Номер 38, страница 63 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

38. Решите неравенство:

1) $(x+2)^2(x^2+2x-3) < 0;$

2) $(x+2)^2(x^2+2x-3) \le 0;$

3) $(x+2)^2(x^2+2x-3) > 0;$

4) $(x+2)^2(x^2+2x-3) \ge 0.$

Для решения всех четырех неравенств сначала проанализируем выражение $f(x) = (x + 2)^2(x^2 + 2x - 3)$ и решим его методом интервалов.

1. Найдем нули функции, то есть решим уравнение $f(x) = 0$:

$(x + 2)^2(x^2 + 2x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

• $(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Это корень кратности 2 (четная кратность).
• $x^2 + 2x - 3 = 0$. Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = -2$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = -3$. Этим условиям удовлетворяют корни $x = 1$ и $x = -3$. Это корни кратности 1 (нечетная кратность).

Таким образом, нули функции: $x = -3$, $x = -2$ и $x = 1$.

2. Нанесем нули на числовую прямую и определим знаки функции в получившихся интервалах.

Выражение можно представить в виде $f(x) = (x+3)(x-1)(x+2)^2$.

Множитель $(x+2)^2$ всегда неотрицателен (равен нулю при $x=-2$ и положителен при всех остальных $x$). Поэтому знак всего выражения при $x \neq -2$ совпадает со знаком произведения $(x+3)(x-1)$. График функции $y = (x+3)(x-1)$ — парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках -3 и 1. Следовательно, это выражение положительно при $x < -3$ и $x > 1$, и отрицательно при $-3 < x < 1$.

С учетом этого, знаки функции $f(x)$ на интервалах будут следующими:

• Интервал $(-\infty, -3)$: $f(x) > 0$ (знак "+")
• Интервал $(-3, 1)$: $f(x) < 0$ (знак "-"). Точка $x=-2$ находится внутри этого интервала, но так как $f(-2)=0$, а при переходе через корень четной кратности знак не меняется, то на интервалах $(-3, -2)$ и $(-2, 1)$ знак будет одинаковый — "минус".
• Интервал $(1, +\infty)$: $f(x) > 0$ (знак "+")

Теперь решим каждое неравенство.

1) $(x + 2)^2(x^2 + 2x - 3) < 0$

Неравенство строгое, поэтому ищем интервалы, где функция $f(x)$ отрицательна. Согласно нашему анализу, это интервалы $(-3, -2)$ и $(-2, 1)$.

Ответ: $x \in (-3, -2) \cup (-2, 1)$.

2) $(x + 2)^2(x^2 + 2x - 3) \le 0$

Неравенство нестрогое, поэтому к решению предыдущего пункта добавляем нули функции: $x = -3, x = -2, x = 1$. Объединяя интервалы $(-3, -2) \cup (-2, 1)$ с точками $-3, -2, 1$, получаем единый отрезок.

Ответ: $x \in [-3, 1]$.

3) $(x + 2)^2(x^2 + 2x - 3) > 0$

Неравенство строгое, ищем интервалы, где функция $f(x)$ положительна. Это интервалы $(-\infty, -3)$ и $(1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$.

4) $(x + 2)^2(x^2 + 2x - 3) \ge 0$

Неравенство нестрогое. К решению предыдущего пункта $(-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$ добавляем все нули функции: $x = -3, x = -2, x = 1$. Включаем точки $-3$ и $1$ в интервалы и добавляем изолированную точку $x = -2$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup \{-2\} \cup [1, +\infty)$.