Номер 10, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

10. На рисунке 12 изображена часть графика функции $y = g(x)$, определённой на промежутке $[-5; 5]$. Достройте график этой функции, если она является:

1) чётной;

2) нечётной.

Рис. 12

Нам дан график функции $y = g(x)$ на промежутке $[-5; -2]$. Чтобы достроить его на всём промежутке $[-5; 5]$, мы воспользуемся определениями чётной и нечётной функций.

1) чётной

Чётная функция удовлетворяет условию $g(-x) = g(x)$ для всех $x$ из области определения. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Чтобы достроить график, нужно отразить заданную часть графика симметрично относительно оси OY. Каждая точка $(x, y)$ на известной части графика перейдёт в точку $(-x, y)$.

Ключевые точки заданной части графика:

• Начальная точка: $(-5, -2)$. Её симметричным отражением будет точка $(5, -2)$.
• Конечная точка: $(-2, 0)$. Её симметричным отражением будет точка $(2, 0)$.

Таким образом, мы достраиваем симметричную кривую на промежутке $[2, 5]$. Поскольку исходный график доходит до точки $(-2, 0)$ и не продолжается на интервале $(-2, 0)$, а достроенный начинается в точке $(2, 0)$, можно предположить, что на отрезке $[-2, 2]$ функция равна нулю. Это удовлетворяет условию чётности, так как $g(x)=0$ для $x \in [-2, 2]$ означает, что $g(-x)=0=g(x)$.

Итоговый график представлен на рисунке ниже. Исходная часть показана синим цветом, достроенная — красным.

Ответ: График функции достроен на рисунке.

2) нечётной

Нечётная функция удовлетворяет условию $g(-x) = -g(x)$ для всех $x$ из области определения. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$).

Чтобы достроить график, нужно отразить заданную часть графика симметрично относительно начала координат. Каждая точка $(x, y)$ на известной части графика перейдёт в точку $(-x, -y)$.

Ключевые точки заданной части графика:

• Начальная точка: $(-5, -2)$. Её симметричным отражением будет точка $(5, 2)$.
• Конечная точка: $(-2, 0)$. Её симметричным отражением будет точка $(2, 0)$.

Таким образом, мы достраиваем симметричную кривую на промежутке $[2, 5]$. Как и в предыдущем случае, на отрезке $[-2, 2]$ функция, скорее всего, равна нулю. Это удовлетворяет условию нечётности, так как $g(x)=0$ для $x \in [-2, 2]$ означает, что $g(-x)=0$ и $-g(x)=-0=0$. Также выполняется обязательное для нечётных функций свойство $g(0)=0$.

Итоговый график представлен на рисунке ниже. Исходная часть показана синим цветом, достроенная — красным.

Ответ: График функции достроен на рисунке.