Номер 11, страница 58 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. О функции $f$, определённой на множестве $\mathbf{R}$, известно, что $f(x) = x^2 - 4x$ при $x \ge 0$. Постройте график этой функции, если она является:

1) чётной;

2) нечётной.

Сначала построим график функции $f(x) = x^2 - 4x$ для $x \ge 0$.

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее ключевые точки:

• Вершина параболы: $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$. $y_0 = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$. Координаты вершины: $(2, -4)$.
• Точки пересечения с осью Ox (нули функции): $x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0$. Нули функции: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
• Точка пересечения с осью Oy: $f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 = 0$. Координаты: $(0, 0)$.

Таким образом, для $x \ge 0$ мы имеем часть параболы, которая начинается в точке $(0, 0)$, опускается до вершины в точке $(2, -4)$ и затем поднимается, проходя через точку $(4, 0)$.

Теперь рассмотрим два случая.

1) Функция является чётной

По определению, чётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = f(x)$ для любого $x$ из области определения. График чётной функции симметричен относительно оси Oy.

Чтобы построить график для $x < 0$, нужно отразить уже построенную часть графика для $x \ge 0$ симметрично относительно оси Oy.

Мы также можем найти аналитическое выражение для функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Используя свойство чётности:

$f(x) = f(-x) = (-x)^2 - 4(-x) = x^2 + 4x$.

Итак, при $x < 0$ функция задается формулой $f(x) = x^2 + 4x$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$, $y_0 = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4$. Координаты вершины: $(-2, -4)$. Нули функции: $x = 0$ и $x = -4$.

Итоговая функция для всего множества R:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & \text{при } x \ge 0 \\ x^2 + 4x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Это можно записать одной формулой: $f(x) = x^2 - 4|x|$.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол, симметричных относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ это часть параболы $y = x^2 - 4x$ с вершиной в точке $(2, -4)$, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$. Для $x < 0$ это часть параболы $y = x^2 + 4x$ с вершиной в точке $(-2, -4)$, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(-4, 0)$. График напоминает букву W.

2) Функция является нечётной

По определению, нечётная функция удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для любого $x$ из области определения. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$).

Чтобы построить график для $x < 0$, нужно отразить уже построенную часть графика для $x \ge 0$ симметрично относительно начала координат.

Найдем аналитическое выражение для функции при $x < 0$. Пусть $x < 0$, тогда $-x > 0$. Используя свойство нечётности:

$f(x) = -f(-x) = - ((-x)^2 - 4(-x)) = - (x^2 + 4x) = -x^2 - 4x$.

Итак, при $x < 0$ функция задается формулой $f(x) = -x^2 - 4x$. Это парабола с ветвями вниз, вершина которой находится в точке $x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$, $y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4$. Координаты вершины: $(-2, 4)$. Нули функции: $x = 0$ и $x = -4$.

Итоговая функция для всего множества R:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x, & \text{при } x \ge 0 \\ -x^2 - 4x, & \text{при } x < 0 \end{cases}$

Это можно записать одной формулой: $f(x) = x|x| - 4x$.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол, симметричных относительно начала координат. Для $x \ge 0$ это часть параболы $y = x^2 - 4x$ с ветвями вверх и вершиной в точке $(2, -4)$. Для $x < 0$ это часть параболы $y = -x^2 - 4x$ с ветвями вниз и вершиной в точке $(-2, 4)$. График проходит через точки $(-4, 0)$, $(0, 0)$ и $(4, 0)$.