Номер 46, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Для каждого значения a решите неравенство:

1) $(x-2)(x-a) < 0;$

2) $(x-2)(x-a)^2 > 0;$

3) $(x-2)(x-a)^2 \geq 0;$

4) $(x-a)(x+4)^2 < 0;$

5) $(x-a)(x+4)^2 \leq 0;$

6) $\frac{x-3}{x-a} \geq 0;$

7) $\frac{(x+3)(x-a)}{x+3} \geq 0;$

8) $\frac{(x-1)(x-a)}{x-a} \leq 0.$

1) $(x-2)(x-a) < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Корни соответствующего уравнения $(x-2)(x-a) = 0$ равны $x_1=2$ и $x_2=a$. Решение зависит от взаимного расположения корней на числовой оси.

Рассмотрим три случая:

1. Если $a < 2$. Корни на числовой оси располагаются в порядке $a$, 2. Парабола $y=(x-2)(x-a)$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому отрицательные значения находятся между корнями.
Решение: $x \in (a, 2)$.

2. Если $a = 2$. Неравенство принимает вид $(x-2)^2 < 0$. Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому неравенство не имеет решений.
Решение: $x \in \emptyset$.

3. Если $a > 2$. Корни на числовой оси располагаются в порядке 2, $a$. Парабола $y=(x-2)(x-a)$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому отрицательные значения находятся между корнями.
Решение: $x \in (2, a)$.

Ответ: если $a < 2$, то $x \in (a, 2)$; если $a = 2$, то решений нет; если $a > 2$, то $x \in (2, a)$.

2) $(x-2)(x-a)^2 > 0$

Множитель $(x-a)^2$ всегда неотрицателен (то есть $(x-a)^2 \ge 0$). Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть положительны.

Это равносильно системе условий:$\begin{cases} x-2 > 0 \\ (x-a)^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x \neq a \end{cases}$

Рассмотрим возможные значения $a$:

1. Если $a > 2$. Требуется, чтобы $x > 2$ и $x \neq a$. Так как $a$ находится в области $x>2$, его нужно исключить.
Решение: $x \in (2, a) \cup (a, \infty)$.

2. Если $a \le 2$. Требуется, чтобы $x > 2$. Условие $x \neq a$ выполняется автоматически, так как если $x > 2$, то $x$ не может быть равен $a$, которое меньше или равно 2.
Решение: $x \in (2, \infty)$.

Ответ: если $a \le 2$, то $x \in (2, \infty)$; если $a > 2$, то $x \in (2, a) \cup (a, \infty)$.

3) $(x-2)(x-a)^2 \ge 0$

Неравенство выполняется в двух случаях: когда $(x-2)(x-a)^2 > 0$ или когда $(x-2)(x-a)^2 = 0$.

Равенство нулю достигается при $x=2$ или $x=a$.

Используем решение для строгого неравенства из предыдущего пункта и добавим к нему точки, где выражение равно нулю.

1. Если $a > 2$. Решение для $(x-2)(x-a)^2 > 0$ есть $x \in (2, a) \cup (a, \infty)$. Добавляем точки $x=2$ и $x=a$. Получаем $[2, a] \cup [a, \infty) = [2, \infty)$.

2. Если $a = 2$. Неравенство принимает вид $(x-2)^3 \ge 0$, что равносильно $x-2 \ge 0$, т.е. $x \ge 2$.
Решение: $x \in [2, \infty)$.

3. Если $a < 2$. Решение для $(x-2)(x-a)^2 > 0$ есть $x \in (2, \infty)$. Добавляем точки $x=2$ и $x=a$. Получаем $\{a\} \cup [2, \infty)$.

Объединяя случаи 1 и 2, получаем:

Ответ: если $a < 2$, то $x \in \{a\} \cup [2, \infty)$; если $a \ge 2$, то $x \in [2, \infty)$.

4) $(x-a)(x+4)^2 < 0$

Множитель $(x+4)^2$ всегда неотрицателен. Чтобы произведение было строго меньше нуля, множитель $(x-a)$ должен быть отрицательным, а $(x+4)^2$ не должен быть равен нулю.

Это равносильно системе:$\begin{cases} x-a < 0 \\ (x+4)^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < a \\ x \neq -4 \end{cases}$

Рассмотрим возможные значения $a$:

1. Если $a > -4$. Требуется, чтобы $x < a$ и $x \neq -4$. Так как $-4$ находится в области $x<a$, его нужно исключить.
Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, a)$.

2. Если $a \le -4$. Требуется, чтобы $x < a$. Условие $x \neq -4$ выполняется автоматически, так как если $x < a$, а $a \le -4$, то $x$ не может быть равен $-4$.
Решение: $x \in (-\infty, a)$.

Ответ: если $a \le -4$, то $x \in (-\infty, a)$; если $a > -4$, то $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, a)$.

5) $(x-a)(x+4)^2 \le 0$

Неравенство выполняется, когда $(x-a)(x+4)^2 < 0$ или когда $(x-a)(x+4)^2 = 0$.

Равенство нулю достигается при $x=a$ или $x=-4$.

Используем решение для строгого неравенства из пункта 4 и добавим к нему точки равенства.

1. Если $a > -4$. Решение для $(x-a)(x+4)^2 < 0$ есть $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, a)$. Добавляем точки $x=-4$ и $x=a$. Получаем $(-\infty, -4] \cup [-4, a] = (-\infty, a]$.

2. Если $a = -4$. Неравенство принимает вид $(x+4)^3 \le 0$, что равносильно $x+4 \le 0$, т.е. $x \le -4$.
Решение: $x \in (-\infty, -4]$.

3. Если $a < -4$. Решение для $(x-a)(x+4)^2 < 0$ есть $x \in (-\infty, a)$. Добавляем точки $x=a$ и $x=-4$. Так как $a < -4$, точка $-4$ не входит в интервал $(-\infty, a)$.
Решение: $x \in (-\infty, a] \cup \{-4\}$.

Объединяя случаи 1 и 2, получаем:

Ответ: если $a < -4$, то $x \in (-\infty, a] \cup \{-4\}$; если $a \ge -4$, то $x \in (-\infty, a]$.

6) $\frac{x-3}{x-a} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нуль числителя: $x=3$. Нуль знаменателя: $x=a$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq a$.

Рассмотрим три случая:

1. Если $a < 3$. Отмечаем на числовой оси точки $a$ (выколотая) и $3$ (закрашенная). Интервалы: $(-\infty, a)$, $(a, 3]$, $[3, \infty)$. Знаки выражения на интервалах: $+, -, +$. Нам подходят интервалы со знаком "+".
Решение: $x \in (-\infty, a) \cup [3, \infty)$.

2. Если $a = 3$. Неравенство принимает вид $\frac{x-3}{x-3} \ge 0$. При $x \neq 3$ это выражение равно 1. Неравенство $1 \ge 0$ верно для всех $x$, кроме $x=3$.
Решение: $x \in (-\infty, 3) \cup (3, \infty)$.

3. Если $a > 3$. Отмечаем на числовой оси точки $3$ (закрашенная) и $a$ (выколотая). Интервалы: $(-\infty, 3]$, $[3, a)$, $(a, \infty)$. Знаки выражения на интервалах: $+, -, +$. Нам подходят интервалы со знаком "+".
Решение: $x \in (-\infty, 3] \cup (a, \infty)$.

Ответ: если $a < 3$, то $x \in (-\infty, a) \cup [3, \infty)$; если $a = 3$, то $x \in (-\infty, 3) \cup (3, \infty)$; если $a > 3$, то $x \in (-\infty, 3] \cup (a, \infty)$.

7) $\frac{(x+3)(x-a)}{x+3} \ge 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+3 \neq 0$, т.е. $x \neq -3$.
При $x \neq -3$ можно сократить дробь. Неравенство становится равносильным системе:$\begin{cases} x-a \ge 0 \\ x \neq -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge a \\ x \neq -3 \end{cases}$

Решение зависит от взаимного расположения $a$ и $-3$.

1. Если $a > -3$. Решение $x \ge a$ не включает точку $-3$.
Решение: $x \in [a, \infty)$.

2. Если $a = -3$. Система принимает вид $\begin{cases} x \ge -3 \\ x \neq -3 \end{cases}$, что равносильно $x > -3$.
Решение: $x \in (-3, \infty)$.

3. Если $a < -3$. Решение $x \ge a$ включает точку $-3$, которую необходимо исключить.
Решение: $x \in [a, -3) \cup (-3, \infty)$.

Ответ: если $a < -3$, то $x \in [a, -3) \cup (-3, \infty)$; если $a = -3$, то $x \in (-3, \infty)$; если $a > -3$, то $x \in [a, \infty)$.

8) $\frac{(x-1)(x-a)}{x-a} \le 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x-a \neq 0$, т.е. $x \neq a$.
При $x \neq a$ можно сократить дробь. Неравенство становится равносильным системе:$\begin{cases} x-1 \le 0 \\ x \neq a \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 1 \\ x \neq a \end{cases}$

Решение зависит от взаимного расположения $a$ и $1$.

1. Если $a > 1$. Решение $x \le 1$ не включает точку $a$.
Решение: $x \in (-\infty, 1]$.

2. Если $a = 1$. Система принимает вид $\begin{cases} x \le 1 \\ x \neq 1 \end{cases}$, что равносильно $x < 1$.
Решение: $x \in (-\infty, 1)$.

3. Если $a < 1$. Решение $x \le 1$ включает точку $a$, которую необходимо исключить.
Решение: $x \in (-\infty, a) \cup (a, 1]$.

Ответ: если $a < 1$, то $x \in (-\infty, a) \cup (a, 1]$; если $a = 1$, то $x \in (-\infty, 1)$; если $a > 1$, то $x \in (-\infty, 1]$.