Номер 8, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Докажите, что является нечётной функция:

1) $f(x) = -5x^7 - 9x$

2) $f(x) = \frac{7x^3 - 4x}{3x^2 + 4}$

3) $f(x) = \frac{6}{8 + 7x} - \frac{6}{8 - 7x}$

4) $f(x) = \sqrt{8 - x} - \sqrt{8 + x}$

5) $f(x) = x + \frac{x}{|x|}$

6) $f(x) = \frac{7x^2}{|x + 17| - |x - 17|}$

Функция $f(x)$ называется нечётной, если её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$), и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

1) $f(x) = -5x^7 - 9x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = -5(-x)^7 - 9(-x) = -5(-x^7) + 9x = 5x^7 + 9x$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -(-5x^7 - 9x) = 5x^7 + 9x$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

2) $f(x) = \frac{7x^3 - 4x}{3x^2 + 4}$

Знаменатель $3x^2 + 4 > 0$ при любом значении $x$. Следовательно, область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{7(-x)^3 - 4(-x)}{3(-x)^2 + 4} = \frac{-7x^3 + 4x}{3x^2 + 4}$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -\frac{7x^3 - 4x}{3x^2 + 4} = \frac{-(7x^3 - 4x)}{3x^2 + 4} = \frac{-7x^3 + 4x}{3x^2 + 4}$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

3) $f(x) = \frac{6}{8 + 7x} - \frac{6}{8 - 7x}$

Область определения функции задаётся условиями $8 + 7x \neq 0$ и $8 - 7x \neq 0$, то есть $x \neq -8/7$ и $x \neq 8/7$. Область определения $D(f) = (-\infty; -8/7) \cup (-8/7; 8/7) \cup (8/7; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{6}{8 + 7(-x)} - \frac{6}{8 - 7(-x)} = \frac{6}{8 - 7x} - \frac{6}{8 + 7x}$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -(\frac{6}{8 + 7x} - \frac{6}{8 - 7x}) = -\frac{6}{8 + 7x} + \frac{6}{8 - 7x} = \frac{6}{8 - 7x} - \frac{6}{8 + 7x}$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

4) $f(x) = \sqrt{8 - x} - \sqrt{8 + x}$

Область определения функции задаётся системой неравенств: $\begin{cases} 8 - x \ge 0 \\ 8 + x \ge 0 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} x \le 8 \\ x \ge -8 \end{cases}$. Таким образом, $D(f) = [-8; 8]$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt{8 - (-x)} - \sqrt{8 + (-x)} = \sqrt{8 + x} - \sqrt{8 - x}$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -(\sqrt{8 - x} - \sqrt{8 + x}) = -\sqrt{8 - x} + \sqrt{8 + x} = \sqrt{8 + x} - \sqrt{8 - x}$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

5) $f(x) = x + \frac{x}{|x|}$

Область определения функции задаётся условием $|x| \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = (-x) + \frac{-x}{|-x|} = -x - \frac{x}{|x|}$ (так как $|-x| = |x|$).

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -(x + \frac{x}{|x|}) = -x - \frac{x}{|x|}$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

6) $f(x) = \frac{7x^2}{|x+17| - |x-17|}$

Область определения функции задаётся условием $|x+17| - |x-17| \neq 0$, то есть $|x+17| \neq |x-17|$. Это неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-17$ не равно расстоянию от точки $x$ до точки $17$. Единственная точка, для которой эти расстояния равны, это середина отрезка $[-17, 17]$, то есть $x=0$. Значит, область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{7(-x)^2}{|(-x)+17| - |(-x)-17|} = \frac{7x^2}{|17-x| - |-x-17|} = \frac{7x^2}{|x-17| - |x+17|}$ (так как $|a| = |-a|$).

Вынесем минус из знаменателя:

$f(-x) = \frac{7x^2}{-(|x+17| - |x-17|)} = -\frac{7x^2}{|x+17| - |x-17|} = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция является нечётной.