Номер 28, страница 61 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. С помощью графика функции $f$, изображённого на рисунке 15, постройте график функции $g$, обратной к функции $f$.

Рис. 15

а

б

В

Для построения графика функции $g$, обратной к функции $f$, используется свойство симметрии их графиков относительно прямой $y=x$. Это означает, что если точка $(a, b)$ лежит на графике функции $f$, то точка $(b, a)$ будет лежать на графике функции $g$. Мы применим этот метод для каждого из представленных графиков.

а)

Рассмотрим график функции $f$, изображённый на рисунке а. Выберем на нём несколько точек с целочисленными координатами: $(1, 0)$, $(2, 1)$ и $(4, 2)$. Также можно заметить, что график имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

Для построения графика обратной функции $g$ поменяем местами координаты $x$ и $y$ в каждой из этих точек. Получим точки, принадлежащие графику $g$: $(0, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, 4)$. Вертикальная асимптота $x=0$ для функции $f$ преобразуется в горизонтальную асимптоту $y=0$ для функции $g$.

Соединив полученные точки плавной кривой и учитывая наличие горизонтальной асимптоты, мы построим график функции $g$. Этот график представляет собой показательную функцию, в данном случае $g(x)=2^x$.

Ответ: График функции $g$ — это кривая, симметричная графику $f$ относительно прямой $y=x$. Она проходит через точки $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось абсцисс), приближаясь к ней при $x \to -\infty$.

б)

Рассмотрим график функции $f$, изображённый на рисунке б. Выберем на нём ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, -1)$ и $(4, -2)$. Область определения функции $f$: $D(f) = [0, +\infty)$. Область значений: $E(f) = (-\infty, 0]$.

Для построения графика обратной функции $g$ инвертируем координаты выбранных точек: $(0, 0)$, $(-1, 1)$ и $(-2, 4)$. Область определения и область значений для функции $g$ меняются местами по сравнению с $f$: $D(g) = (-\infty, 0]$ и $E(g) = [0, +\infty)$.

Соединив полученные точки плавной кривой, получим график $g$. Этот график является левой ветвью параболы, заданной уравнением $y=x^2$ с ограничением на область определения.

Ответ: График функции $g$ — это кривая, симметричная графику $f$ относительно прямой $y=x$. Она представляет собой ветвь параболы с вершиной в точке $(0, 0)$, проходящую через точки $(-1, 1)$ и $(-2, 4)$. График расположен во второй координатной четверти и определён для $x \le 0$.

в)

Рассмотрим график функции $f$, изображённый на рисунке в. Это прямая линия. Для её построения достаточно двух точек. Выберем точки пересечения с осями координат: $(-2, 0)$ и $(0, 1)$.

Для построения графика обратной функции $g$, которая также будет прямой линией, поменяем местами координаты этих точек. Получим точки, принадлежащие графику $g$: $(0, -2)$ и $(1, 0)$.

Проведя прямую через точки $(0, -2)$ и $(1, 0)$, мы получим график функции $g$. Уравнение исходной прямой $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. Уравнение обратной функции $g(x) = 2x - 2$.

Ответ: График функции $g$ — это прямая, симметричная графику $f$ относительно прямой $y=x$. Она проходит через точки $(1, 0)$ (пересечение с осью $x$) и $(0, -2)$ (пересечение с осью $y$).