Номер 40, страница 64 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

40. Найдите множество решений неравенства:

1) $ \frac{x^2 - 5x}{x^2 - 25} \ge 0; $

2) $ \frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - x - 2} \ge 0. $

1)

Решим неравенство $\frac{x^2 - 5x}{x^2 - 25} \ge 0$.

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^2 - 5x = x(x - 5)$.

Знаменатель: $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$ (формула разности квадратов).

Неравенство принимает вид: $\frac{x(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} \ge 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю.

$(x - 5)(x + 5) \ne 0$, откуда получаем $x \ne 5$ и $x \ne -5$.

При условии $x \ne 5$ мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 5)$:

$\frac{x}{x + 5} \ge 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x = 0$.

Нуль знаменателя: $x + 5 = 0 \implies x = -5$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x=0$ будет "закрашенной" (включенной), так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точка $x=-5$ будет "выколотой" (не включенной), так как она обращает знаменатель в ноль.

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; 0]$ и $[0; +\infty)$. Определим знак выражения $\frac{x}{x + 5}$ на каждом из них:

• При $x \in (-\infty; -5)$ (например, $x=-6$): $\frac{-6}{-6+5} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (-5; 0)$ (например, $x=-1$): $\frac{-1}{-1+5} = -\frac{1}{4} < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in (0; +\infty)$ (например, $x=1$): $\frac{1}{1+5} = \frac{1}{6} > 0$. Интервал подходит.

Таким образом, решение неравенства $\frac{x}{x + 5} \ge 0$ есть объединение промежутков $(-\infty; -5) \cup [0; +\infty)$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ, а именно $x \ne 5$. Точка $5$ попадает в промежуток $[0; +\infty)$, поэтому ее нужно исключить. Для этого разобьем этот промежуток на два: $[0; 5)$ и $(5; +\infty)$.

Итоговое множество решений: $(-\infty; -5) \cup [0; 5) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup [0; 5) \cup (5; +\infty)$.

2)

Решим неравенство $\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - x - 2} \ge 0$.

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$.

Для разложения знаменателя $x^2 - x - 2$ найдем его корни, решив уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 2)^2}{(x - 2)(x + 1)} \ge 0$.

Найдем ОДЗ: знаменатель не равен нулю.

$(x - 2)(x + 1) \ne 0$, откуда $x \ne 2$ и $x \ne -1$.

При условии $x \ne 2$ мы можем сократить дробь на $(x - 2)$:

$\frac{x - 2}{x + 1} \ge 0$.

Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x - 2 = 0 \implies x = 2$.

Нуль знаменателя: $x + 1 = 0 \implies x = -1$.

Отметим точки на числовой прямой. Точка $x=-1$ выколота (из знаменателя). Точка $x=2$ также выколота, так как по ОДЗ $x \ne 2$.

Определим знаки выражения $\frac{x - 2}{x + 1}$ в интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$ и $(2; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; -1)$ (например, $x=-3$): $\frac{-3-2}{-3+1} = \frac{-5}{-2} > 0$. Интервал подходит.
• При $x \in (-1; 2)$ (например, $x=0$): $\frac{0-2}{0+1} = -2 < 0$. Интервал не подходит.
• При $x \in (2; +\infty)$ (например, $x=3$): $\frac{3-2}{3+1} = \frac{1}{4} > 0$. Интервал подходит.

Объединяя подходящие интервалы, получаем решение: $(-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)$.