Номер 41, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. Решите неравенство:

1) $\frac{x^2 + 2x - 3}{|x - 5|} \ge 0;$

2) $\frac{|x - 3|}{x^2 - 5x - 36} \ge 0;$

3) $\frac{x^2 - 7x + 12}{|x + 3|(x - 2)} \le 0.$

1) $ \frac{x^2 + 2x - 3}{|x-5|} \ge 0 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $|x-5| \neq 0$, откуда следует, что $x \neq 5$.

Выражение в знаменателе, $|x-5|$, является модулем, который всегда неотрицателен. Так как мы исключили случай $x=5$, знаменатель $|x-5|$ всегда строго положителен для любого $x$ из ОДЗ.

Поскольку знаменатель дроби всегда положителен, знак всей дроби определяется знаком числителя. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 + 2x - 3 \ge 0 \\ x \neq 5 \end{cases} $

Решим квадратное неравенство $x^2 + 2x - 3 \ge 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -3. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны (больше или равны нулю) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства $x^2 + 2x - 3 \ge 0$ есть $x \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ, то есть исключить $x=5$ из найденного множества решений. Точка $x=5$ входит в промежуток $[1, \infty)$, поэтому мы должны "выколоть" ее.

Окончательное решение: $x \in (-\infty, -3] \cup [1, 5) \cup (5, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -3] \cup [1, 5) \cup (5, \infty)$.

2) $ \frac{|x-3|}{x^2 - 5x - 36} \ge 0 $

Найдем ОДЗ: знаменатель $x^2 - 5x - 36 \neq 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x - 36 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, произведение равно -36. Корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -4$. Значит, ОДЗ: $x \neq 9$ и $x \neq -4$.

Числитель дроби $|x-3|$ всегда неотрицателен, т.е. $|x-3| \ge 0$.

Неравенство выполняется в двух случаях:

Случай 1: Дробь равна нулю. Это происходит, когда числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. $|x-3|=0 \implies x=3$. Проверим, удовлетворяет ли это значение ОДЗ. При $x=3$ знаменатель равен $3^2 - 5(3) - 36 = 9 - 15 - 36 = -42 \neq 0$. Значит, $x=3$ является решением неравенства.

Случай 2: Дробь строго больше нуля. Так как числитель $|x-3|$ положителен (при $x \neq 3$), для того чтобы дробь была положительной, знаменатель также должен быть строго положителен: $x^2 - 5x - 36 > 0$. Корни мы уже нашли: -4 и 9. Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне интервала между корнями. Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -4) \cup (9, \infty)$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях. К множеству $(-\infty, -4) \cup (9, \infty)$ нужно добавить изолированную точку $x=3$.

Ответ: $(-\infty, -4) \cup \{3\} \cup (9, \infty)$.

3) $ \frac{x^2 - 7x + 12}{|x+3|(x-2)} \le 0 $

Найдем ОДЗ: знаменатель не равен нулю. Из $|x+3| \neq 0$ следует $x \neq -3$. Из $x-2 \neq 0$ следует $x \neq 2$.

Множитель $|x+3|$ в знаменателе всегда положителен для всех $x$ из ОДЗ. Следовательно, он не влияет на знак дроби, и мы можем сократить на него, сохранив условие $x \neq -3$. Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} \frac{x^2 - 7x + 12}{x-2} \le 0 \\ x \neq -3 \end{cases} $

Разложим числитель $x^2 - 7x + 12$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Тогда $x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$.

Получаем неравенство: $ \frac{(x-3)(x-4)}{x-2} \le 0 $.

Решим его методом интервалов. Нанесем на числовую ось нули числителя (точки 3 и 4, они будут закрашенными, так как неравенство нестрогое) и нуль знаменателя (точка 2, она будет выколотой).

Получим интервалы: $(-\infty, 2)$, $(2, 3]$, $[3, 4]$, $[4, \infty)$. Определим знак выражения на каждом интервале:

• при $x > 4$ (например, $x=5$): $ \frac{(+)(+)}{(+)} > 0 $
• при $x \in [3, 4]$ (например, $x=3.5$): $ \frac{(+)(-)}{(+)} < 0 $
• при $x \in (2, 3]$ (например, $x=2.5$): $ \frac{(-)(-)}{(+)} > 0 $
• при $x < 2$ (например, $x=0$): $ \frac{(-)(-)}{(-)} < 0 $

Нас интересуют промежутки, где выражение меньше или равно нулю. Это $x \in (-\infty, 2) \cup [3, 4]$.

Теперь учтем дополнительное условие из ОДЗ: $x \neq -3$. Точка -3 попадает в интервал $(-\infty, 2)$, поэтому ее необходимо исключить.

Итоговое решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 2) \cup [3, 4]$.

Ответ: $(-\infty, -3) \cup (-3, 2) \cup [3, 4]$.