Номер 23, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

23. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{3x + 2}$;

2) $y = \sqrt{\frac{1}{3}x - 2}$;

3) $y = \sqrt{2 - 3x}$;

4) $y = \sqrt{3x + 2} + 1$;

5) $y = \frac{1}{3}\sqrt{4 - 2x - 2}$;

6) $y = -\frac{1}{3}\sqrt{4x - 6} + 3$.

1) $y = \sqrt{3x+2}$

Это функция вида $y=\sqrt{ax+b}$, график которой является ветвью параболы. Для построения графика выполним следующие шаги:

1. Найдем область определения функции.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$3x + 2 \ge 0$

$3x \ge -2$

$x \ge -\frac{2}{3}$

Следовательно, область определения функции $D(y) = [-\frac{2}{3}; +\infty)$.

2. Найдем начальную точку графика.

График начинается в точке, где подкоренное выражение равно нулю.

Если $x = -\frac{2}{3}$, то $y = \sqrt{3(-\frac{2}{3}) + 2} = \sqrt{-2+2} = \sqrt{0} = 0$.

Начальная точка графика — $(-\frac{2}{3}, 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.

Для более точного построения графика найдем координаты еще нескольких точек, принадлежащих ему:

• При $x = -1/3$: $y = \sqrt{3(-1/3)+2} = \sqrt{-1+2} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-1/3, 1)$.
• При $x = 2/3$: $y = \sqrt{3(2/3)+2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2/3, 2)$.
• При $x = 7/3$: $y = \sqrt{3(7/3)+2} = \sqrt{7+2} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(7/3, 3)$.

Отметим точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией, начиная с точки $(-\frac{2}{3}, 0)$.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(-\frac{2}{3}, 0)$ и направлена вправо и вверх.

2) $y = \sqrt{\frac{1}{3}x - 2}$

Это функция квадратного корня, ее график — ветвь параболы.

1. Найдем область определения функции.

$\frac{1}{3}x - 2 \ge 0$

$\frac{1}{3}x \ge 2$

$x \ge 6$

Область определения: $D(y) = [6; +\infty)$.

2. Найдем начальную точку графика.

При $x = 6$, $y = \sqrt{\frac{1}{3}(6) - 2} = \sqrt{2-2} = \sqrt{0} = 0$.

Начальная точка графика — $(6, 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.

• При $x = 9$: $y = \sqrt{\frac{1}{3}(9)-2} = \sqrt{3-2} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(9, 1)$.
• При $x = 18$: $y = \sqrt{\frac{1}{3}(18)-2} = \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(18, 2)$.
• При $x = 33$: $y = \sqrt{\frac{1}{3}(33)-2} = \sqrt{11-2} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(33, 3)$.

График можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ растяжением от оси OY в 3 раза и сдвигом вправо на 6 единиц.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(6, 0)$ и направлена вправо и вверх.

3) $y = \sqrt{2 - 3x}$

Это функция квадратного корня, ее график — ветвь параболы.

1. Найдем область определения функции.

$2 - 3x \ge 0$

$2 \ge 3x$

$x \le \frac{2}{3}$

Область определения: $D(y) = (-\infty; \frac{2}{3}]$.

2. Найдем начальную точку графика.

При $x = \frac{2}{3}$, $y = \sqrt{2 - 3(\frac{2}{3})} = \sqrt{2-2} = \sqrt{0} = 0$.

Начальная точка графика — $(\frac{2}{3}, 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.

• При $x = 1/3$: $y = \sqrt{2 - 3(1/3)} = \sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(1/3, 1)$.
• При $x = -2/3$: $y = \sqrt{2 - 3(-2/3)} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-2/3, 2)$.
• При $x = -7/3$: $y = \sqrt{2 - 3(-7/3)} = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(-7/3, 3)$.

Так как коэффициент при $x$ отрицательный, ветвь параболы будет направлена влево.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(\frac{2}{3}, 0)$ и направлена влево и вверх.

4) $y = \sqrt{3x+2} + 1$

Это функция квадратного корня, смещенная по вертикали.

1. Найдем область определения функции.

Область определения такая же, как у функции в пункте 1): $3x + 2 \ge 0 \implies x \ge -\frac{2}{3}$.

Область определения: $D(y) = [-\frac{2}{3}; +\infty)$.

2. Найдем начальную точку графика.

При $x = -\frac{2}{3}$, $y = \sqrt{3(-\frac{2}{3}) + 2} + 1 = \sqrt{0} + 1 = 1$.

Начальная точка графика — $(-\frac{2}{3}, 1)$.

3. Построение графика.

Данный график можно получить из графика функции $y = \sqrt{3x+2}$ (из задания 1) сдвигом вверх по оси OY на 1 единицу.

Найдем несколько дополнительных точек:

• При $x = -1/3$: $y = \sqrt{3(-1/3)+2} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 2$. Точка $(-1/3, 2)$.
• При $x = 2/3$: $y = \sqrt{3(2/3)+2} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 3$. Точка $(2/3, 3)$.
• При $x = 7/3$: $y = \sqrt{3(7/3)+2} + 1 = \sqrt{9} + 1 = 4$. Точка $(7/3, 4)$.

Ответ: График функции — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(-\frac{2}{3}, 1)$ и направлена вправо и вверх.

5) $y = \frac{1}{3}\sqrt{4-2x} - 2$

Это преобразованная функция квадратного корня.

1. Найдем область определения функции.

$4 - 2x \ge 0 \implies 4 \ge 2x \implies x \le 2$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; 2]$.

2. Найдем начальную точку графика.

При $x = 2$, $y = \frac{1}{3}\sqrt{4-2(2)} - 2 = \frac{1}{3}\sqrt{0} - 2 = -2$.

Начальная точка графика — $(2, -2)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.

• При $x = 0$: $y = \frac{1}{3}\sqrt{4-0} - 2 = \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3}$. Точка $(0, -4/3)$.
• При $x = -2.5$: $y = \frac{1}{3}\sqrt{4-2(-2.5)} - 2 = \frac{1}{3}\sqrt{9} - 2 = 1 - 2 = -1$. Точка $(-2.5, -1)$.
• При $x = -6$: $y = \frac{1}{3}\sqrt{4-2(-6)} - 2 = \frac{1}{3}\sqrt{16} - 2 = \frac{4}{3} - 2 = -\frac{2}{3}$. Точка $(-6, -2/3)$.

График направлен влево (т.к. коэффициент при $x$ отрицательный) и вверх (т.к. коэффициент перед корнем положительный).

Ответ: График функции — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(2, -2)$ и направлена влево и вверх.

6) $y = -\frac{1}{3}\sqrt{4x-6} + 3$

Это преобразованная функция квадратного корня.

1. Найдем область определения функции.

$4x - 6 \ge 0 \implies 4x \ge 6 \implies x \ge \frac{3}{2}$.

Область определения: $D(y) = [\frac{3}{2}; +\infty)$.

2. Найдем начальную точку графика.

При $x = \frac{3}{2}$, $y = -\frac{1}{3}\sqrt{4(\frac{3}{2})-6} + 3 = -\frac{1}{3}\sqrt{6-6} + 3 = 3$.

Начальная точка графика — $(\frac{3}{2}, 3)$ или $(1.5, 3)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек.

Для удобства вычислений можно вынести 4 из-под корня: $y = -\frac{1}{3}\sqrt{4(x-\frac{3}{2})} + 3 = -\frac{2}{3}\sqrt{x-\frac{3}{2}} + 3$.

• При $x = 2.5$ ($x = 5/2$): $y = -\frac{1}{3}\sqrt{4(5/2)-6} + 3 = -\frac{1}{3}\sqrt{4} + 3 = -\frac{2}{3} + 3 = \frac{7}{3}$. Точка $(2.5, 7/3 \approx 2.33)$.
• При $x = 3.75$ ($x=15/4$): $y = -\frac{1}{3}\sqrt{4(15/4)-6} + 3 = -\frac{1}{3}\sqrt{9} + 3 = -1 + 3 = 2$. Точка $(3.75, 2)$.
• При $x = 10.5$ ($x=21/2$): $y = -\frac{1}{3}\sqrt{4(21/2)-6} + 3 = -\frac{1}{3}\sqrt{36} + 3 = -2 + 3 = 1$. Точка $(10.5, 1)$.

График направлен вправо (т.к. коэффициент при $x$ положительный) и вниз (т.к. коэффициент перед корнем отрицательный).

Ответ: График функции — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(\frac{3}{2}, 3)$ и направлена вправо и вниз.