Номер 30, страница 61 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

30. Равносильны ли уравнения:

1) $x - 3 = 11$ и $\frac{1}{7} x = 2$;

2) $x = -8$ и $x^2 = 64$;

3) $x^2 = 7x$ и $x = 7$;

4) $\sqrt{x - 11} = -2$ и $|x - 11| = -4$;

5) $x - 10 = x - 10$ и $\frac{x^4 + 16}{x^4 + 16} = 1$;

6) $x - 8 = x - 8$ и $\frac{x - 8}{x - 8} = 1$;

7) $x^2 - 8x + 16 = 0$ и $x - 4 = 0$;

8) $\frac{x^2 + 4x + 3}{x + 1} = 0$ и $x + 3 = 0$;

9) $x\sqrt{x - 8} = 0$ и $(x - 8)\sqrt{x} = 0$;

10) $\sqrt{x - 3} \cdot \sqrt{x + 5} = 0$ и $\sqrt{(x - 3)(x + 5)} = 0?$

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Если оба уравнения не имеют решений, они также считаются равносильными.

1) Решим первое уравнение: $x - 3 = 11$. Его единственным корнем является $x = 14$.
Решим второе уравнение: $\frac{1}{7}x = 2$. Умножив обе части на 7, получим $x = 14$.
Множества решений обоих уравнений совпадают (состоят из одного числа 14), следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

2) Первое уравнение $x = -8$ имеет единственный корень $x = -8$.
Второе уравнение $x^2 = 64$ имеет два корня: $x_1 = 8$ и $x_2 = -8$.
Множества решений уравнений не совпадают ($\{-8\}$ и $\{-8, 8\}$), следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет, не равносильны.

3) Решим первое уравнение: $x^2 = 7x$. Перенесем все в левую часть и вынесем $x$ за скобки: $x^2 - 7x = 0 \Rightarrow x(x-7) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Второе уравнение $x = 7$ имеет единственный корень $x=7$.
Множества решений не совпадают ($\{0, 7\}$ и $\{7\}$), так как первое уравнение имеет дополнительный корень $x=0$. Уравнения не равносильны.
Ответ: нет, не равносильны.

4) В первом уравнении $\sqrt{x-11} = -2$ значение арифметического квадратного корня приравнивается к отрицательному числу, что невозможно. Следовательно, первое уравнение не имеет действительных решений.
Во втором уравнении $|x-11| = -4$ значение модуля приравнивается к отрицательному числу, что также невозможно. Второе уравнение тоже не имеет действительных решений.
Так как оба уравнения не имеют решений, их множества решений совпадают (являются пустыми). Следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

5) Первое уравнение $x - 10 = x - 10$ является тождеством, так как при переносе всех членов в одну сторону получаем $0=0$. Оно верно для любого действительного числа $x$. Множество его решений — все действительные числа $\mathbb{R}$.
Во втором уравнении $\frac{x^4+16}{x^4+16} = 1$ знаменатель $x^4+16$ никогда не равен нулю, так как $x^4 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, и значит $x^4+16 \ge 16$. Таким образом, уравнение определено для всех $x \in \mathbb{R}$ и является тождеством. Множество его решений — все действительные числа $\mathbb{R}$.
Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

6) Первое уравнение $x - 8 = x - 8$ является тождеством. Множество его решений — все действительные числа $\mathbb{R}$.
Второе уравнение $\frac{x-8}{x-8} = 1$ определено только для тех $x$, при которых знаменатель не равен нулю, то есть $x-8 \neq 0$, или $x \neq 8$. На своей области определения ($x \in (-\infty, 8) \cup (8, \infty)$) уравнение является тождеством. Таким образом, его множество решений — все действительные числа, кроме 8.
Множества решений не совпадают ($\mathbb{R}$ и $\mathbb{R} \setminus \{8\}$), следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет, не равносильны.

7) Первое уравнение $x^2 - 8x + 16 = 0$ можно представить в виде $(x-4)^2=0$. Отсюда следует, что $x-4=0$, и единственным корнем является $x=4$.
Второе уравнение $x-4=0$ также имеет единственный корень $x=4$.
Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

8) Решим первое уравнение $\frac{x^2+4x+3}{x+1} = 0$. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Числитель: $x^2+4x+3 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.
Знаменатель: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
Исключая корень $x=-1$, получаем единственное решение $x=-3$.
Второе уравнение $x+3=0$ имеет единственный корень $x=-3$.
Множества решений совпадают, следовательно, уравнения равносильны.
Ответ: да, равносильны.

9) Рассмотрим первое уравнение $x\sqrt{x-8} = 0$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x-8 \ge 0$, то есть $x \ge 8$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $x=0$ или $\sqrt{x-8}=0$. Корень $x=0$ не входит в ОДЗ. Из $\sqrt{x-8}=0$ следует $x=8$. Этот корень входит в ОДЗ. Единственное решение — $x=8$.
Рассмотрим второе уравнение $(x-8)\sqrt{x} = 0$. ОДЗ: $x \ge 0$. Произведение равно нулю, если $x-8=0$ или $\sqrt{x}=0$. Отсюда получаем корни $x=8$ и $x=0$. Оба корня входят в ОДЗ. Множество решений: $\{0, 8\}$.
Множества решений не совпадают ($\{8\}$ и $\{0, 8\}$), следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет, не равносильны.

10) Рассмотрим первое уравнение $\sqrt{x-3} \cdot \sqrt{x+5} = 0$. ОДЗ определяется системой неравенств: $\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ x+5 \ge 0 \end{cases}$, что равносильно $x \ge 3$. Решениями уравнения являются корни множителей: $\sqrt{x-3}=0 \Rightarrow x=3$ (входит в ОДЗ) и $\sqrt{x+5}=0 \Rightarrow x=-5$ (не входит в ОДЗ). Таким образом, единственное решение — $x=3$.
Рассмотрим второе уравнение $\sqrt{(x-3)(x+5)} = 0$. ОДЗ: $(x-3)(x+5) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $(-\infty, -5] \cup [3, \infty)$. Уравнение равносильно $(x-3)(x+5)=0$, откуда $x=3$ или $x=-5$. Оба корня принадлежат ОДЗ. Множество решений: $\{-5, 3\}$.
Множества решений не совпадают ($\{3\}$ и $\{-5, 3\}$), следовательно, уравнения не равносильны.
Ответ: нет, не равносильны.