Номер 105, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{m - n}$;

2) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}$;

3) $\frac{\sqrt[3]{x} - 4}{\sqrt[6]{x} - 2}$;

4) $\frac{\sqrt[4]{x^3} + x}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}$;

5) $\frac{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{7}}{\sqrt[8]{5x^2} + \sqrt[8]{35x}}$;

6) $\frac{x - 27}{\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{x} + 9}$;

7) $\frac{x + \sqrt{2x} + 2}{x\sqrt{x} - 2\sqrt{2}}$.

1) $\frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{m - n}$

Знаменатель дроби $m - n$ можно представить как разность квадратов, так как $m = (\sqrt{m})^2$ и $n = (\sqrt{n})^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$m - n = (\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})$

Теперь подставим это выражение в знаменатель исходной дроби:

$\frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{(\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})}$

Сократим одинаковый множитель $(\sqrt{m} + \sqrt{n})$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{m} - \sqrt{n}}$

2) $\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}$

Числитель дроби $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ можно представить как разность квадратов, учитывая, что $\sqrt{a} = (\sqrt[4]{a})^2$ и $\sqrt{b} = (\sqrt[4]{b})^2$.

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$\sqrt{a} - \sqrt{b} = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})$

Подставим разложенный числитель обратно в дробь:

$\frac{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})$:

$\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}$

Ответ: $\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}$

3) $\frac{\sqrt[3]{x} - 4}{\sqrt[6]{x} - 2}$

Представим числитель $\sqrt[3]{x} - 4$ как разность квадратов. Заметим, что $\sqrt[3]{x} = (\sqrt[6]{x})^2$ и $4 = 2^2$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$\sqrt[3]{x} - 4 = (\sqrt[6]{x})^2 - 2^2 = (\sqrt[6]{x} - 2)(\sqrt[6]{x} + 2)$

Подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{(\sqrt[6]{x} - 2)(\sqrt[6]{x} + 2)}{\sqrt[6]{x} - 2}$

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[6]{x} - 2)$:

$\sqrt[6]{x} + 2$

Ответ: $\sqrt[6]{x} + 2$

4) $\frac{\sqrt[4]{x^3} + x}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}}$

Для упрощения вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе. Представим все члены через $\sqrt[4]{x}$.

В числителе: $\sqrt[4]{x^3} + x = \sqrt[4]{x^3} + \sqrt[4]{x^4} = \sqrt[4]{x^3}(1 + \sqrt[4]{x})$.

В знаменателе: $\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{x^2} + \sqrt[4]{x} = \sqrt[4]{x}(\sqrt[4]{x} + 1)$.

Перепишем дробь с разложенными на множители числителем и знаменателем:

$\frac{\sqrt[4]{x^3}(1 + \sqrt[4]{x})}{\sqrt[4]{x}(1 + \sqrt[4]{x})}$

Сократим общий множитель $(1 + \sqrt[4]{x})$:

$\frac{\sqrt[4]{x^3}}{\sqrt[4]{x}} = \sqrt[4]{\frac{x^3}{x}} = \sqrt[4]{x^2}$

Упростим полученный корень: $\sqrt[4]{x^2} = \sqrt{x}$.

Ответ: $\sqrt{x}$

5) $\frac{\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{7}}{\sqrt[8]{5x^2} + \sqrt[8]{35x}}$

Сначала преобразуем знаменатель, вынеся общий множитель за скобки:

$\sqrt[8]{5x^2} + \sqrt[8]{35x} = \sqrt[8]{5x \cdot x} + \sqrt[8]{5x \cdot 7} = \sqrt[8]{5x}(\sqrt[8]{x} + \sqrt[8]{7})$

Теперь преобразуем числитель, используя формулу разности квадратов. Заметим, что $\sqrt[4]{x} = (\sqrt[8]{x})^2$ и $\sqrt[4]{7} = (\sqrt[8]{7})^2$.

$\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{7} = (\sqrt[8]{x})^2 - (\sqrt[8]{7})^2 = (\sqrt[8]{x} - \sqrt[8]{7})(\sqrt[8]{x} + \sqrt[8]{7})$

Подставим преобразованные выражения в дробь:

$\frac{(\sqrt[8]{x} - \sqrt[8]{7})(\sqrt[8]{x} + \sqrt[8]{7})}{\sqrt[8]{5x}(\sqrt[8]{x} + \sqrt[8]{7})}$

Сократим общий множитель $(\sqrt[8]{x} + \sqrt[8]{7})$:

$\frac{\sqrt[8]{x} - \sqrt[8]{7}}{\sqrt[8]{5x}}$

Ответ: $\frac{\sqrt[8]{x} - \sqrt[8]{7}}{\sqrt[8]{5x}}$

6) $\frac{x - 27}{\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{x} + 9}$

Числитель $x - 27$ представляет собой разность кубов, так как $x = (\sqrt[3]{x})^3$ и $27 = 3^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x - 27 = (\sqrt[3]{x})^3 - 3^3 = (\sqrt[3]{x} - 3)((\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} \cdot 3 + 3^2) = (\sqrt[3]{x} - 3)(\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{x} + 9)$

Знаменатель дроби совпадает со вторым множителем в разложении числителя (неполный квадрат суммы).

Подставим разложение в дробь:

$\frac{(\sqrt[3]{x} - 3)(\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{x} + 9)}{\sqrt[3]{x^2} + 3\sqrt[3]{x} + 9}$

Сократим одинаковые выражения:

$\sqrt[3]{x} - 3$

Ответ: $\sqrt[3]{x} - 3$

7) $\frac{x + \sqrt{2x} + 2}{x\sqrt{x} - 2\sqrt{2}}$

Знаменатель дроби $x\sqrt{x} - 2\sqrt{2}$ можно представить как разность кубов. Заметим, что $x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$ и $2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x\sqrt{x} - 2\sqrt{2} = (\sqrt{x})^3 - (\sqrt{2})^3 = (\sqrt{x} - \sqrt{2})((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) = (\sqrt{x} - \sqrt{2})(x + \sqrt{2x} + 2)$

Числитель дроби совпадает со вторым множителем в разложении знаменателя.

Запишем дробь с разложенным знаменателем:

$\frac{x + \sqrt{2x} + 2}{(\sqrt{x} - \sqrt{2})(x + \sqrt{2x} + 2)}$

Сократим общий множитель $(x + \sqrt{2x} + 2)$:

$\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}$