Номер 18, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Постройте график функции:

1) $y = \frac{4}{x}$;

2) $y = \frac{4}{x} + 1$;

3) $y = \frac{4}{x - 2}$;

4) $y = \frac{4}{2 - x}$;

5) $y = \frac{2x}{x - 2}$.

1) $y = \frac{4}{x}$

Это канонический вид функции обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. Построим её по шагам:

Шаг 1: Определение асимптот.
Функция не определена в точке $x=0$, так как знаменатель обращается в ноль. Следовательно, прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой. При $x \to \pm\infty$, значение $y \to 0$. Следовательно, прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

Шаг 2: Расположение ветвей.
Коэффициент пропорциональности $k=4$ положителен ($k > 0$), поэтому ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях.

Шаг 3: Нахождение контрольных точек.
Составим таблицу значений для каждой ветви:

• Для I четверти:
  • если $x=1$, то $y = 4/1 = 4$; Точка (1, 4).
  • если $x=2$, то $y = 4/2 = 2$; Точка (2, 2).
  • если $x=4$, то $y = 4/4 = 1$; Точка (4, 1).
• Для III четверти (используя симметрию относительно начала координат):
  • если $x=-1$, то $y = 4/(-1) = -4$; Точка (-1, -4).
  • если $x=-2$, то $y = 4/(-2) = -2$; Точка (-2, -2).
  • если $x=-4$, то $y = 4/(-4) = -1$; Точка (-4, -1).

Шаг 4: Построение графика.
На координатной плоскости чертим оси координат, которые являются асимптотами. Затем отмечаем найденные точки и соединяем их плавными линиями, получая две ветви гиперболы, которые приближаются к асимптотам, но не пересекают их.

Ответ: Графиком функции является гипербола с центром симметрии в начале координат, асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

2) $y = \frac{4}{x} + 1$

Этот график можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ (рассмотренного в пункте 1) путем его сдвига (параллельного переноса) на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Шаг 1: Определение асимптот.
Вертикальная асимптота не изменяется, так как сдвиг происходит только по вертикали: $x=0$.
Горизонтальная асимптота сдвигается вместе с графиком на 1 единицу вверх: $y=1$.

Шаг 2: Нахождение контрольных точек.
Возьмем ключевые точки графика $y = \frac{4}{x}$ и увеличим их ординаты (координаты $y$) на 1:

• (1, 4) $\rightarrow$ (1, 4+1) = (1, 5).
• (2, 2) $\rightarrow$ (2, 2+1) = (2, 3).
• (4, 1) $\rightarrow$ (4, 1+1) = (4, 2).
• (-1, -4) $\rightarrow$ (-1, -4+1) = (-1, -3).
• (-2, -2) $\rightarrow$ (-2, -2+1) = (-2, -1).
• (-4, -1) $\rightarrow$ (-4, -1+1) = (-4, 0). Эта точка является точкой пересечения с осью Ox.

Шаг 3: Построение графика.
На координатной плоскости чертим новые асимптоты: $x=0$ и $y=1$. Затем отмечаем полученные точки и строим ветви гиперболы относительно новых асимптот.

Ответ: Графиком функции является гипербола, полученная сдвигом графика $y=\frac{4}{x}$ на 1 единицу вверх. Ее асимптоты - прямые $x=0$ и $y=1$.

3) $y = \frac{4}{x-2}$

Этот график можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем его сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Шаг 1: Определение асимптот.
Вертикальная асимптота сдвигается вместе с графиком на 2 единицы вправо: $x=2$.
Горизонтальная асимптота не изменяется, так как сдвиг происходит только по горизонтали: $y=0$.

Шаг 2: Нахождение контрольных точек.
Возьмем ключевые точки графика $y = \frac{4}{x}$ и увеличим их абсциссы (координаты $x$) на 2:

• (1, 4) $\rightarrow$ (1+2, 4) = (3, 4).
• (2, 2) $\rightarrow$ (2+2, 2) = (4, 2).
• (4, 1) $\rightarrow$ (4+2, 1) = (6, 1).
• (-1, -4) $\rightarrow$ (-1+2, -4) = (1, -4).
• (-2, -2) $\rightarrow$ (-2+2, -2) = (0, -2). Эта точка является точкой пересечения с осью Oy.

Шаг 3: Построение графика.
На координатной плоскости чертим новые асимптоты: $x=2$ и $y=0$. Затем отмечаем полученные точки и строим ветви гиперболы относительно новых асимптот.

Ответ: Графиком функции является гипербола, полученная сдвигом графика $y=\frac{4}{x}$ на 2 единицы вправо. Ее асимптоты - прямые $x=2$ и $y=0$.

4) $y = \frac{4}{2-x}$

Преобразуем функцию: $y = \frac{4}{2-x} = \frac{4}{-(x-2)} = -\frac{4}{x-2}$.
Этот график можно получить из графика $y = \frac{4}{x-2}$ (рассмотренного в пункте 3) путем его зеркального отражения относительно оси Ox. Или, что то же самое, получить из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо и отражением относительно оси Ox.

Шаг 1: Определение асимптот.
Асимптоты остаются такими же, как у функции $y = \frac{4}{x-2}$: вертикальная $x=2$ и горизонтальная $y=0$.

Шаг 2: Расположение ветвей.
Из-за знака "минус" перед дробью ветви гиперболы будут располагаться во II и IV четвертях относительно системы координат с центром в точке пересечения асимптот (2, 0).

Шаг 3: Нахождение контрольных точек.
Возьмем ключевые точки графика $y = \frac{4}{x-2}$ и изменим знак их ординат на противоположный:

• (3, 4) $\rightarrow$ (3, -4).
• (4, 2) $\rightarrow$ (4, -2).
• (1, -4) $\rightarrow$ (1, 4).
• (0, -2) $\rightarrow$ (0, 2). Эта точка является точкой пересечения с осью Oy.

Шаг 4: Построение графика.
Чертим асимптоты $x=2$ и $y=0$. Отмечаем точки и строим ветви гиперболы во II и IV "новых" четвертях.

Ответ: Графиком функции является гипербола с асимптотами $x=2$ и $y=0$. Ветви расположены во второй и четвертой четвертях относительно центра симметрии (2,0).

5) $y = \frac{2x}{x-2}$

Для построения графика преобразуем данную дробно-рациональную функцию, выделив целую часть:

$y = \frac{2x}{x-2} = \frac{2x - 4 + 4}{x-2} = \frac{2(x-2) + 4}{x-2} = \frac{2(x-2)}{x-2} + \frac{4}{x-2} = 2 + \frac{4}{x-2}$.

Получили функцию $y = \frac{4}{x-2} + 2$. Ее график можно получить из графика $y = \frac{4}{x}$ путем двух последовательных сдвигов: на 2 единицы вправо вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Шаг 1: Определение асимптот.
Вертикальная асимптота: $x=2$.
Горизонтальная асимптота: $y=2$.

Шаг 2: Нахождение контрольных точек.
Возьмем ключевые точки графика $y = \frac{4}{x}$ и применим к ним сдвиги: $(x, y) \rightarrow (x+2, y+2)$.

• (2, 2) $\rightarrow$ (2+2, 2+2) = (4, 4).
• (4, 1) $\rightarrow$ (4+2, 1+2) = (6, 3).
• (-2, -2) $\rightarrow$ (-2+2, -2+2) = (0, 0). Это точка пересечения с обеими осями координат (начало координат).
• (-4, -1) $\rightarrow$ (-4+2, -1+2) = (-2, 1).

Шаг 3: Построение графика.
На координатной плоскости чертим новые асимптоты $x=2$ и $y=2$. Отмечаем найденные точки, включая начало координат, и строим ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола, полученная из графика $y=\frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо и 2 единицы вверх. Ее асимптоты - прямые $x=2$ и $y=2$. График проходит через начало координат.