Номер 17, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. На рисунке 13 изображён график функции $y = f(x)$.

Постройте график функции:

1) $y = f(x) + 1$;

2) $y = f(x - 1)$;

3) $y = 2 - f(x)$;

4) $y = f\left(-\frac{x}{2}\right)$.

Рис. 13

Для построения графика функции $y = f(x) + 1$ необходимо график функции $y = f(x)$ сместить параллельным переносом на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси Oy). Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x_0, y_0 + 1)$. Например, точка с координатами $(-1, 0)$ на исходном графике переместится в точку $(-1, 1)$, а точка $(-5, 1)$ переместится в точку $(-5, 2)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ сдвигается на 1 единицу вверх.

Для построения графика функции $y = f(x - 1)$ необходимо график функции $y = f(x)$ сместить параллельным переносом на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox). Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x_0 + 1, y_0)$. Например, точка с координатами $(-1, 0)$ переместится в точку $(0, 0)$, а точка $(-5, 1)$ переместится в точку $(-4, 1)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ сдвигается на 1 единицу вправо.

Для построения графика функции $y = 2 - f(x)$ или, что то же самое, $y = -f(x) + 2$, необходимо выполнить два последовательных преобразования. Сначала график функции $y = f(x)$ отражается симметрично относительно оси Ox. При этом каждая точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, -y_0)$. Затем полученный график сдвигается на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. В результате точка $(x_0, -y_0)$ переходит в точку $(x_0, -y_0 + 2)$. Например, точка $(-1, 0)$ сначала отразится в саму себя, а затем сдвинется в точку $(-1, 2)$. Точка $(-5, 1)$ сначала отразится в точку $(-5, -1)$, а затем сдвинется в точку $(-5, 1)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ отражается симметрично относительно оси Ox и затем сдвигается на 2 единицы вверх.

Для построения графика функции $y = f(-\frac{x}{2})$ необходимо выполнить два последовательных преобразования над графиком $y = f(x)$. Во-первых, произвести отражение относительно оси Oy (замена $x$ на $-x$). Во-вторых, произвести растяжение графика от оси Oy в 2 раза (замена $x$ на $x/2$). Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x, y)$, где $y = y_0$ и $-\frac{x}{2} = x_0$, что эквивалентно $x = -2x_0$. Координата $y$ не меняется, а координата $x$ умножается на $-2$. Например, точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(-2 \cdot (-1), 0) = (2, 0)$, а точка $(-5, 1)$ перейдет в точку $(-2 \cdot (-5), 1) = (10, 1)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ отражается симметрично относительно оси Oy и затем растягивается в 2 раза вдоль оси Ox.