Номер 31, страница 62 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. Равносильны ли неравенства:

1) $x + 14 > 29$ и $-4x < -60;$

2) $(x + 7)^2 (x + 6) > 0$ и $x + 6 > 0;$

3) $(x + 7)^2 (x + 6) \ge 0$ и $x + 6 \ge 0;$

4) $\frac{1}{x} > 4$ и $x < \frac{1}{4};$

5) $x^2 \ge 8x$ и $x \ge 8;$

6) $\sqrt{x + 3} < -7$ и $(x + 3)^2 \le 0;$

7) $\sqrt{x + 3} \ge -7$ и $(x + 3)^2 \ge 0;$

8) $\sqrt{x + 3} < -7$ и $(x + 3)^2 < 0?`

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

1) $x + 14 > 29$ и $-4x < -60$

Решим первое неравенство:
$x + 14 > 29$
$x > 29 - 14$
$x > 15$
Множество решений: $(15; +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$-4x < -60$
При делении на отрицательное число (-4) знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{-60}{-4}$
$x > 15$
Множество решений: $(15; +\infty)$.

Множества решений обоих неравенств совпадают.

Ответ: да, равносильны.

2) $(x + 7)^2 (x + 6) > 0$ и $x + 6 > 0$

Решим первое неравенство: $(x + 7)^2 (x + 6) > 0$.
Выражение $(x + 7)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $\ge 0$). Чтобы произведение было строго больше нуля, оба множителя должны быть положительными и не равными нулю.
Следовательно, должны выполняться два условия одновременно:
1) $(x + 7)^2 > 0 \implies x + 7 \ne 0 \implies x \ne -7$.
2) $x + 6 > 0 \implies x > -6$.
Объединяя условия, получаем $x > -6$ (это условие уже включает в себя $x \ne -7$).
Множество решений: $(-6; +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$x + 6 > 0 \implies x > -6$.
Множество решений: $(-6; +\infty)$.

Множества решений совпадают.

Ответ: да, равносильны.

3) $(x + 7)^2 (x + 6) \ge 0$ и $x + 6 \ge 0$

Решим первое неравенство: $(x + 7)^2 (x + 6) \ge 0$.
Выражение $(x + 7)^2$ всегда неотрицательно. Неравенство выполняется, если:
1) Произведение равно нулю. Это происходит, когда $x + 7 = 0$ (т.е. $x = -7$) или $x + 6 = 0$ (т.е. $x = -6$).
2) Произведение больше нуля. Как мы выяснили в пункте 2, это происходит при $x > -6$.
Объединяя все случаи, получаем множество решений: $\{-7\} \cup [-6; +\infty)$.

Решим второе неравенство:
$x + 6 \ge 0 \implies x \ge -6$.
Множество решений: $[-6; +\infty)$.

Множества решений не совпадают (решение первого неравенства включает точку $x = -7$, а второго — нет).

Ответ: нет, не равносильны.

4) $\frac{1}{x} > 4$ и $x < \frac{1}{4}$

Решим первое неравенство:
$\frac{1}{x} > 4$
$\frac{1}{x} - 4 > 0$
$\frac{1 - 4x}{x} > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $1 - 4x = 0 \implies x = \frac{1}{4}$. Нуль знаменателя: $x = 0$.
Точки $0$ и $\frac{1}{4}$ разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{1}{4})$ и $(\frac{1}{4}; +\infty)$.
- При $x \in (0; \frac{1}{4})$ (например, $x=0.1$), $\frac{1 - 4(0.1)}{0.1} = \frac{0.6}{0.1} = 6 > 0$. Интервал подходит.
- При $x > \frac{1}{4}$ или $x < 0$ выражение будет отрицательным.
Множество решений: $(0; \frac{1}{4})$.

Решим второе неравенство: $x < \frac{1}{4}$.
Множество решений: $(-\infty; \frac{1}{4})$.

Множества решений не совпадают.

Ответ: нет, не равносильны.

5) $x^2 \ge 8x$ и $x \ge 8$

Решим первое неравенство:
$x^2 \ge 8x$
$x^2 - 8x \ge 0$
$x(x - 8) \ge 0$
Корни уравнения $x(x - 8) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$. Ветви параболы $y=x^2-8x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x$ вне корней.
Множество решений: $(-\infty; 0] \cup [8; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x \ge 8$.
Множество решений: $[8; +\infty)$.

Множества решений не совпадают (решение первого неравенства также включает промежуток $(-\infty; 0]$).

Ответ: нет, не равносильны.

6) $\sqrt{x + 3} < -7$ и $(x + 3)^2 \le 0$

Решим первое неравенство: $\sqrt{x + 3} < -7$.
Арифметический квадратный корень по определению всегда является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{x + 3} \ge 0$. Неравенство $\sqrt{x + 3} < -7$ не может выполняться ни при каких значениях $x$.
Множество решений: $\emptyset$ (пустое множество).

Решим второе неравенство: $(x + 3)^2 \le 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x + 3)^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(x + 3)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $(x + 3)^2 = 0$.
$x + 3 = 0 \implies x = -3$.
Множество решений: $\{-3\}$.

Множества решений не совпадают.

Ответ: нет, не равносильны.

7) $\sqrt{x + 3} \ge -7$ и $(x + 3)^2 \ge 0$

Решим первое неравенство: $\sqrt{x + 3} \ge -7$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для корня: $x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
Для всех $x$ из ОДЗ значение $\sqrt{x + 3}$ является неотрицательным. Любое неотрицательное число всегда больше или равно -7. Таким образом, неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ.
Множество решений: $[-3; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $(x + 3)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Это неравенство верно для любого действительного числа $x$.
Множество решений: $(-\infty; +\infty)$.

Множества решений не совпадают.

Ответ: нет, не равносильны.

8) $\sqrt{x + 3} < -7$ и $(x + 3)^2 < 0$

Решим первое неравенство: $\sqrt{x + 3} < -7$.
Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Следовательно, это неравенство не имеет решений.
Множество решений: $\emptyset$ (пустое множество).

Решим второе неравенство: $(x + 3)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, это неравенство не имеет решений.
Множество решений: $\emptyset$ (пустое множество).

Множества решений обоих неравенств совпадают (оба являются пустыми).

Ответ: да, равносильны.