Номер 316, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

316. Исследуйте функцию и постройте её график:

1) $f(x) = 3x^2 - x^3;$

2) $f(x) = 4 - 3x^2 - x^4;$

3) $f(x) = (x - 1)^2 (x + 2)^2;$

4) $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 4};$

5) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x - 8};$

6) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 4}.$

1) $f(x) = 3x^2 - x^3$

Проведем полное исследование функции.

• 1. Область определения.

  Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

• 2. Четность и нечетность.

  $f(-x) = 3(-x)^2 - (-x)^3 = 3x^2 + x^3$.

  Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

• 3. Точки пересечения с осями координат.

  С осью Oy: $x=0 \implies y = f(0) = 3(0)^2 - 0^3 = 0$. Точка (0, 0).

  С осью Ox: $y=0 \implies 3x^2 - x^3 = 0 \implies x^2(3-x) = 0$. Корни $x=0$ и $x=3$. Точки (0, 0) и (3, 0).

• 4. Асимптоты.

  Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси.

  Исследуем поведение на бесконечности для нахождения наклонных или горизонтальных асимптот:

  $\lim_{x \to +\infty} (3x^2 - x^3) = -\infty$

  $\lim_{x \to -\infty} (3x^2 - x^3) = +\infty$

  Горизонтальных асимптот нет. Наклонных асимптот вида $y=kx+b$ также нет, так как $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} (3x - x^2) = -\infty$.

• 5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

  Найдем первую производную: $f'(x) = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2 = 3x(2-x)$.

  Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x(2-x) = 0 \implies x_1=0, x_2=2$.

  Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, 0)$, $(0, 2)$ и $(2, +\infty)$:

  • При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
  • При $x \in (0, 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
  • При $x \in (2, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

  В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = f(0) = 0$.

  В точке $x=2$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = f(2) = 3(2)^2 - 2^3 = 12 - 8 = 4$.

• 6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

  Найдем вторую производную: $f''(x) = (6x - 3x^2)' = 6 - 6x = 6(1-x)$.

  Приравняем вторую производную к нулю: $6(1-x) = 0 \implies x=1$.

  Определим знаки второй производной на интервалах $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$:

  • При $x \in (-\infty, 1)$, $f''(x) > 0$, график функции вогнутый (выпуклый вниз).
  • При $x \in (1, +\infty)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый (выпуклый вверх).

  В точке $x=1$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y_{перегиба} = f(1) = 3(1)^2 - 1^3 = 2$. Точка перегиба: (1, 2).

• 7. Построение графика.

  На основе полученных данных (точки пересечения с осями, точки экстремумов, точка перегиба и интервалы монотонности и выпуклости) строим график функции. График представляет собой кубическую параболу, проходящую через начало координат, имеющую локальный минимум в (0,0), локальный максимум в (2,4) и точку перегиба в (1,2).

Ответ: Исследование функции $f(x) = 3x^2 - x^3$ показало: область определения - $(-\infty; +\infty)$; функция общего вида; точки пересечения с осями - (0, 0) и (3, 0); асимптот нет; функция убывает на $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$ и возрастает на $(0, 2)$; точка локального минимума - (0, 0), точка локального максимума - (2, 4); график вогнутый на $(-\infty, 1)$ и выпуклый на $(1, +\infty)$; точка перегиба - (1, 2).

2) $f(x) = 4 - 3x^2 - x^4$

Проведем полное исследование функции.

• 1. Область определения.

  Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

• 2. Четность и нечетность.

  $f(-x) = 4 - 3(-x)^2 - (-x)^4 = 4 - 3x^2 - x^4 = f(x)$.

  Функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

• 3. Точки пересечения с осями координат.

  С осью Oy: $x=0 \implies y = f(0) = 4$. Точка (0, 4).

  С осью Ox: $y=0 \implies 4 - 3x^2 - x^4 = 0$. Пусть $t=x^2, t \ge 0$. Уравнение примет вид $-t^2 - 3t + 4 = 0$ или $t^2 + 3t - 4 = 0$. Корни $t_1 = 1, t_2 = -4$. Корень $t_2 = -4$ не подходит. Тогда $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Точки (-1, 0) и (1, 0).

• 4. Асимптоты.

  Вертикальных асимптот нет. $\lim_{x \to \pm\infty} (4 - 3x^2 - x^4) = -\infty$. Горизонтальных и наклонных асимптот нет.

• 5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

  Первая производная: $f'(x) = -6x - 4x^3 = -2x(3 + 2x^2)$.

  Критические точки: $f'(x) = 0 \implies -2x(3 + 2x^2) = 0$. Так как $3+2x^2 > 0$ для любого $x$, то единственная критическая точка $x=0$.

  Знаки производной:

  • При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
  • При $x \in (0, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

  В точке $x=0$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = f(0) = 4$. Это также и глобальный максимум.

• 6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

  Вторая производная: $f''(x) = (-6x - 4x^3)' = -6 - 12x^2 = -6(1 + 2x^2)$.

  Так как $1+2x^2 > 0$ для любого $x$, то $f''(x)$ всегда отрицательна. График функции всегда выпуклый (выпуклый вверх). Точек перегиба нет.

• 7. Построение графика.

  График симметричен относительно оси Oy, имеет максимум в точке (0, 4), пересекает ось Ox в точках (-1, 0) и (1, 0). График имеет колоколообразную форму, ветви направлены вниз.

Ответ: Исследование функции $f(x) = 4 - 3x^2 - x^4$ показало: область определения - $(-\infty; +\infty)$; функция четная; точки пересечения с осями - (0, 4), (-1, 0), (1, 0); асимптот нет; функция возрастает на $(-\infty, 0)$ и убывает на $(0, +\infty)$; точка глобального максимума - (0, 4); график всегда выпуклый; точек перегиба нет.

3) $f(x) = (x-1)^2(x+2)^2$

Проведем полное исследование функции.

• 1. Область определения.

  $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

• 2. Четность и нечетность.

  $f(x) = ((x-1)(x+2))^2 = (x^2+x-2)^2$.

  $f(-x) = ((-x)^2+(-x)-2)^2 = (x^2-x-2)^2$. Функция общего вида.

• 3. Точки пересечения с осями координат.

  С осью Oy: $x=0 \implies y = f(0) = (-1)^2(2)^2 = 4$. Точка (0, 4).

  С осью Ox: $y=0 \implies (x-1)^2(x+2)^2 = 0 \implies x=1, x=-2$. Точки (-2, 0) и (1, 0). В этих точках график касается оси Ox.

• 4. Асимптоты.

  Вертикальных асимптот нет. $\lim_{x \to \pm\infty} (x^2+x-2)^2 = +\infty$. Горизонтальных и наклонных асимптот нет.

• 5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

  Первая производная: $f'(x) = 2(x^2+x-2)(2x+1) = 2(x+2)(x-1)(2x+1)$.

  Критические точки: $x=-2, x=-1/2, x=1$.

  Знаки производной:

  • $x \in (-\infty, -2)$: $f'(x) < 0$, убывает.
  • $x \in (-2, -1/2)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
  • $x \in (-1/2, 1)$: $f'(x) < 0$, убывает.
  • $x \in (1, +\infty)$: $f'(x) > 0$, возрастает.

  $x=-2$ - точка минимума, $y_{min} = f(-2) = 0$.

  $x=-1/2$ - точка максимума, $y_{max} = f(-1/2) = ((-3/2)^2)(3/2)^2 = 81/16 = 5.0625$.

  $x=1$ - точка минимума, $y_{min} = f(1) = 0$.

• 6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

  $f'(x) = 2(2x^3+3x^2-3x-2)$. Вторая производная: $f''(x) = 2(6x^2+6x-3) = 6(2x^2+2x-1)$.

  $f''(x) = 0 \implies 2x^2+2x-1=0$. Корни $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-4(2)(-1)}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$.

  $x_1 = \frac{-1-\sqrt{3}}{2} \approx -1.37$, $x_2 = \frac{-1+\sqrt{3}}{2} \approx 0.37$.

  Знаки второй производной:

  • $x \in (-\infty, x_1)$: $f''(x)>0$, вогнутая.
  • $x \in (x_1, x_2)$: $f''(x)<0$, выпуклая.
  • $x \in (x_2, +\infty)$: $f''(x)>0$, вогнутая.

  Точки $x_1, x_2$ - абсциссы точек перегиба. Ординаты: $f(x_{1,2}) = (x_{1,2}^2+x_{1,2}-2)^2$. Так как $2x^2+2x-1=0$, то $x^2+x=1/2$. Тогда $f(x_{1,2}) = (1/2-2)^2 = (-3/2)^2 = 9/4 = 2.25$.

  Точки перегиба: $(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{4})$ и $(\frac{-1+\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{4})$.

• 7. Построение графика.

  График имеет форму буквы 'W'. Он касается оси Ox в точках (-2, 0) и (1, 0), имеет локальный максимум в (-0.5, 81/16) и пересекает ось Oy в (0, 4).

Ответ: Исследование функции $f(x) = (x-1)^2(x+2)^2$ показало: область определения - $(-\infty; +\infty)$; функция общего вида; точки пересечения с осями - (-2, 0), (1, 0), (0, 4); асимптот нет; функция убывает на $(-\infty, -2) \cup (-1/2, 1)$ и возрастает на $(-2, -1/2) \cup (1, +\infty)$; точки локального минимума - (-2, 0) и (1, 0), точка локального максимума - (-1/2, 81/16); график вогнутый на $(-\infty, \frac{-1-\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{-1+\sqrt{3}}{2}, +\infty)$ и выпуклый на $(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}, \frac{-1+\sqrt{3}}{2})$; точки перегиба - $(\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}, \frac{9}{4})$.

4) $f(x) = \frac{4x}{x^2 + 4}$

Проведем полное исследование функции.

• 1. Область определения.

  Знаменатель $x^2+4 > 0$ для всех $x$, поэтому $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

• 2. Четность и нечетность.

  $f(-x) = \frac{4(-x)}{(-x)^2 + 4} = -\frac{4x}{x^2 + 4} = -f(x)$.

  Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

• 3. Точки пересечения с осями координат.

  С осью Oy: $x=0 \implies y = 0$. Точка (0, 0).

  С осью Ox: $y=0 \implies 4x=0 \implies x=0$. Точка (0, 0).

• 4. Асимптоты.

  Вертикальных асимптот нет. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{4x}{x^2+4} = 0$. Горизонтальная асимптота $y=0$.

• 5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

  Первая производная: $f'(x) = \frac{4(x^2+4) - 4x(2x)}{(x^2+4)^2} = \frac{16-4x^2}{(x^2+4)^2}$.

  Критические точки: $f'(x) = 0 \implies 16-4x^2=0 \implies x^2=4 \implies x=\pm 2$.

  Знаки производной:

  • $x \in (-\infty, -2)$: $f'(x) < 0$, убывает.
  • $x \in (-2, 2)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
  • $x \in (2, +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.

  $x=-2$ - точка минимума, $y_{min} = f(-2) = \frac{-8}{8}=-1$.

  $x=2$ - точка максимума, $y_{max} = f(2) = \frac{8}{8}=1$.

• 6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

  Вторая производная: $f''(x) = \frac{-8x(x^2+4)^2 - (16-4x^2)2(x^2+4)(2x)}{(x^2+4)^4} = \frac{-8x(x^2+4) - 4x(16-4x^2)}{(x^2+4)^3} = \frac{8x(x^2-12)}{(x^2+4)^3}$.

  $f''(x) = 0 \implies x(x^2-12)=0 \implies x=0, x=\pm\sqrt{12}=\pm 2\sqrt{3}$.

  Знаки второй производной:

  • $x \in (-\infty, -2\sqrt{3})$: $f''(x)<0$, выпуклая.
  • $x \in (-2\sqrt{3}, 0)$: $f''(x)>0$, вогнутая.
  • $x \in (0, 2\sqrt{3})$: $f''(x)<0$, выпуклая.
  • $x \in (2\sqrt{3}, +\infty)$: $f''(x)>0$, вогнутая.

  Точки перегиба: (0, 0), $(-2\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(2\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

• 7. Построение графика.

  График симметричен относительно начала координат, проходит через (0,0), имеет минимум в (-2, -1) и максимум в (2, 1). При $x \to \pm\infty$ график асимптотически приближается к оси Ox.

Ответ: Исследование функции $f(x) = \frac{4x}{x^2+4}$ показало: область определения - $(-\infty; +\infty)$; функция нечетная; точка пересечения с осями - (0, 0); горизонтальная асимптота $y=0$; функция убывает на $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$ и возрастает на $(-2, 2)$; точка локального минимума - (-2, -1), точка локального максимума - (2, 1); точки перегиба - $(0,0)$, $(\pm 2\sqrt{3}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2})$.

5) $f(x) = \frac{1}{x^2 + 2x - 8}$

Проведем полное исследование функции.

• 1. Область определения.

  Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 + 2x - 8 \neq 0 \implies (x+4)(x-2) \neq 0$. $x \neq -4, x \neq 2$.

  $D(f) = (-\infty, -4) \cup (-4, 2) \cup (2, +\infty)$.

• 2. Четность и нечетность.

  $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2 + 2(-x) - 8} = \frac{1}{x^2 - 2x - 8}$. Функция общего вида.

• 3. Точки пересечения с осями координат.

  С осью Oy: $x=0 \implies y = f(0) = -1/8$. Точка (0, -1/8).

  С осью Ox: $y=0 \implies 1=0$, решений нет. График не пересекает ось Ox.

• 4. Асимптоты.

  Вертикальные асимптоты: $x=-4$ и $x=2$.

  Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2+2x-8} = 0$. Горизонтальная асимптота $y=0$.

• 5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

  Первая производная: $f'(x) = -\frac{2x+2}{(x^2+2x-8)^2}$.

  Критические точки: $f'(x)=0 \implies 2x+2=0 \implies x=-1$.

  Знаки производной:

  • $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, -1)$: $f'(x) > 0$, возрастает.
  • $x \in (-1, 2) \cup (2, +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.

  $x=-1$ - точка максимума, $y_{max} = f(-1) = \frac{1}{1-2-8} = -1/9$.

• 6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

  Вторая производная: $f''(x) = \frac{6(x^2+2x+4)}{(x^2+2x-8)^3}$.

  Числитель $6(x^2+2x+4)$ всегда положителен (дискриминант $D<0$). Знак $f''(x)$ зависит от знака знаменателя $(x^2+2x-8)^3$.

  Знаки второй производной:

  • $x \in (-\infty, -4)$: $f''(x)>0$, вогнутая.
  • $x \in (-4, 2)$: $f''(x)<0$, выпуклая.
  • $x \in (2, +\infty)$: $f''(x)>0$, вогнутая.

  Точек перегиба нет.

• 7. Построение графика.

  График состоит из трех ветвей, разделенных вертикальными асимптотами $x=-4$ и $x=2$. Имеется горизонтальная асимптота $y=0$. Между асимптотами график имеет максимум в точке (-1, -1/9).

Ответ: Исследование функции $f(x) = \frac{1}{x^2+2x-8}$ показало: область определения - $(-\infty, -4) \cup (-4, 2) \cup (2, +\infty)$; функция общего вида; точка пересечения с осью Oy - (0, -1/8); вертикальные асимптоты $x=-4, x=2$, горизонтальная асимптота $y=0$; функция возрастает на $(-\infty, -4) \cup (-4, -1)$ и убывает на $(-1, 2) \cup (2, +\infty)$; точка локального максимума - (-1, -1/9); график вогнутый на $(-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$ и выпуклый на $(-4, 2)$; точек перегиба нет.

6) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 4}$

Проведем полное исследование функции.

• 1. Область определения.

  $x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$.

  $D(f) = (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

• 2. Четность и нечетность.

  $f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 4} = -\frac{x}{x^2 - 4} = -f(x)$.

  Функция является нечетной. График симметричен относительно начала координат.

• 3. Точки пересечения с осями координат.

  С осью Oy: $x=0 \implies y = 0$. Точка (0, 0).

  С осью Ox: $y=0 \implies x=0$. Точка (0, 0).

• 4. Асимптоты.

  Вертикальные асимптоты: $x=-2$ и $x=2$.

  Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2-4} = 0$. Горизонтальная асимптота $y=0$.

• 5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

  Первая производная: $f'(x) = \frac{1(x^2-4) - x(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{-x^2-4}{(x^2-4)^2} = -\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2}$.

  Поскольку $x^2+4 > 0$ и $(x^2-4)^2 > 0$ в области определения, $f'(x)$ всегда отрицательна. Функция убывает на каждом интервале своей области определения. Точек экстремума нет.

• 6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

  Вторая производная: $f''(x) = \frac{2x(x^2+12)}{(x^2-4)^3}$.

  Знак $f''(x)$ определяется знаком выражения $\frac{x}{(x^2-4)^3}$.

  Знаки второй производной:

  • $x \in (-\infty, -2)$: $f''(x)<0$, выпуклая.
  • $x \in (-2, 0)$: $f''(x)>0$, вогнутая.
  • $x \in (0, 2)$: $f''(x)<0$, выпуклая.
  • $x \in (2, +\infty)$: $f''(x)>0$, вогнутая.

  В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y_{перегиба} = f(0) = 0$. Точка перегиба (0, 0).

• 7. Построение графика.

  График состоит из трех ветвей, разделенных вертикальными асимптотами $x=-2$ и $x=2$. Он симметричен относительно начала координат и проходит через точку (0,0), которая является точкой перегиба. График асимптотически приближается к оси Ox при $x \to \pm\infty$.

Ответ: Исследование функции $f(x) = \frac{x}{x^2-4}$ показало: область определения - $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$; функция нечетная; точка пересечения с осями - (0, 0); вертикальные асимптоты $x=-2, x=2$, горизонтальная асимптота $y=0$; функция всегда убывает на всей области определения; точек экстремума нет; график выпуклый на $(-\infty, -2) \cup (0, 2)$ и вогнутый на $(-2, 0) \cup (2, +\infty)$; точка перегиба - (0, 0).