Номер 15, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

15. Функция $f$ такова, что $\min_{[1;6]} f(x) = -5$, $\max_{[1;6]} f(x) = 8$.

Найдите $\min_{[-6;-1]} f(x)$, $\max_{[-6;-1]} f(x)$, если:

1) $f$ — чётная функция;

2) $f$ — нечётная функция.

1) f — чётная функция

По определению, чётная функция удовлетворяет равенству $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из её области определения.
Это означает, что если $x$ принадлежит отрезку $[-6; -1]$, то $-x$ принадлежит отрезку $[1; 6]$, и при этом значения функции в этих точках равны: $f(x) = f(-x)$.
Следовательно, множество значений, которые функция $f$ принимает на отрезке $[-6; -1]$, в точности совпадает с множеством значений, которые она принимает на отрезке $[1; 6]$.
Поэтому минимальное и максимальное значения функции на этих двух отрезках будут одинаковыми.
$\min_{[-6;-1]} f(x) = \min_{[1;6]} f(x) = -5$.
$\max_{[-6;-1]} f(x) = \max_{[1;6]} f(x) = 8$.
Ответ: $\min_{[-6;-1]} f(x) = -5$, $\max_{[-6;-1]} f(x) = 8$.

2) f — нечётная функция

По определению, нечётная функция удовлетворяет равенству $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из её области определения.
Если $x$ принадлежит отрезку $[-6; -1]$, то $-x$ принадлежит отрезку $[1; 6]$. Значение функции в точке $x$ можно выразить как $f(x) = -f(-x)$.
Это значит, что множество значений функции на отрезке $[-6; -1]$ состоит из чисел, противоположных значениям функции на отрезке $[1; 6]$.
Чтобы найти минимальное значение функции на отрезке $[-6; -1]$, воспользуемся свойством $\min(-g(x)) = -\max(g(x))$.
$\min_{[-6;-1]} f(x) = \min_{x \in [-6;-1]} (-f(-x))$. Сделаем замену $t = -x$, тогда $t \in [1; 6]$.
$\min_{[-6;-1]} f(x) = \min_{t \in [1;6]} (-f(t)) = -\max_{t \in [1;6]} f(t) = -8$.
Чтобы найти максимальное значение функции на отрезке $[-6; -1]$, воспользуемся свойством $\max(-g(x)) = -\min(g(x))$.
$\max_{[-6;-1]} f(x) = \max_{x \in [-6;-1]} (-f(-x))$. Сделаем замену $t = -x$, тогда $t \in [1; 6]$.
$\max_{[-6;-1]} f(x) = \max_{t \in [1;6]} (-f(t)) = -\min_{t \in [1;6]} f(t) = -(-5) = 5$.
Ответ: $\min_{[-6;-1]} f(x) = -8$, $\max_{[-6;-1]} f(x) = 5$.