Номер 6, страница 57 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 6x + 5$ на промежутке:

1) $[0; 2];$

2) $[1; 4];$

3) $[4; 5].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $y = x^2 - 6x + 5$ на заданных промежутках, необходимо сначала определить свойства этой функции. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Это означает, что в своей вершине парабола достигает глобального минимума.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_v$ для параболы $y = ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $a=1$, $b=-6$, $c=5$.

$x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

Ордината вершины (минимальное значение функции):

$y_v = y(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.

Теперь проанализируем каждый из заданных промежутков.

Абсцисса вершины $x_v = 3$ не попадает в промежуток $[0; 2]$. Поскольку вершина находится правее этого отрезка, на всем промежутке $[0; 2]$ функция является убывающей. Следовательно, наибольшее значение она принимает на левом конце отрезка (в точке $x=0$), а наименьшее — на правом (в точке $x=2$).

Вычислим значения функции на концах промежутка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = 2^2 - 6 \cdot 2 + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$.

Ответ: наибольшее значение 5, наименьшее значение -3.

Абсцисса вершины $x_v = 3$ принадлежит промежутку $[1; 4]$. Так как в этой точке находится минимум параболы, то наименьшее значение функции на данном отрезке будет именно в ней.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(3) = -4$.

Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка $[1; 4]$. Найдем значения функции в этих точках и сравним их.

$y(1) = 1^2 - 6 \cdot 1 + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$.

$y(4) = 4^2 - 6 \cdot 4 + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$.

Сравнивая полученные значения ($0$ и $-3$), заключаем, что наибольшее значение равно $0$.

Ответ: наибольшее значение 0, наименьшее значение -4.

Абсцисса вершины $x_v = 3$ не попадает в промежуток $[4; 5]$. Поскольку вершина находится левее этого отрезка, на всем промежутке $[4; 5]$ функция является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка (в точке $x=4$), а наибольшее — на правом (в точке $x=5$).

Вычислим значения функции на концах промежутка:

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(4) = 4^2 - 6 \cdot 4 + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 + 5 = 25 - 30 + 5 = 0$.

Ответ: наибольшее значение 0, наименьшее значение -3.