Номер 34, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Решим неравенство $(x - 1,8)(x + 3) \le 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули функции $y = (x - 1,8)(x + 3)$, приравняв выражение к нулю:
$(x - 1,8)(x + 3) = 0$
$x - 1,8 = 0$ или $x + 3 = 0$
$x_1 = 1,8$, $x_2 = -3$.

2. Отметим найденные точки на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -3]$, $[-3; 1,8]$ и $[1,8; +\infty)$.

3. Определим знак выражения на каждом интервале. Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала, например $x=2$:
$(2 - 1,8)(2 + 3) = 0,2 \cdot 5 = 1 > 0$. Знак "+".
Так как все корни имеют нечетную кратность (в данном случае 1), знаки в интервалах чередуются. Расставляя их справа налево, получаем: "+", "-", "+".

4. Нам нужно найти интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$), то есть где стоит знак "-". Это интервал $[-3; 1,8]$.

Ответ: $x \in [-3; 1,8]$.

Решим неравенство $(x + 6)(x - 1)(x - 7) > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули функции $y = (x + 6)(x - 1)(x - 7)$:
$(x + 6)(x - 1)(x - 7) = 0$
$x_1 = -6$, $x_2 = 1$, $x_3 = 7$.

2. Отметим точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми (незакрашенными). Они разбивают ось на четыре интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 1)$, $(1; 7)$ и $(7; +\infty)$.

3. Определим знак выражения на каждом интервале. В крайнем правом интервале ($x > 7$) выражение положительно. Так как все корни имеют нечетную кратность, знаки чередуются. Расставляя их справа налево, получаем: "+", "-", "+", "-".

4. Нам нужно найти интервалы, где выражение больше нуля ($> 0$), то есть где стоит знак "+". Это интервалы $(-6; 1)$ и $(7; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-6; 1) \cup (7; +\infty)$.

Решим неравенство $(4x + 3)(2x - 3)(x - 5) \ge 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули выражения, приравняв каждую скобку к нулю:
$4x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3/4 = -0,75$
$2x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3/2 = 1,5$
$x - 5 = 0 \Rightarrow x_3 = 5$.

2. Отметим точки $-0,75$, $1,5$ и $5$ на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными.

3. Определим знаки на получившихся интервалах: $(-\infty; -0,75]$, $[-0,75; 1,5]$, $[1,5; 5]$ и $[5; +\infty)$. Коэффициенты при $x$ во всех скобках положительны, поэтому в крайнем правом интервале будет знак "+". Далее знаки чередуются: "+", "-", "+", "-".

4. Выбираем интервалы со знаком "+", так как неравенство $\ge 0$. Это $[-0,75; 1,5]$ и $[5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-0,75; 1,5] \cup [5; +\infty)$.

Решим неравенство $(2 + x)(x + 7)(2 - x) > 0$.

1. Для удобства применения метода интервалов приведем неравенство к стандартному виду, где коэффициент при $x$ в каждой скобке положителен. Вынесем минус из скобки $(2 - x)$:
$(x + 7)(x + 2)(-(x - 2)) > 0$
$-(x + 7)(x + 2)(x - 2) > 0$
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства на противоположный:
$(x + 7)(x + 2)(x - 2) < 0$.

2. Найдем нули выражения: $x_1 = -7$, $x_2 = -2$, $x_3 = 2$.

3. Отметим точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($<$), точки будут выколотыми. Они разбивают ось на интервалы $(-\infty; -7)$, $(-7; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

4. Определим знаки выражения $(x + 7)(x + 2)(x - 2)$ на интервалах. В крайнем правом интервале знак "+", далее знаки чередуются: "+", "-", "+", "-".

5. Нам нужно найти интервалы, где выражение $(x + 7)(x + 2)(x - 2)$ меньше нуля ($< 0$), то есть где стоит знак "-". Это интервалы $(-\infty; -7)$ и $(-2; 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (-2; 2)$.

Решим неравенство $(x + 7,2)(4 - x)(5 - x) \le 0$.

1. Преобразуем неравенство, чтобы коэффициенты при $x$ были положительными:
$(x + 7,2) \cdot (-(x - 4)) \cdot (-(x - 5)) \le 0$
$(x + 7,2)(x - 4)(x - 5) \le 0$. (Произведение двух минусов дает плюс, поэтому знак неравенства не меняется).

2. Найдем нули выражения: $x_1 = -7,2$, $x_2 = 4$, $x_3 = 5$.

3. Отметим точки на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут закрашенными. Они разбивают ось на интервалы $(-\infty; -7,2]$, $[-7,2; 4]$, $[4; 5]$ и $[5; +\infty)$.

4. Определим знаки выражения $(x + 7,2)(x - 4)(x - 5)$ на интервалах. В крайнем правом интервале знак "+", далее знаки чередуются: "+", "-", "+", "-".

5. Нам нужно найти интервалы, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$), то есть где стоит знак "-". Это интервалы $(-\infty; -7,2]$ и $[4; 5]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7,2] \cup [4; 5]$.

Решим неравенство $(3x + 21)(3 - 6x)(4x - 6)(7 - 3x) \ge 0$.

1. Преобразуем каждый множитель, вынеся числовой коэффициент так, чтобы при $x$ стоял коэффициент 1:
$3x + 21 = 3(x + 7)$
$3 - 6x = -6(x - \frac{3}{6}) = -6(x - \frac{1}{2})$
$4x - 6 = 4(x - \frac{6}{4}) = 4(x - \frac{3}{2})$
$7 - 3x = -3(x - \frac{7}{3})$

2. Подставим преобразованные множители в неравенство:
$3(x + 7) \cdot (-6(x - \frac{1}{2})) \cdot 4(x - \frac{3}{2}) \cdot (-3(x - \frac{7}{3})) \ge 0$.

3. Перемножим числовые коэффициенты: $3 \cdot (-6) \cdot 4 \cdot (-3) = 216$. Так как $216 > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на 216, не меняя знака:
$(x + 7)(x - \frac{1}{2})(x - \frac{3}{2})(x - \frac{7}{3}) \ge 0$.

4. Найдем нули выражения: $x_1 = -7$, $x_2 = \frac{1}{2}$, $x_3 = \frac{3}{2}$, $x_4 = \frac{7}{3}$.

5. Отметим точки на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), точки будут закрашенными. Они разбивают ось на интервалы $(-\infty; -7]$, $[-7; \frac{1}{2}]$, $[\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$, $[\frac{3}{2}; \frac{7}{3}]$ и $[\frac{7}{3}; +\infty)$.

6. Определим знаки выражения на интервалах. В крайнем правом интервале знак "+", далее знаки чередуются: "+", "-", "+", "-", "+".

7. Нам нужно найти интервалы, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$), то есть где стоит знак "+". Это интервалы $(-\infty; -7]$, $[\frac{1}{2}; \frac{3}{2}]$ и $[\frac{7}{3}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [\frac{1}{2}; \frac{3}{2}] \cup [\frac{7}{3}; +\infty)$.