\frac{1}{3}}$.

В этом случае основание $a=7$, числитель показателя $m=1$, а знаменатель $n=3$.

Применяя формулу, получаем: $7^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{7^1} = \sqrt[3]{7}$.

Ответ: $\sqrt[3]{7}$.

2) Дано выражение $5^{\frac{3}{7}}$.

Здесь основание $a=5$, числитель показателя $m=3$, знаменатель $n=7$.

По формуле $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ получаем: $5^{\frac{3}{7}} = \sqrt[7]{5^3}$.

Ответ: $\sqrt[7]{5^3}$.

3) Дано выражение $2^{-\frac{1}{5}}$.

Сначала преобразуем степень с отрицательным показателем: $2^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{5}}}$.

Теперь представим знаменатель в виде корня. Для $2^{\frac{1}{5}}$ основание $a=2$, числитель $m=1$, знаменатель $n=5$.

Получаем: $2^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{2^1} = \sqrt[5]{2}$.

Следовательно, исходное выражение равно $\frac{1}{\sqrt[5]{2}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[5]{2}}$.

4) Дано выражение $11^{-\frac{2}{9}}$.

Преобразуем степень с отрицательным показателем: $11^{-\frac{2}{9}} = \frac{1}{11^{\frac{2}{9}}}$.

Представим знаменатель $11^{\frac{2}{9}}$ в виде корня. Здесь $a=11$, $m=2$, $n=9$.

Получаем: $11^{\frac{2}{9}} = \sqrt[9]{11^2}$.

Таким образом, исходное выражение равно $\frac{1}{\sqrt[9]{11^2}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[9]{11^2}}$.

5) Дано выражение $(m-n)^{2,5}$.

Сначала представим десятичный показатель $2,5$ в виде обыкновенной дроби: $2,5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.

Выражение принимает вид $(m-n)^{\frac{5}{2}}$.

Здесь основание $a=(m-n)$, числитель показателя $m=5$, знаменатель $n=2$.

Применяя формулу, получаем: $(m-n)^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{(m-n)^5} = \sqrt{(m-n)^5}$. (Показатель корня 2 принято не писать).

Ответ: $\sqrt{(m-n)^5}$.

6) Дано выражение $(2x+3y^2)^{-2\frac{1}{2}}$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-2\frac{1}{2} = -\frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{5}{2}$.

Выражение принимает вид $(2x+3y^2)^{-\frac{5}{2}}$.

Из-за отрицательного показателя преобразуем выражение: $(2x+3y^2)^{-\frac{5}{2}} = \frac{1}{(2x+3y^2)^{\frac{5}{2}}}$.

Теперь представим знаменатель в виде корня. Основание $a=(2x+3y^2)$, числитель $m=5$, знаменатель $n=2$.

Получаем: $(2x+3y^2)^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{(2x+3y^2)^5} = \sqrt{(2x+3y^2)^5}$.

Следовательно, исходное выражение равно $\frac{1}{\sqrt{(2x+3y^2)^5}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{(2x+3y^2)^5}}$.

111. Замените арифметический корень степенью с дробным показателем:

1) $\sqrt[3]{x}$;

2) $\sqrt[5]{y^3}$;

3) $\sqrt[7]{3b}$;

4) $\sqrt[3]{7^{-5}}$;

5) $\sqrt[11]{(a + b)^4}$;

6) $\sqrt[11]{a^4 + b^4}$.

Для замены арифметического корня степенью с дробным показателем используется общее правило: корень n-й степени из числа a в степени m равен числу a в степени m/n. Математически это записывается так:

$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

где $n$ – показатель корня, а $m$ – показатель степени подкоренного выражения.

1)

В выражении $\sqrt[3]{x}$ показатель корня $n = 3$. Подкоренное выражение $x$ находится в первой степени, то есть $x = x^1$, значит, показатель степени $m = 1$.
Применяя формулу, получаем:
$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$
Ответ: $x^{\frac{1}{3}}$

2)

В выражении $\sqrt[5]{y^3}$ показатель корня $n = 5$, а показатель степени подкоренного выражения $m = 3$.
Следовательно:
$\sqrt[5]{y^3} = y^{\frac{3}{5}}$
Ответ: $y^{\frac{3}{5}}$

3)

В выражении $\sqrt[7]{3b}$ показатель корня $n = 7$. Подкоренное выражение $(3b)$ можно представить как $(3b)^1$, поэтому $m = 1$.
Таким образом:
$\sqrt[7]{3b} = (3b)^{\frac{1}{7}}$
Ответ: $(3b)^{\frac{1}{7}}$

4)

В выражении $\sqrt[3]{7^{-5}}$ показатель корня $n = 3$, а показатель степени подкоренного выражения $m = -5$.
Применяем формулу:
$\sqrt[3]{7^{-5}} = 7^{\frac{-5}{3}} = 7^{-\frac{5}{3}}$
Ответ: $7^{-\frac{5}{3}}$

5)

В выражении $\sqrt[11]{(a+b)^4}$ показатель корня $n = 11$. Основанием степени является все выражение в скобках $(a+b)$, а его показатель $m = 4$.
Получаем:
$\sqrt[11]{(a+b)^4} = (a+b)^{\frac{4}{11}}$
Ответ: $(a+b)^{\frac{4}{11}}$

6)

В выражении $\sqrt[11]{a^4+b^4}$ показатель корня $n = 11$. Подкоренным выражением является вся сумма $a^4+b^4$. Эту сумму можно рассматривать как выражение в первой степени: $(a^4+b^4)^1$. Значит, $m = 1$.
Следовательно:
$\sqrt[11]{a^4+b^4} = (a^4+b^4)^{\frac{1}{11}}$
Ответ: $(a^4+b^4)^{\frac{1}{11}}$

112. Найдите значение выражения:

1) $8^{\frac{1}{3}}$;

2) $32^{-\frac{2}{5}}$;

3) $0,0004^{-1,5}$;

4) $81^{0,75}$;

5) $\left(12\frac{1}{4}\right)^{1,5}$.

1) Чтобы найти значение выражения $8^{\frac{1}{3}}$, воспользуемся определением степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае $m=1$ и $n=3$, поэтому $8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}$. Кубический корень из 8 равен 2, так как $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Альтернативный способ — представить основание 8 в виде степени $8 = 2^3$. Тогда выражение можно записать как $(2^3)^{\frac{1}{3}}$. Используя свойство возведения степени в степень $(a^x)^y = a^{xy}$, получаем: $2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$. Ответ: 2.

2) Для вычисления выражения $32^{-\frac{2}{5}}$ воспользуемся двумя свойствами степеней. Сначала свойством отрицательного показателя $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $32^{-\frac{2}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{2}{5}}}$. Теперь вычислим знаменатель $32^{\frac{2}{5}}$. Представим 32 как степень числа 2: $32 = 2^5$. Подставим это в наше выражение: $\frac{1}{(2^5)^{\frac{2}{5}}}$. По свойству $(a^x)^y = a^{xy}$ получаем: $\frac{1}{2^{5 \cdot \frac{2}{5}}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Ответ: $\frac{1}{4}$.

3) Для вычисления $0.0004^{-1.5}$ преобразуем десятичные дроби в обыкновенные для удобства. $0.0004 = \frac{4}{10000} = \frac{1}{2500}$. $-1.5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$. Таким образом, исходное выражение равно $(\frac{1}{2500})^{-\frac{3}{2}}$. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, "перевернем" дробь и сменим знак показателя на положительный: $(\frac{2500}{1})^{\frac{3}{2}} = 2500^{\frac{3}{2}}$. Теперь вычислим это значение. $2500^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{2500})^3$. Поскольку $\sqrt{2500} = 50$, то получаем $50^3 = 50 \cdot 50 \cdot 50 = 125000$. Ответ: 125000.

4) Чтобы найти значение $81^{0.75}$, представим десятичный показатель $0.75$ в виде обыкновенной дроби: $0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$. Теперь выражение имеет вид $81^{\frac{3}{4}}$. Представим основание 81 как степень числа 3: $81 = 3^4$. Подставим в выражение: $(3^4)^{\frac{3}{4}}$. Используя свойство $(a^x)^y = a^{xy}$, получаем: $3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$. Ответ: 27.

5) Для вычисления $(12\frac{1}{4})^{1.5}$ преобразуем смешанное число и десятичную дробь в неправильные дроби. $12\frac{1}{4} = \frac{12 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{49}{4}$. $1.5 = \frac{3}{2}$. Исходное выражение принимает вид $(\frac{49}{4})^{\frac{3}{2}}$. Можно представить основание как квадрат дроби: $\frac{49}{4} = (\frac{7}{2})^2$. Тогда выражение равно $((\frac{7}{2})^2)^{\frac{3}{2}}$. По свойству $(a^x)^y = a^{xy}$ получаем: $(\frac{7}{2})^{2 \cdot \frac{3}{2}} = (\frac{7}{2})^3$. Возводим дробь в куб: $\frac{7^3}{2^3} = \frac{343}{8}$. Этот ответ можно представить в виде смешанного числа $42\frac{7}{8}$ или десятичной дроби $42.875$. Ответ: $\frac{343}{8}$.

113. Найдите область определения функции:

1) $y = x^{\frac{5}{8}};$

2) $y = x^{-1,2};$

3) $y = (x - 2)^{3,4};$

4) $y = \left(\frac{x+7}{x-4}\right)^{2,1};$

5) $y = (5 - 4x - x^2)^{-\frac{1}{7}}.$

1) Дана функция $y = x^{\frac{5}{8}}$. Это степенная функция с рациональным показателем $a = \frac{5}{8}$. Поскольку знаменатель показателя степени (8) является четным числом, а показатель степени - положительным, основание степени должно быть неотрицательным. Таким образом, область определения функции задается неравенством $x \ge 0$.
Ответ: $[0; +\infty)$.

2) Дана функция $y = x^{-1,2}$. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $-1,2 = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}$. Таким образом, функция имеет вид $y = x^{-\frac{6}{5}}$. Это степенная функция с рациональным показателем $a = -\frac{6}{5}$. Знаменатель показателя степени (5) является нечетным числом, поэтому основание $x$ может быть любым действительным числом. Однако, так как показатель степени отрицательный, основание не может быть равно нулю, чтобы избежать деления на ноль ($y = \frac{1}{x^{6/5}}$). Таким образом, область определения функции задается условием $x \neq 0$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) Дана функция $y = (x-2)^{3,4}$. Преобразуем показатель степени: $3,4 = \frac{34}{10} = \frac{17}{5}$. Функция имеет вид $y = (x-2)^{\frac{17}{5}}$. Это степенная функция, где основанием является выражение $(x-2)$, а показатель $a = \frac{17}{5}$ - положительное рациональное число. Знаменатель показателя степени (5) является нечетным числом. Это означает, что функция определена для любого действительного значения основания $(x-2)$. Выражение $x-2$ определено для всех действительных чисел $x$. Следовательно, область определения функции - все действительные числа.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

4) Дана функция $y = \left(\frac{x+7}{x-4}\right)^{2,1}$. Преобразуем показатель степени: $2,1 = \frac{21}{10}$. Функция имеет вид $y = \left(\frac{x+7}{x-4}\right)^{\frac{21}{10}}$. Показатель степени $a = \frac{21}{10}$ - положительное рациональное число. Знаменатель показателя (10) является четным числом, поэтому основание степени должно быть неотрицательным: $\frac{x+7}{x-4} \ge 0$. Кроме того, знаменатель дроби в основании не может быть равен нулю: $x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$. Решим неравенство $\frac{x+7}{x-4} \ge 0$ методом интервалов. Нули числителя: $x+7=0 \implies x=-7$. Нули знаменателя: $x-4=0 \implies x=4$. Нанесем точки на числовую прямую. Точка $-7$ включается, а точка $4$ исключается.

Проверяем знаки на интервалах: $(-\infty; -7]$, $(-7; 4)$, $[4; +\infty)$.

• При $x > 4$ (например $x=5$): $\frac{5+7}{5-4} > 0$.
• При $-7 < x < 4$ (например $x=0$): $\frac{0+7}{0-4} < 0$.
• При $x < -7$ (например $x=-8$): $\frac{-8+7}{-8-4} > 0$.

Нам нужны интервалы со знаком "+", а также точка $x=-7$.
Ответ: $(-\infty; -7] \cup (4; +\infty)$.

5) Дана функция $y = (5-4x-x^2)^{-\frac{1}{7}}$. Показатель степени $a = -\frac{1}{7}$ является отрицательным рациональным числом. Знаменатель показателя (7) - нечетное число, что означало бы, что основание может быть любым. Однако, так как показатель отрицательный, основание степени не может быть равно нулю: $5-4x-x^2 \neq 0$. Найдем значения $x$, которые необходимо исключить, решив уравнение $5-4x-x^2 = 0$. Умножим на -1: $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а произведение равно $-5$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$. Эти два значения $x$ должны быть исключены из области определения.
Ответ: $(-\infty; -5) \cup (-5; 1) \cup (1; +\infty)$.

114. Упростите выражение:

1) $x^{-1,3} \cdot x^{2,5}$;

2) $x^{\frac{7}{12}} : x^{\frac{5}{8}};$

3) $(x^{-6})^{0,6};$

4) $x^{\frac{4}{7}} \cdot x^{\frac{9}{14}} \cdot x^{-\frac{15}{28}};$

5) $(x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{9}})^{\frac{18}{25}};$

6) $(x^4)^{0,8} \cdot (x^{-1,4})^3 : (x^{-1,5})^6;$

7) $\frac{x^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{3}{8}} \cdot x^{\frac{1}{12}}};$

8) $\sqrt[3]{a} \cdot a^{\frac{3}{4}};$

9) $\sqrt[8]{a^5} \cdot a^{-\frac{3}{5}};$

10) $(\sqrt[4]{a^{-3}})^9 \cdot (a^{\frac{8}{9}})^{-\frac{3}{16}}$.

1) Для упрощения выражения $x^{-1,3} \cdot x^{2,5}$ воспользуемся свойством степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
$x^{-1,3} \cdot x^{2,5} = x^{-1,3 + 2,5} = x^{1,2}$.
Ответ: $x^{1,2}$

2) Для упрощения выражения $x^{\frac{7}{12}} : x^{\frac{5}{8}}$ воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).
$x^{\frac{7}{12}} : x^{\frac{5}{8}} = x^{\frac{7}{12} - \frac{5}{8}}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 24:
$\frac{7}{12} - \frac{5}{8} = \frac{7 \cdot 2}{24} - \frac{5 \cdot 3}{24} = \frac{14 - 15}{24} = -\frac{1}{24}$.
Таким образом, выражение равно $x^{-\frac{1}{24}}$.
Ответ: $x^{-\frac{1}{24}}$

3) Для упрощения выражения $(x^{-6})^{0,6}$ воспользуемся свойством степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$).
$(x^{-6})^{0,6} = x^{-6 \cdot 0,6} = x^{-3,6}$.
Ответ: $x^{-3,6}$

4) Для упрощения выражения $x^{\frac{4}{7}} \cdot x^{\frac{9}{14}} \cdot x^{-\frac{15}{28}}$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием, сложив их показатели.
$x^{\frac{4}{7} + \frac{9}{14} - \frac{15}{28}}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 28:
$\frac{4 \cdot 4}{28} + \frac{9 \cdot 2}{28} - \frac{15}{28} = \frac{16 + 18 - 15}{28} = \frac{19}{28}$.
Таким образом, выражение равно $x^{\frac{19}{28}}$.
Ответ: $x^{\frac{19}{28}}$

5) Для упрощения выражения $(x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{9}})^{\frac{18}{25}}$ воспользуемся свойством возведения произведения в степень ($(ab)^n = a^n b^n$) и возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$).
$(x^{\frac{2}{3}} y^{\frac{2}{9}})^{\frac{18}{25}} = (x^{\frac{2}{3}})^{\frac{18}{25}} \cdot (y^{\frac{2}{9}})^{\frac{18}{25}} = x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{18}{25}} \cdot y^{\frac{2}{9} \cdot \frac{18}{25}}$.
Вычислим показатели:
Для $x$: $\frac{2}{3} \cdot \frac{18}{25} = \frac{2 \cdot 6}{25} = \frac{12}{25}$.
Для $y$: $\frac{2}{9} \cdot \frac{18}{25} = \frac{2 \cdot 2}{25} = \frac{4}{25}$.
Результат: $x^{\frac{12}{25}} y^{\frac{4}{25}}$.
Ответ: $x^{\frac{12}{25}} y^{\frac{4}{25}}$

6) Упростим выражение $(x^4)^{0,8} \cdot (x^{-1,4})^3 : (x^{-1,5})^6$ пошагово, используя свойства степеней.
1. Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(x^4)^{0,8} = x^{4 \cdot 0,8} = x^{3,2}$.
$(x^{-1,4})^3 = x^{-1,4 \cdot 3} = x^{-4,2}$.
$(x^{-1,5})^6 = x^{-1,5 \cdot 6} = x^{-9}$.
2. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$x^{3,2} \cdot x^{-4,2} : x^{-9}$.
3. Выполним умножение и деление, складывая и вычитая показатели:
$x^{3,2 + (-4,2) - (-9)} = x^{3,2 - 4,2 + 9} = x^{-1 + 9} = x^8$.
Ответ: $x^8$

7) Упростим выражение $\frac{x^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{3}{8}} \cdot x^{\frac{1}{12}}}$.
1. Упростим числитель, сложив показатели: $\frac{5}{6} + \frac{1}{4} = \frac{10}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12}$. Числитель равен $x^{\frac{13}{12}}$.
2. Упростим знаменатель, сложив показатели: $\frac{3}{8} + \frac{1}{12} = \frac{9}{24} + \frac{2}{24} = \frac{11}{24}$. Знаменатель равен $x^{\frac{11}{24}}$.
3. Разделим числитель на знаменатель, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя:
$x^{\frac{13}{12} - \frac{11}{24}} = x^{\frac{26}{24} - \frac{11}{24}} = x^{\frac{15}{24}}$.
4. Сократим дробь в показателе: $\frac{15}{24} = \frac{5}{8}$.
Результат: $x^{\frac{5}{8}}$.
Ответ: $x^{\frac{5}{8}}$

8) Упростим выражение $\sqrt[3]{a} \cdot a^{\frac{3}{4}}$.
1. Представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}}$.
2. Выражение примет вид: $a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{3}{4}}$.
3. Сложим показатели степеней: $\frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{4}{12} + \frac{9}{12} = \frac{13}{12}$.
Результат: $a^{\frac{13}{12}}$.
Ответ: $a^{\frac{13}{12}}$

9) Упростим выражение $\sqrt[8]{a^5} \cdot a^{-\frac{3}{5}}$.
1. Представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[8]{a^5} = a^{\frac{5}{8}}$.
2. Выражение примет вид: $a^{\frac{5}{8}} \cdot a^{-\frac{3}{5}}$.
3. Сложим показатели степеней: $\frac{5}{8} + (-\frac{3}{5}) = \frac{5}{8} - \frac{3}{5} = \frac{25}{40} - \frac{24}{40} = \frac{1}{40}$.
Результат: $a^{\frac{1}{40}}$.
Ответ: $a^{\frac{1}{40}}$

10) Упростим выражение $(\sqrt[4]{a^{-3}})^{\frac{4}{9}} \cdot (a^{\frac{8}{9}})^{-\frac{3}{16}}$.
1. Упростим первый множитель: $(\sqrt[4]{a^{-3}})^{\frac{4}{9}} = (a^{-\frac{3}{4}})^{\frac{4}{9}} = a^{-\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{9}} = a^{-\frac{3}{9}} = a^{-\frac{1}{3}}$.
2. Упростим второй множитель: $(a^{\frac{8}{9}})^{-\frac{3}{16}} = a^{\frac{8}{9} \cdot (-\frac{3}{16})} = a^{-\frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 16}} = a^{-\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2}} = a^{-\frac{1}{6}}$.
3. Перемножим полученные выражения, сложив их показатели: $a^{-\frac{1}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}} = a^{-\frac{1}{3} - \frac{1}{6}} = a^{-\frac{2}{6} - \frac{1}{6}} = a^{-\frac{3}{6}} = a^{-\frac{1}{2}}$.
Ответ: $a^{-\frac{1}{2}}$

115. Известно, что $a$ — положительное число. Представьте выражение в виде: а) квадрата; б) куба; в) девятой степени:

1) $a^{18}$;

2) $a^{-24}$;

3) $a^{\frac{1}{3}};$

4) $a^{3,6};$

5) $a^{-1\frac{3}{8}}.$

Для представления выражения вида $a^p$ в виде некоторой степени $n$, то есть в виде $(a^k)^n$, используется свойство возведения степени в степень: $(a^k)^n = a^{k \cdot n}$. Из этого следует, что $p = k \cdot n$, а значит, показатель степени нового основания $k$ можно найти, разделив исходный показатель $p$ на $n$: $k = \frac{p}{n}$.

В данной задаче нам нужно представить выражения в виде:

• квадрата (второй степени), значит $n=2$;
• куба (третьей степени), значит $n=3$;
• девятой степени, значит $n=9$.

Применим это правило к каждому из данных выражений.

1) $a^{18}$

а) квадрата
Делим показатель степени 18 на 2: $18 \div 2 = 9$.
Следовательно, $a^{18} = (a^9)^2$.
Ответ: $(a^9)^2$

б) куба
Делим показатель степени 18 на 3: $18 \div 3 = 6$.
Следовательно, $a^{18} = (a^6)^3$.
Ответ: $(a^6)^3$

в) девятой степени
Делим показатель степени 18 на 9: $18 \div 9 = 2$.
Следовательно, $a^{18} = (a^2)^9$.
Ответ: $(a^2)^9$

2) $a^{-24}$

а) квадрата
Делим показатель степени -24 на 2: $-24 \div 2 = -12$.
Следовательно, $a^{-24} = (a^{-12})^2$.
Ответ: $(a^{-12})^2$

б) куба
Делим показатель степени -24 на 3: $-24 \div 3 = -8$.
Следовательно, $a^{-24} = (a^{-8})^3$.
Ответ: $(a^{-8})^3$

в) девятой степени
Делим показатель степени -24 на 9: $-24 \div 9 = -\frac{24}{9} = -\frac{8}{3}$.
Следовательно, $a^{-24} = (a^{-\frac{8}{3}})^9$.
Ответ: $(a^{-\frac{8}{3}})^9$

3) $a^{\frac{1}{3}}$

а) квадрата
Делим показатель степени $\frac{1}{3}$ на 2: $\frac{1}{3} \div 2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.
Следовательно, $a^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{6}})^2$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{6}})^2$

б) куба
Делим показатель степени $\frac{1}{3}$ на 3: $\frac{1}{3} \div 3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$.
Следовательно, $a^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{9}})^3$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{9}})^3$

в) девятой степени
Делим показатель степени $\frac{1}{3}$ на 9: $\frac{1}{3} \div 9 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{27}$.
Следовательно, $a^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{27}})^9$.
Ответ: $(a^{\frac{1}{27}})^9$

4) $a^{3,6}$

а) квадрата
Делим показатель степени 3,6 на 2: $3,6 \div 2 = 1,8$.
Следовательно, $a^{3,6} = (a^{1,8})^2$.
Ответ: $(a^{1,8})^2$

б) куба
Делим показатель степени 3,6 на 3: $3,6 \div 3 = 1,2$.
Следовательно, $a^{3,6} = (a^{1,2})^3$.
Ответ: $(a^{1,2})^3$

в) девятой степени
Делим показатель степени 3,6 на 9: $3,6 \div 9 = 0,4$.
Следовательно, $a^{3,6} = (a^{0,4})^9$.
Ответ: $(a^{0,4})^9$

5) $a^{-1\frac{3}{8}}$

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-1\frac{3}{8} = -\frac{1 \cdot 8 + 3}{8} = -\frac{11}{8}$.

а) квадрата
Делим показатель степени $-\frac{11}{8}$ на 2: $-\frac{11}{8} \div 2 = -\frac{11}{8} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{11}{16}$.
Следовательно, $a^{-\frac{11}{8}} = (a^{-\frac{11}{16}})^2$.
Ответ: $(a^{-\frac{11}{16}})^2$

б) куба
Делим показатель степени $-\frac{11}{8}$ на 3: $-\frac{11}{8} \div 3 = -\frac{11}{8} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{11}{24}$.
Следовательно, $a^{-\frac{11}{8}} = (a^{-\frac{11}{24}})^3$.
Ответ: $(a^{-\frac{11}{24}})^3$

в) девятой степени
Делим показатель степени $-\frac{11}{8}$ на 9: $-\frac{11}{8} \div 9 = -\frac{11}{8} \cdot \frac{1}{9} = -\frac{11}{72}$.
Следовательно, $a^{-\frac{11}{8}} = (a^{-\frac{11}{72}})^9$.
Ответ: $(a^{-\frac{11}{72}})^9$