Номер 36, страница 63 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

36. Решите неравенство:

1) $(x^2 + 5x)(x^2 - 16) \geq 0;$

2) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 - 2x) < 0;$

3) $(x^2 + 9x + 14)(x^2 + 5x + 7) \geq 0;$

4) $\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 - 3x + 2} < 0;$

5) $\frac{x^2 + 6x - 7}{x^2 - 25} \geq 0.$

1) $(x^2 + 5x)(x^2 - 16) \geq 0$

Разложим на множители каждую скобку:

$x^2 + 5x = x(x+5)$

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4)$

Неравенство принимает вид:

$x(x+5)(x-4)(x+4) \geq 0$

Найдем нули функции $f(x) = x(x+5)(x-4)(x+4)$. Нулями являются точки $x=0$, $x=-5$, $x=4$, $x=-4$.

Расположим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: $-5, -4, 0, 4$. Они разбивают ось на пять интервалов.

Определим знак выражения в каждом интервале, взяв пробную точку:

• Интервал $(-\infty; -5)$: пусть $x=-6$, тогда $(-)(-)(-)(-) = +$. Знак "плюс".
• Интервал $(-5; -4)$: пусть $x=-4.5$, тогда $(-)(+)(-)(-) = -$. Знак "минус".
• Интервал $(-4; 0)$: пусть $x=-1$, тогда $(-)(+)(-)(+) = +$. Знак "плюс".
• Интервал $(0; 4)$: пусть $x=1$, тогда $(+)(+)(-)(+) = -$. Знак "минус".
• Интервал $(4; +\infty)$: пусть $x=5$, тогда $(+)(+)(+)(+) = +$. Знак "плюс".

Поскольку неравенство нестрогое ($\geq 0$), искомые значения $x$ находятся в интервалах со знаком "плюс", включая концы интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [-4; 0] \cup [4; +\infty)$.

2) $(x^2 - 4x + 3)(x^2 - 2x) < 0$

Разложим на множители каждую скобку:

Для $x^2 - 4x + 3 = 0$, по теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=3$. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.

$x^2 - 2x = x(x-2)$

Неравенство принимает вид:

$(x-1)(x-3)x(x-2) < 0$

Найдем нули функции: $x=0$, $x=1$, $x=2$, $x=3$.

Расположим точки на числовой оси: $0, 1, 2, 3$.

Определим знаки в интервалах:

• $(-\infty; 0)$: $x=-1 \implies (-)(-)(-)(-) = +$
• $(0; 1)$: $x=0.5 \implies (-)(-)(+)(-) = -$
• $(1; 2)$: $x=1.5 \implies (+)(-)(+)(-) = +$
• $(2; 3)$: $x=2.5 \implies (+)(-)(+)(+) = -$
• $(3; +\infty)$: $x=4 \implies (+)(+)(+)(+) = +$

Поскольку неравенство строгое ($< 0$), искомые значения $x$ находятся в интервалах со знаком "минус", не включая концы интервалов.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (2; 3)$.

3) $(x^2 + 9x + 14)(x^2 + 5x + 7) \geq 0$

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

Первый множитель: $x^2 + 9x + 14$. Найдем его корни. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25 = 5^2$.

$x_{1,2} = \frac{-9 \pm 5}{2} \implies x_1 = -7, x_2 = -2$.

Таким образом, $x^2 + 9x + 14 = (x+7)(x+2)$.

Второй множитель: $x^2 + 5x + 7$. Найдем его дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 25 - 28 = -3$.

Поскольку $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), выражение $x^2 + 5x + 7$ всегда положительно при любом значении $x$.

Так как $x^2 + 5x + 7 > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на это выражение, не меняя знака неравенства:

$(x+7)(x+2) \geq 0$

Нули этого выражения: $x=-7$ и $x=-2$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения слева от меньшего корня и справа от большего корня.

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [-2; +\infty)$.

4) $\frac{x^2 + 6x + 5}{x^2 - 3x + 2} < 0$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $x^2 + 6x + 5 = (x+1)(x+5)$ (корни -1 и -5 по т. Виета).

Знаменатель: $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$ (корни 1 и 2 по т. Виета).

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x+1)(x+5)}{(x-1)(x-2)} < 0$

Нули числителя: $x=-1, x=-5$.

Нули знаменателя (выколотые точки): $x=1, x=2$.

Наносим все точки на числовую ось: $-5, -1, 1, 2$.

Определяем знаки в интервалах:

• $(-\infty; -5)$: $x=-6 \implies \frac{(-)(-)}{(-)(-)} = +$
• $(-5; -1)$: $x=-2 \implies \frac{(-)(+)}{(-)(-)} = -$
• $(-1; 1)$: $x=0 \implies \frac{(+)(+)}{(-)(-)} = +$
• $(1; 2)$: $x=1.5 \implies \frac{(+)(+)}{(+)(-)} = -$
• $(2; +\infty)$: $x=3 \implies \frac{(+)(+)}{(+)(+)} = +$

Выбираем интервалы со знаком "минус", так как неравенство строгое ($< 0$).

Ответ: $x \in (-5; -1) \cup (1; 2)$.

5) $\frac{x^2 + 6x - 7}{x^2 - 25} \geq 0$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $x^2 + 6x - 7 = (x+7)(x-1)$ (корни -7 и 1).

Знаменатель: $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{(x+7)(x-1)}{(x-5)(x+5)} \geq 0$

Нули числителя (включенные точки): $x=-7, x=1$.

Нули знаменателя (выколотые точки): $x=-5, x=5$.

Наносим все точки на числовую ось: $-7, -5, 1, 5$.

Определяем знаки в интервалах:

• $(-\infty; -7)$: $x=-8 \implies \frac{(-)(-)}{(-)(-)} = +$
• $(-7; -5)$: $x=-6 \implies \frac{(+)(-)}{(-)(-)} = -$
• $(-5; 1)$: $x=0 \implies \frac{(+)(-)}{(-)(+)} = +$
• $(1; 5)$: $x=2 \implies \frac{(+)(+)}{(-)(+)} = -$
• $(5; +\infty)$: $x=6 \implies \frac{(+)(+)}{(+)(+)} = +$

Выбираем интервалы со знаком "плюс". Учитываем, что нули числителя входят в решение, а нули знаменателя — нет.

Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup (-5; 1] \cup (5; +\infty)$.