Номер 37, страница 63 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

37. Решите неравенство:

1) $(x+1)^3(x-1)^2(x-3)^6 < 0;$

2) $(x+1)^3(x-1)^2(x-3)^6 \le 0;$

3) $(x+3)^3(x-1)^2(x-3)^6(x-4)^5 \ge 0.$

Для решения данных неравенств воспользуемся методом интервалов.

1) $(x + 1)^3(x - 1)^2(x - 3)^6 < 0$

1. Найдем нули функции $f(x) = (x + 1)^3(x - 1)^2(x - 3)^6$.
Нули множителей:

• $(x + 1)^3 = 0 \implies x_1 = -1$ (корень нечетной кратности, 3-й степени). При переходе через этот корень знак функции будет меняться.
• $(x - 1)^2 = 0 \implies x_2 = 1$ (корень четной кратности, 2-й степени). При переходе через этот корень знак функции меняться не будет.
• $(x - 3)^6 = 0 \implies x_3 = 3$ (корень четной кратности, 6-й степени). При переходе через этот корень знак функции меняться не будет.

2. Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($< 0$), точки будут выколотыми (не входят в решение).

3. Определим знак функции в каждом из полученных интервалов. Возьмем точку из крайнего правого интервала, например $x=4$:
$(4 + 1)^3(4 - 1)^2(4 - 3)^6 = 5^3 \cdot 3^2 \cdot 1^6$. Все множители положительны, значит, произведение больше нуля. Ставим знак `+` в интервале $(3; +\infty)$.
Двигаясь справа налево, расставим знаки с учетом кратности корней:

• Интервал $(3; +\infty)$: `+`
• Интервал $(1; 3)$: `+` (при переходе через $x=3$ кратность четная, знак сохраняется)
• Интервал $(-1; 1)$: `+` (при переходе через $x=1$ кратность четная, знак сохраняется)
• Интервал $(-\infty; -1)$: `-` (при переходе через $x=-1$ кратность нечетная, знак меняется)

Схематично знаки на оси: $(-\infty) \xrightarrow{-} -1 \xrightarrow{+} 1 \xrightarrow{+} 3 \xrightarrow{+} (+\infty)$.

4. Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля, то есть где стоит знак `-`. Это интервал $(-\infty; -1)$.

Ответ: $(-\infty, -1)$.

2) $(x + 1)^3(x - 1)^2(x - 3)^6 \le 0$

1. Левая часть неравенства такая же, как в пункте 1), поэтому знаки на интервалах распределяются аналогично:
$(-\infty) \xrightarrow{-} -1 \xrightarrow{+} 1 \xrightarrow{+} 3 \xrightarrow{+} (+\infty)$.

2. Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому в решение нужно включить значения $x$, при которых выражение равно нулю ($f(x) = 0$), в дополнение к интервалам, где оно отрицательно ($f(x) < 0$).
Выражение равно нулю при $x = -1$, $x = 1$ и $x = 3$.

3. Объединяем интервал, где выражение отрицательно, и точки, где оно равно нулю.
Интервал $(-\infty; -1)$ удовлетворяет условию $f(x) < 0$.
Точка $x=-1$ удовлетворяет условию $f(x) = 0$, поэтому она включается в интервал, который становится $(-\infty; -1]$.
Точки $x=1$ и $x=3$ также удовлетворяют условию $f(x) = 0$, поэтому их нужно добавить в ответ как изолированные точки.

Ответ: $(-\infty, -1] \cup \{1\} \cup \{3\}$.

3) $(x + 3)^3(x - 1)^2(x - 3)^6(x - 4)^5 \ge 0$

1. Найдем нули функции $g(x) = (x + 3)^3(x - 1)^2(x - 3)^6(x - 4)^5$.
Нули множителей:

• $x_1 = -3$ (кратность 3, нечетная, знак меняется).
• $x_2 = 1$ (кратность 2, четная, знак не меняется).
• $x_3 = 3$ (кратность 6, четная, знак не меняется).
• $x_4 = 4$ (кратность 5, нечетная, знак меняется).

2. Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство нестрогое ($\ge 0$), точки будут закрашенными (входят в решение).

3. Определим знак в крайнем правом интервале $(4; +\infty)$, взяв, например, $x=5$:
$(5+3)^3(5-1)^2(5-3)^6(5-4)^5 > 0$. Ставим знак `+`.
Двигаясь справа налево, расставим знаки с учетом кратности корней:

• Интервал $(4; +\infty)$: `+`
• Интервал $(3; 4)$: `-` (при переходе через $x=4$ знак меняется)
• Интервал $(1; 3)$: `-` (при переходе через $x=3$ знак не меняется)
• Интервал $(-3; 1)$: `-` (при переходе через $x=1$ знак не меняется)
• Интервал $(-\infty; -3)$: `+` (при переходе через $x=-3$ знак меняется)

Схематично знаки на оси: $(-\infty) \xrightarrow{+} -3 \xrightarrow{-} 1 \xrightarrow{-} 3 \xrightarrow{-} 4 \xrightarrow{+} (+\infty)$.

4. Выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю ($g(x) \ge 0$).
Это интервалы, где стоит знак `+`, а также все точки, где выражение равно нулю.
Интервалы со знаком `+`: $(-\infty; -3)$ и $(4; +\infty)$.
Точки, где $g(x)=0$: $x=-3, x=1, x=3, x=4$.
Объединяя, получаем: интервал $(-\infty; -3]$ (включая корень $x=-3$), интервал $[4; +\infty)$ (включая корень $x=4$), а также изолированные точки $x=1$ и $x=3$.

Ответ: $(-\infty, -3] \cup \{1\} \cup \{3\} \cup [4, \infty)$.