Страница 62 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. Равносильны ли неравенства:

1) $x + 14 > 29$ и $-4x < -60;$

2) $(x + 7)^2 (x + 6) > 0$ и $x + 6 > 0;$

3) $(x + 7)^2 (x + 6) \ge 0$ и $x + 6 \ge 0;$

4) $\frac{1}{x} > 4$ и $x < \frac{1}{4};$

5) $x^2 \ge 8x$ и $x \ge 8;$

6) $\sqrt{x + 3} < -7$ и $(x + 3)^2 \le 0;$

7) $\sqrt{x + 3} \ge -7$ и $(x + 3)^2 \ge 0;$

8) $\sqrt{x + 3} < -7$ и $(x + 3)^2 < 0?`

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

1) $x + 14 > 29$ и $-4x < -60$

Решим первое неравенство:
$x + 14 > 29$
$x > 29 - 14$
$x > 15$
Множество решений: $(15; +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$-4x < -60$
При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{-60}{-4}$
$x > 15$
Множество решений: $(15; +\infty)$.

Множества решений обоих неравенств совпадают.

Ответ: да, равносильны.

2) $(x + 7)^2 (x + 6) > 0$ и $x + 6 > 0$

Решим первое неравенство: $(x + 7)^2 (x + 6) > 0$.
Выражение $(x + 7)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $\ge 0$). Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть положительными и не равными нулю.
Следовательно, должны выполняться два условия одновременно:
1) $(x + 7)^2 > 0 \implies x + 7 \ne 0 \implies x \ne -7$.
2) $x + 6 > 0 \implies x > -6$.
Объединяя условия, получаем $x > -6$ (это условие уже включает в себя $x \ne -7$).
Множество решений: $(-6; +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$x + 6 > 0 \implies x > -6$.
Множество решений: $(-6; +\infty)$.

Множества решений совпадают.

Ответ: да, равносильны.

3) $(x + 7)^2 (x + 6) \ge 0$ и $x + 6 \ge 0$

Решим первое неравенство: $(x + 7)^2 (x + 6) \ge 0$.
Выражение $(x + 7)^2$ всегда неотрицательно. Неравенство выполняется, если:
1) Произведение равно нулю. Это происходит, когда $x + 7 = 0$ (т.е. $x = -7$) или $x + 6 = 0$ (т.е. $x = -6$).
2) Произведение больше нуля. Как мы выяснили в пункте 2, это происходит при $x > -6$.
Объединяя все случаи, получаем множество решений: $\{-7\} \cup [-6; +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$.
Множество решений: $[-6; +\infty)$.

Множества решений не совпадают (решение первого неравенства включает точку $x = -7$, а второго — нет).

Ответ: нет, не равносильны.

4) $\frac{1}{x} > 4$ и $x < \frac{1}{4}$

Решим первое неравенство:
$\frac{1}{x} > 4$
$\frac{1}{x} - 4 > 0$
$\frac{1 - 4x}{x} > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $1 - 4x = 0 \implies x = \frac{1}{4}$. Нуль знаменателя: $x = 0$.
Точки $0$ и $\frac{1}{4}$ разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{1}{4})$ и $(\frac{1}{4}; +\infty)$.
- При $x \in (0; \frac{1}{4})$ (например, $x=0.1$), $\frac{1 - 4(0.1)}{0.1} = \frac{0.6}{0.1} = 6 > 0$. Интервал подходит.
- При $x > \frac{1}{4}$ или $x < 0$ выражение будет отрицательным.
Множество решений: $(0; \frac{1}{4})$.

Решим второе неравенство: $x < \frac{1}{4}$.
Множество решений: $(-\infty; \frac{1}{4})$.

Множества решений не совпадают.

Ответ: нет, не равносильны.

5) $x^2 \ge 8x$ и $x \ge 8$

Решим первое неравенство:
$x^2 \ge 8x$
$x^2 - 8x \ge 0$
$x(x - 8) \ge 0$
Корни уравнения $x(x - 8) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$. Ветви параболы $y=x^2-8x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x$ вне корней.
Множество решений: $(-\infty; 0] \cup [8; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x \ge 8$.
Множество решений: $[8; +\infty)$.

Множества решений не совпадают (решение первого неравенства также включает промежуток $(-\infty; 0]$).

Ответ: нет, не равносильны.

6) $\sqrt{x + 3} < -7$ и $(x + 3)^2 \le 0$

Решим первое неравенство: $\sqrt{x + 3} < -7$.
Арифметический квадратный корень по определению всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{x + 3} \ge 0$. Неравенство $\sqrt{x + 3} < -7$ не может выполняться ни при каких значениях $x$.
Множество решений: $\emptyset$ (пустое множество).

Решим второе неравенство: $(x + 3)^2 \le 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x + 3)^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(x + 3)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $(x + 3)^2 = 0$.
$x + 3 = 0 \implies x = -3$.
Множество решений: $\{-3\}$.

Множества решений не совпадают.

Ответ: нет, не равносильны.

7) $\sqrt{x + 3} \ge -7$ и $(x + 3)^2 \ge 0$

Решим первое неравенство: $\sqrt{x + 3} \ge -7$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для корня: $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
Для всех $x$ из ОДЗ значение $\sqrt{x + 3}$ является неотрицательным. Любое неотрицательное число всегда больше или равно -7. Таким образом, неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ.
Множество решений: $[-3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(x + 3)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Это неравенство верно для любого действительного числа $x$.
Множество решений: $(-\infty; +\infty)$.

Множества решений не совпадают.

Ответ: нет, не равносильны.

8) $\sqrt{x + 3} < -7$ и $(x + 3)^2 < 0$

Решим первое неравенство: $\sqrt{x + 3} < -7$.
Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Следовательно, это неравенство не имеет решений.
Множество решений: $\emptyset$ (пустое множество).

Решим второе неравенство: $(x + 3)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это неравенство не имеет решений.
Множество решений: $\emptyset$ (пустое множество).

Множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми).

Ответ: да, равносильны.

32. Какое из двух уравнений является следствием другого:

1) $x^4 = 4x^2$ и $x^2 = 4$;

2) $\frac{x-4}{x-4} = 1$ и $x-x = 0$;

3) $|x-5| = 2$ и $(x-5)^3 = 8$;

4) $\frac{x}{\sqrt{x-3}} = \frac{9}{\sqrt{x-3}}$ и $x = 9$;

5) $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x-3}} = 16 - \frac{1}{\sqrt{x-3}}$ и $x^2 = 16$;

6) $\sqrt{x+15} \cdot \sqrt{x-10} = 0$ и $\sqrt{(x+15)(x-10)} = 0$;

7) $(x-8)\sqrt{x+21} = 0$ и $(x+21)\sqrt{x-8} = 0?

Уравнение (Б) является следствием уравнения (А), если множество всех корней уравнения (А) является подмножеством множества всех корней уравнения (Б). Если множества корней совпадают, уравнения называются равносильными, и в этом случае каждое является следствием другого.

1) $x^4 = 4x^2$ и $x^2 = 4$
Решим первое уравнение: $x^4 - 4x^2 = 0 \implies x^2(x^2 - 4) = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$. Множество корней $S_1 = \{-2, 0, 2\}$.
Решим второе уравнение: $x^2 = 4$. Корни этого уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$. Множество корней $S_2 = \{-2, 2\}$.
Поскольку $S_2 \subset S_1$ (каждый корень второго уравнения является корнем первого), то первое уравнение является следствием второго.
Ответ: Уравнение $x^4 = 4x^2$ является следствием уравнения $x^2 = 4$.

2) $\frac{x-4}{x-4} = 1$ и $x-x=0$
Первое уравнение определено при $x-4 \neq 0$, то есть при $x \neq 4$. На области определения оно представляет собой тождество $1=1$. Таким образом, его решением являются все действительные числа, кроме $4$. Множество решений $S_1 = \mathbb{R} \setminus \{4\}$.
Второе уравнение $x-x=0$ упрощается до тождества $0=0$, которое верно для любого действительного числа $x$. Множество решений $S_2 = \mathbb{R}$.
Поскольку $S_1 \subset S_2$, второе уравнение является следствием первого.
Ответ: Уравнение $x-x=0$ является следствием уравнения $\frac{x-4}{x-4} = 1$.

3) $|x-5| = 2$ и $(x-5)^3 = 8$
Решим первое уравнение: $|x-5| = 2$. Это равносильно совокупности двух уравнений: $x-5 = 2$ или $x-5 = -2$. Отсюда получаем корни $x_1 = 7$ и $x_2 = 3$. Множество корней $S_1 = \{3, 7\}$.
Решим второе уравнение: $(x-5)^3 = 8$. Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $x-5 = 2$, откуда $x=7$. Множество корней $S_2 = \{7\}$.
Поскольку $S_2 \subset S_1$, первое уравнение является следствием второго.
Ответ: Уравнение $|x-5| = 2$ является следствием уравнения $(x-5)^3 = 8$.

4) $\frac{x}{\sqrt{x-3}} = \frac{9}{\sqrt{x-3}}$ и $x=9$
Область допустимых значений (ОДЗ) первого уравнения: $x-3 > 0$, то есть $x > 3$. На этой области уравнение равносильно $x=9$. Корень $x=9$ удовлетворяет ОДЗ. Множество корней $S_1 = \{9\}$.
Второе уравнение $x=9$ имеет единственный корень $x=9$. Множество корней $S_2 = \{9\}$.
Поскольку множества корней совпадают ($S_1 = S_2$), уравнения равносильны. Это значит, что каждое из них является следствием другого.
Ответ: Уравнения равносильны, каждое является следствием другого.

5) $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x-3}} = 16 - \frac{1}{\sqrt{x-3}}$ и $x^2 = 16$
ОДЗ первого уравнения: $x-3 > 0$, то есть $x > 3$. На ОДЗ уравнение упрощается до $x^2 = 16$, корни которого $x=4$ и $x=-4$. Условию $x>3$ удовлетворяет только $x=4$. Множество корней первого уравнения $S_1 = \{4\}$.
Второе уравнение $x^2=16$ имеет корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$. Множество корней $S_2 = \{-4, 4\}$.
Поскольку $S_1 \subset S_2$, второе уравнение является следствием первого.
Ответ: Уравнение $x^2 = 16$ является следствием уравнения $x^2 - \frac{1}{\sqrt{x-3}} = 16 - \frac{1}{\sqrt{x-3}}$.

6) $\sqrt{x+15} \cdot \sqrt{x-10} = 0$ и $\sqrt{(x+15)(x-10)} = 0$
ОДЗ первого уравнения: $x+15 \ge 0$ и $x-10 \ge 0$, что дает $x \ge 10$. На ОДЗ уравнение распадается на $\sqrt{x+15}=0$ (корень $x=-15$, не входит в ОДЗ) и $\sqrt{x-10}=0$ (корень $x=10$, входит в ОДЗ). Таким образом, множество корней $S_1 = \{10\}$.
ОДЗ второго уравнения: $(x+15)(x-10) \ge 0$, что дает $x \in (-\infty, -15] \cup [10, \infty)$. Решение уравнения $\sqrt{(x+15)(x-10)}=0$ сводится к $(x+15)(x-10)=0$, откуда $x_1=-15$, $x_2=10$. Оба корня принадлежат ОДЗ. Множество корней $S_2 = \{-15, 10\}$.
Поскольку $S_1 \subset S_2$, второе уравнение является следствием первого.
Ответ: Уравнение $\sqrt{(x+15)(x-10)} = 0$ является следствием уравнения $\sqrt{x+15} \cdot \sqrt{x-10} = 0$.

7) $(x-8)\sqrt{x+21} = 0$ и $(x+21)\sqrt{x-8} = 0$
ОДЗ первого уравнения: $x+21 \ge 0 \implies x \ge -21$. Корни находятся из $x-8=0$ или $\sqrt{x+21}=0$. Получаем $x_1=8$, $x_2=-21$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Множество корней $S_1 = \{-21, 8\}$.
ОДЗ второго уравнения: $x-8 \ge 0 \implies x \ge 8$. Корни находятся из $x+21=0$ или $\sqrt{x-8}=0$. Получаем $x_1=-21$ (не входит в ОДЗ) и $x_2=8$ (входит в ОДЗ). Множество корней $S_2 = \{8\}$.
Поскольку $S_2 \subset S_1$, первое уравнение является следствием второго.
Ответ: Уравнение $(x-8)\sqrt{x+21} = 0$ является следствием уравнения $(x+21)\sqrt{x-8} = 0$.

33. Какое из двух неравенств является следствием другого:

1) $x > 7$ и $x \ge -5$;

2) $x \le 10$ и $x < 10$;

3) $|x| < 12$ и $x < 12$;

4) $x^2 > 16$ и $x > 4$?

1) $x > 7$ и $x \ge -5$;
Неравенство А является следствием неравенства В, если любое решение неравенства В является также решением неравенства А (то есть, множество решений В является подмножеством множества решений А).
Рассмотрим пару $x > 7$ и $x \ge -5$.
Множество решений неравенства $x > 7$ — это интервал $(7, +\infty)$.
Множество решений неравенства $x \ge -5$ — это луч $[-5, +\infty)$.
Поскольку любое число, которое больше 7, очевидно, больше и -5, то множество $(7, +\infty)$ является подмножеством множества $[-5, +\infty)$. Следовательно, неравенство $x \ge -5$ является следствием неравенства $x > 7$.
Обратное утверждение неверно: например, число $x = 0$ удовлетворяет второму неравенству ($0 \ge -5$), но не удовлетворяет первому ($0 > 7$).
Ответ: неравенство $x \ge -5$ является следствием неравенства $x > 7$.

2) $x \le 10$ и $x < 10$;
Рассмотрим пару $x \le 10$ и $x < 10$.
Множество решений неравенства $x < 10$ — это интервал $(-\infty, 10)$.
Множество решений неравенства $x \le 10$ — это луч $(-\infty, 10]$.
Любое число, которое строго меньше 10, также будет меньше или равно 10. Таким образом, множество $(-\infty, 10)$ является подмножеством множества $(-\infty, 10]$. Это означает, что неравенство $x \le 10$ является следствием неравенства $x < 10$.
Обратное утверждение неверно: число $x = 10$ является решением неравенства $x \le 10$, но не является решением неравенства $x < 10$.
Ответ: неравенство $x \le 10$ является следствием неравенства $x < 10$.

3) $|x| < 12$ и $x < 12$;
Рассмотрим пару $|x| < 12$ и $x < 12$.
Неравенство $|x| < 12$ равносильно двойному неравенству $-12 < x < 12$. Множество его решений — интервал $(-12, 12)$.
Множество решений неравенства $x < 12$ — это луч $(-\infty, 12)$.
Любое число из интервала $(-12, 12)$ также меньше 12. Следовательно, множество $(-12, 12)$ является подмножеством множества $(-\infty, 12)$. Это значит, что неравенство $x < 12$ является следствием неравенства $|x| < 12$.
Обратное утверждение неверно: например, число $x = -20$ удовлетворяет неравенству $x < 12$, но не удовлетворяет неравенству $|x| < 12$, так как $|-20| = 20$, а $20$ не меньше 12.
Ответ: неравенство $x < 12$ является следствием неравенства $|x| < 12$.

4) $x^2 > 16$ и $x > 4$?
Рассмотрим пару $x^2 > 16$ и $x > 4$.
Множество решений неравенства $x > 4$ — это интервал $(4, +\infty)$.
Неравенство $x^2 > 16$ равносильно $|x| > 4$, что означает $x > 4$ или $x < -4$. Множество решений этого неравенства — объединение двух интервалов $(-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$.
Множество $(4, +\infty)$ является подмножеством множества $(-\infty, -4) \cup (4, +\infty)$. Таким образом, если выполняется неравенство $x > 4$, то выполняется и неравенство $x^2 > 16$. Это означает, что неравенство $x^2 > 16$ является следствием неравенства $x > 4$.
Обратное утверждение неверно: например, число $x = -5$ удовлетворяет неравенству $x^2 > 16$ (так как $(-5)^2 = 25 > 16$), но не удовлетворяет неравенству $x > 4$.
Ответ: неравенство $x^2 > 16$ является следствием неравенства $x > 4$.

34. Решите неравенство:

1) $(x - 1.8)(x + 3) \le 0;$

2) $(x + 6)(x - 1)(x - 7) > 0;$

3) $(4x + 3)(2x - 3)(x - 5) \ge 0;$

4) $(2 + x)(x + 7)(2 - x) > 0;$

5) $(x + 7.2)(4 - x)(5 - x) \le 0;$

6) $(3x + 21)(3 - 6x)(4x - 6)(7 - 3x) \ge 0.$