Номер 21, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Постройте график функции:

1) $y = (4x - 1)^2 + 2;$

2) $y = \left(\frac{1}{4}x - 1\right)^2 + 2.$

1) $y = (4x - 1)^2 + 2$
Для построения графика данной функции преобразуем ее к виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины параболы.
Вынесем коэффициент 4 за скобки внутри выражения в квадрате:
$y = (4(x - \frac{1}{4}))^2 + 2$
$y = 4^2(x - \frac{1}{4})^2 + 2$
$y = 16(x - \frac{1}{4})^2 + 2$
График этой функции — парабола. Он может быть получен из графика базовой параболы $y = x^2$ с помощью следующих геометрических преобразований:
1. Растяжение вдоль оси Oy в 16 раз (график становится "уже"). Получаем функцию $y = 16x^2$.
2. Сдвиг вправо вдоль оси Ox на $\frac{1}{4}$ единицы. Получаем функцию $y = 16(x - \frac{1}{4})^2$.
3. Сдвиг вверх вдоль оси Oy на 2 единицы. Получаем искомую функцию $y = 16(x - \frac{1}{4})^2 + 2$.
Определим ключевые точки и характеристики для построения графика:
- Координаты вершины параболы: $(x_0, y_0) = (\frac{1}{4}, 2)$.
- Ось симметрии параболы: $x = \frac{1}{4}$.
- Так как коэффициент $a=16 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
- Найдем точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$ в уравнение:
$y = (4 \cdot 0 - 1)^2 + 2 = (-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$.
Таким образом, точка пересечения с осью Oy — это $(0, 3)$.
- Найдем точку, симметричную точке $(0, 3)$ относительно оси симметрии $x=\frac{1}{4}$. Ее абсцисса будет $x = \frac{1}{4} + (\frac{1}{4} - 0) = \frac{1}{2}$, а ордината останется той же. Симметричная точка — $(\frac{1}{2}, 3)$.
Для построения графика необходимо отметить на координатной плоскости вершину $(\frac{1}{4}, 2)$, точки $(0, 3)$ и $(\frac{1}{2}, 3)$ и соединить их плавной кривой.
Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(\frac{1}{4}; 2)$, ветви которой направлены вверх. График получен из параболы $y=16x^2$ сдвигом на $\frac{1}{4}$ вправо по оси Ox и на 2 вверх по оси Oy.

2) $y = (\frac{1}{4}x - 1)^2 + 2$
Аналогично первому пункту, преобразуем функцию к стандартному виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$.
Вынесем коэффициент $\frac{1}{4}$ за скобки внутри выражения в квадрате:
$y = (\frac{1}{4}(x - 4))^2 + 2$
$y = (\frac{1}{4})^2(x - 4)^2 + 2$
$y = \frac{1}{16}(x - 4)^2 + 2$
График этой функции — парабола, полученная из графика $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:
1. Сжатие вдоль оси Oy в 16 раз (график становится "шире"). Получаем функцию $y = \frac{1}{16}x^2$.
2. Сдвиг вправо вдоль оси Ox на 4 единицы. Получаем функцию $y = \frac{1}{16}(x - 4)^2$.
3. Сдвиг вверх вдоль оси Oy на 2 единицы. Получаем искомую функцию $y = \frac{1}{16}(x - 4)^2 + 2$.
Определим ключевые точки и характеристики для построения графика:
- Координаты вершины параболы: $(x_0, y_0) = (4, 2)$.
- Ось симметрии параболы: $x = 4$.
- Так как коэффициент $a=\frac{1}{16} > 0$, ветви параболы направлены вверх.
- Найдем точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$ в уравнение:
$y = (\frac{1}{4} \cdot 0 - 1)^2 + 2 = (-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$.
Таким образом, точка пересечения с осью Oy — это $(0, 3)$.
- Найдем точку, симметричную точке $(0, 3)$ относительно оси симметрии $x=4$. Ее абсцисса будет $x = 4 + (4 - 0) = 8$, а ордината останется той же. Симметричная точка — $(8, 3)$.
Для построения графика необходимо отметить на координатной плоскости вершину $(4, 2)$, точки $(0, 3)$ и $(8, 3)$ и соединить их плавной кривой.
Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(4; 2)$, ветви которой направлены вверх. График получен из параболы $y=\frac{1}{16}x^2$ сдвигом на 4 вправо по оси Ox и на 2 вверх по оси Oy.