Номер 19, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x - 4}$;

2) $y = \sqrt{x} - 4$;

3) $y = \sqrt{x - 4} + 2$;

4) $y = 3 - \sqrt{x + 1}$;

5) $y = 3 - \sqrt{-x + 1}$.

Для построения графиков данных функций используется метод геометрических преобразований графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1) $y = \sqrt{x} - 4$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем его сдвига вдоль оси Oy.

Алгоритм построения:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат. Контрольные точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$.
2. Выполняем параллельный перенос (сдвиг) построенного графика на 4 единицы вниз вдоль оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y = \sqrt{x}$ переходит в точку $(x, y - 4)$.

Таким образом, начальная точка графика переместится из $(0, 0)$ в $(0, -4)$. Контрольные точки для нового графика: $(0, -4)$, $(1, -3)$, $(4, -2)$, $(9, -1)$.

Область определения: $x \geq 0$, то есть $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений: $y \geq -4$, то есть $E(y) = [-4; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 4$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 4 единицы вниз вдоль оси ординат. Начальная точка графика — $(0, -4)$.

2) $y = \sqrt{x - 4}$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем его сдвига вдоль оси Ox.

Алгоритм построения:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$ с контрольными точками $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$.
2. Выполняем параллельный перенос (сдвиг) построенного графика на 4 единицы вправо вдоль оси Ox. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y = \sqrt{x}$ переходит в точку $(x + 4, y)$.

Начальная точка графика переместится из $(0, 0)$ в $(4, 0)$. Контрольные точки для нового графика: $(4, 0)$, $(5, 1)$, $(8, 2)$, $(13, 3)$.

Область определения: $x - 4 \geq 0 \implies x \geq 4$, то есть $D(y) = [4; +\infty)$.

Область значений: $y \geq 0$, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 4}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Начальная точка графика — $(4, 0)$.

3) $y = \sqrt{x - 4} + 2$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем его сдвигов вдоль обеих координатных осей.

Алгоритм построения:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.
2. Сдвигаем его на 4 единицы вправо вдоль оси Ox, получая график функции $y = \sqrt{x - 4}$.
3. Затем сдвигаем полученный график на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Эти два сдвига можно объединить в один: перенос графика $y = \sqrt{x}$ на вектор $(4, 2)$. Начальная точка $(0, 0)$ переместится в точку $(4, 2)$. Контрольные точки для нового графика: $(4, 2)$, $(5, 3)$, $(8, 4)$.

Область определения: $x - 4 \geq 0 \implies x \geq 4$, то есть $D(y) = [4; +\infty)$.

Область значений: $\sqrt{x-4} \ge 0 \implies \sqrt{x-4} + 2 \ge 2$, то есть $E(y) = [2; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 4} + 2$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 4 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Начальная точка графика — $(4, 2)$.

4) $y = 3 - \sqrt{x + 1}$

Запишем функцию в виде $y = -\sqrt{x + 1} + 3$. График этой функции можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ с помощью нескольких преобразований.

Алгоритм построения:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.
2. Сдвигаем его на 1 единицу влево вдоль оси Ox, получая график $y = \sqrt{x + 1}$. Начальная точка смещается в $(-1, 0)$.
3. Отражаем полученный график симметрично относительно оси Ox, получая график $y = -\sqrt{x + 1}$. Ветвь будет направлена вниз.
4. Сдвигаем последний график на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Начальная точка графика после всех преобразований переместится в $(-1, 3)$. Контрольные точки: $(-1, 3)$, $(0, 2)$, $(3, 1)$, $(8, 0)$.

Область определения: $x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1$, то есть $D(y) = [-1; +\infty)$.

Область значений: $\sqrt{x+1} \ge 0 \implies -\sqrt{x+1} \le 0 \implies 3-\sqrt{x+1} \le 3$, то есть $E(y) = (-\infty; 3]$.

Ответ: График функции $y = 3 - \sqrt{x + 1}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом на 1 единицу влево, симметричным отражением относительно оси Ox и сдвигом на 3 единицы вверх. Начальная точка графика — $(-1, 3)$, ветвь направлена вниз и вправо.

5) $y = 3 - \sqrt{-x + 1}$

Запишем функцию в виде $y = -\sqrt{-(x - 1)} + 3$. График строится преобразованиями из графика $y = \sqrt{x}$.

Алгоритм построения:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.
2. Отражаем его симметрично относительно оси Oy, получая график $y = \sqrt{-x}$. Ветвь будет направлена влево из начала координат.
3. Сдвигаем полученный график на 1 единицу вправо вдоль оси Ox, получая $y = \sqrt{-(x-1)} = \sqrt{-x+1}$. Начальная точка смещается в $(1, 0)$.
4. Отражаем последний график симметрично относительно оси Ox, получая $y = -\sqrt{-x+1}$. Ветвь будет направлена вниз и влево из точки $(1, 0)$.
5. Сдвигаем график на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Начальная точка графика после всех преобразований будет $(1, 3)$. Контрольные точки: $(1, 3)$, $(0, 2)$, $(-3, 1)$, $(-8, 0)$.

Область определения: $-x + 1 \geq 0 \implies 1 \geq x$, то есть $D(y) = (-\infty; 1]$.

Область значений: $\sqrt{-x+1} \ge 0 \implies -\sqrt{-x+1} \le 0 \implies 3-\sqrt{-x+1} \le 3$, то есть $E(y) = (-\infty; 3]$.

Ответ: График функции $y = 3 - \sqrt{-x + 1}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ отражением относительно оси Oy, сдвигом на 1 единицу вправо, отражением относительно оси Ox и сдвигом на 3 единицы вверх. Начальная точка графика — $(1, 3)$, ветвь направлена вниз и влево.