Страница 57 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^2 - 6x + 5$ на промежутке:

1) $[0; 2];$

2) $[1; 4];$

3) $[4; 5].$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $y = x^2 - 6x + 5$ на заданных промежутках, необходимо сначала определить свойства этой функции. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Это означает, что в своей вершине парабола достигает глобального минимума.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_v$ для параболы $y = ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $a=1$, $b=-6$, $c=5$.

$x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

Ордината вершины (минимальное значение функции):

$y_v = y(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.

Теперь проанализируем каждый из заданных промежутков.

Абсцисса вершины $x_v = 3$ не попадает в промежуток $[0; 2]$. Поскольку вершина находится правее этого отрезка, на всем промежутке $[0; 2]$ функция является убывающей. Следовательно, наибольшее значение она принимает на левом конце отрезка (в точке $x=0$), а наименьшее — на правом (в точке $x=2$).

Вычислим значения функции на концах промежутка:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = 0^2 - 6 \cdot 0 + 5 = 5$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = 2^2 - 6 \cdot 2 + 5 = 4 - 12 + 5 = -3$.

Ответ: наибольшее значение 5, наименьшее значение -3.

Абсцисса вершины $x_v = 3$ принадлежит промежутку $[1; 4]$. Так как в этой точке находится минимум параболы, то наименьшее значение функции на данном отрезке будет именно в ней.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(3) = -4$.

Наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка $[1; 4]$. Найдем значения функции в этих точках и сравним их.

$y(1) = 1^2 - 6 \cdot 1 + 5 = 1 - 6 + 5 = 0$.

$y(4) = 4^2 - 6 \cdot 4 + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$.

Сравнивая полученные значения ($0$ и $-3$), заключаем, что наибольшее значение равно $0$.

Ответ: наибольшее значение 0, наименьшее значение -4.

Абсцисса вершины $x_v = 3$ не попадает в промежуток $[4; 5]$. Поскольку вершина находится левее этого отрезка, на всем промежутке $[4; 5]$ функция является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка (в точке $x=4$), а наибольшее — на правом (в точке $x=5$).

Вычислим значения функции на концах промежутка:

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(4) = 4^2 - 6 \cdot 4 + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(5) = 5^2 - 6 \cdot 5 + 5 = 25 - 30 + 5 = 0$.

Ответ: наибольшее значение 0, наименьшее значение -3.

7. Докажите, что является чётной функция:

1) $f(x) = 41$;

2) $f(x) = -11x^{10} + 54x^6 - 12$;

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 15}$;

4) $f(x) = \sqrt{35 - x} + \sqrt{35 + x}$;

5) $f(x) = \frac{x^2}{|x|} - 2$;

6) $f(x) = \frac{|x + 17| - |x - 17|}{x}$.

Функция $f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения ($D(f)$) выполняются два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно нуля (если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

1) $f(x) = 41$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$. Так как функция является постоянной (константой), её значение не зависит от аргумента: $f(-x) = 41$.

3. Сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$: $f(-x) = 41$ и $f(x) = 41$. Таким образом, $f(-x) = f(x)$.

Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

2) $f(x) = -11x^{10} + 54x^6 - 12$

1. Область определения данной многочленной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, что является симметричным множеством относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$:
$f(-x) = -11(-x)^{10} + 54(-x)^6 - 12$.
Поскольку показатели степеней 10 и 6 являются чётными числами, то $(-x)^{10} = x^{10}$ и $(-x)^6 = x^6$.
Следовательно, $f(-x) = -11x^{10} + 54x^6 - 12$.

3. Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$.

Оба условия выполнены, значит, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 15}$

1. Найдём область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x^2 - 15 \ge 0 \implies x^2 \ge 15 \implies |x| \ge \sqrt{15}$.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; -\sqrt{15}] \cup [\sqrt{15}; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 15} = \sqrt{x^2 - 15}$.

3. Сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$: $f(-x) = \sqrt{x^2 - 15} = f(x)$.

Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

4) $f(x) = \sqrt{35 - x} + \sqrt{35 + x}$

1. Найдём область определения. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 35 - x \ge 0 \\ 35 + x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 35 \\ x \ge -35 \end{cases} \implies -35 \le x \le 35$.
Таким образом, $D(f) = [-35; 35]$. Этот отрезок симметричен относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{35 - (-x)} + \sqrt{35 + (-x)} = \sqrt{35 + x} + \sqrt{35 - x}$.

3. Сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$. Так как сложение коммутативно (от перемены мест слагаемых сумма не меняется), то $\sqrt{35 + x} + \sqrt{35 - x} = \sqrt{35 - x} + \sqrt{35 + x}$.
Следовательно, $f(-x) = f(x)$.

Оба условия выполнены, значит, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

5) $f(x) = \frac{x^2}{|x|} - 2$

1. Найдём область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$|x| \ne 0 \implies x \ne 0$.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{(-x)^2}{|-x|} - 2$.
Используя свойства чётной степени и модуля, имеем $(-x)^2 = x^2$ и $|-x| = |x|$.
Значит, $f(-x) = \frac{x^2}{|x|} - 2$.

3. Сравнивая выражения, получаем $f(-x) = f(x)$.

Оба условия выполнены, следовательно, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

6) $f(x) = \frac{|x+17|-|x-17|}{x}$

1. Найдём область определения. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $x \ne 0$.
Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.

2. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{|-x+17|-|-x-17|}{-x} = \frac{|-(x-17)|-|-(x+17)|}{-x}$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, преобразуем числитель:
$|-(x-17)| = |x-17|$ и $|-(x+17)| = |x+17|$.
Тогда $f(-x) = \frac{|x-17|-|x+17|}{-x}$.
Вынесем знак минус в числителе: $|x-17|-|x+17| = -(|x+17|-|x-17|)$.
Получаем $f(-x) = \frac{-(|x+17|-|x-17|)}{-x} = \frac{|x+17|-|x-17|}{x}$.

3. Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$.

Оба условия выполнены, значит, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

8. Докажите, что является нечётной функция:

1) $f(x) = -5x^7 - 9x$

2) $f(x) = \frac{7x^3 - 4x}{3x^2 + 4}$

3) $f(x) = \frac{6}{8 + 7x} - \frac{6}{8 - 7x}$

4) $f(x) = \sqrt{8 - x} - \sqrt{8 + x}$

5) $f(x) = x + \frac{x}{|x|}$

6) $f(x) = \frac{7x^2}{|x + 17| - |x - 17|}$

Функция $f(x)$ называется нечётной, если её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$), и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

1) $f(x) = -5x^7 - 9x$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = -5(-x)^7 - 9(-x) = -5(-x^7) + 9x = 5x^7 + 9x$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -(-5x^7 - 9x) = 5x^7 + 9x$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

2) $f(x) = \frac{7x^3 - 4x}{3x^2 + 4}$

Знаменатель $3x^2 + 4 > 0$ при любом значении $x$. Следовательно, область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{7(-x)^3 - 4(-x)}{3(-x)^2 + 4} = \frac{-7x^3 + 4x}{3x^2 + 4}$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -\frac{7x^3 - 4x}{3x^2 + 4} = \frac{-(7x^3 - 4x)}{3x^2 + 4} = \frac{-7x^3 + 4x}{3x^2 + 4}$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

3) $f(x) = \frac{6}{8 + 7x} - \frac{6}{8 - 7x}$

Область определения функции задаётся условиями $8 + 7x \neq 0$ и $8 - 7x \neq 0$, то есть $x \neq -8/7$ и $x \neq 8/7$. Область определения $D(f) = (-\infty; -8/7) \cup (-8/7; 8/7) \cup (8/7; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{6}{8 + 7(-x)} - \frac{6}{8 - 7(-x)} = \frac{6}{8 - 7x} - \frac{6}{8 + 7x}$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -(\frac{6}{8 + 7x} - \frac{6}{8 - 7x}) = -\frac{6}{8 + 7x} + \frac{6}{8 - 7x} = \frac{6}{8 - 7x} - \frac{6}{8 + 7x}$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

4) $f(x) = \sqrt{8 - x} - \sqrt{8 + x}$

Область определения функции задаётся системой неравенств: $\begin{cases} 8 - x \ge 0 \\ 8 + x \ge 0 \end{cases}$, что равносильно $\begin{cases} x \le 8 \\ x \ge -8 \end{cases}$. Таким образом, $D(f) = [-8; 8]$. Эта область симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt{8 - (-x)} - \sqrt{8 + (-x)} = \sqrt{8 + x} - \sqrt{8 - x}$.

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -(\sqrt{8 - x} - \sqrt{8 + x}) = -\sqrt{8 - x} + \sqrt{8 + x} = \sqrt{8 + x} - \sqrt{8 - x}$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

5) $f(x) = x + \frac{x}{|x|}$

Область определения функции задаётся условием $|x| \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = (-x) + \frac{-x}{|-x|} = -x - \frac{x}{|x|}$ (так как $|-x| = |x|$).

Теперь найдём $-f(x)$:

$-f(x) = -(x + \frac{x}{|x|}) = -x - \frac{x}{|x|}$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

6) $f(x) = \frac{7x^2}{|x+17| - |x-17|}$

Область определения функции задаётся условием $|x+17| - |x-17| \neq 0$, то есть $|x+17| \neq |x-17|$. Это неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до точки $-17$ не равно расстоянию от точки $x$ до точки $17$. Единственная точка, для которой эти расстояния равны, это середина отрезка $[-17, 17]$, то есть $x=0$. Значит, область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.

Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{7(-x)^2}{|(-x)+17| - |(-x)-17|} = \frac{7x^2}{|17-x| - |-x-17|} = \frac{7x^2}{|x-17| - |x+17|}$ (так как $|a| = |-a|$).

Вынесем минус из знаменателя:

$f(-x) = \frac{7x^2}{-(|x+17| - |x-17|)} = -\frac{7x^2}{|x+17| - |x-17|} = -f(x)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: Доказано, что функция является нечётной.

9. Исследуйте на чётность функцию:

1) $f(x) = 10x^{11};$

2) $f(x) = -2x^2 - 6x + 7;$

3) $f(x) = x^5 - 7x^3 - 4;$

4) $f(x) = \frac{5}{x^4 + 4x^2};$

5) $f(x) = \sqrt{x^2 - 16};$

6) $f(x) = (x+1)^6 + (x-1)^6;$

7) $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2}{4x - 12};$

8) $f(x) = (x-5)(x+4) + x;$

9) $f(x) = (x-9)|x+8| + (x+9)|x-8|;$

10) $f(x) = \frac{5x+4}{x^2 - 3x + 9} - \frac{5x-4}{x^2 + 3x + 9};$

1) Для функции $f(x) = 10x^{11}$ область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = 10(-x)^{11} = 10(-x^{11}) = -10x^{11}$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

2) Для функции $f(x) = -2x^2 - 6x + 7$ область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = -2(-x)^2 - 6(-x) + 7 = -2x^2 + 6x + 7$.
Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) \neq f(x)$, так как $-2x^2 + 6x + 7 \neq -2x^2 - 6x + 7$.
$f(-x) \neq -f(x)$, так как $-2x^2 + 6x + 7 \neq -(-2x^2 - 6x + 7) = 2x^2 + 6x - 7$.
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

3) Для функции $f(x) = x^5 - 7x^3 - 4$ область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^5 - 7(-x)^3 - 4 = -x^5 - 7(-x^3) - 4 = -x^5 + 7x^3 - 4$.
Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:
$f(-x) \neq f(x)$, так как $-x^5 + 7x^3 - 4 \neq x^5 - 7x^3 - 4$.
$f(-x) \neq -f(x)$, так как $-x^5 + 7x^3 - 4 \neq -(x^5 - 7x^3 - 4) = -x^5 + 7x^3 + 4$.
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

4) Для функции $f(x) = \frac{5}{x^4 + 4x^2}$ найдем область определения. Знаменатель не должен равняться нулю: $x^4 + 4x^2 = x^2(x^2 + 4) \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{5}{(-x)^4 + 4(-x)^2} = \frac{5}{x^4 + 4x^2}$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

5) Для функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 16}$ найдем область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 16 \ge 0$, что равносильно $x^2 \ge 16$, или $|x| \ge 4$. Область определения $D(f) = (-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$ симметрична относительно нуля.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \sqrt{(-x)^2 - 16} = \sqrt{x^2 - 16}$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

6) Для функции $f(x) = (x + 1)^6 + (x - 1)^6$ область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x + 1)^6 + (-x - 1)^6 = (1 - x)^6 + (-(x + 1))^6$.
Поскольку степень четная, $(1 - x)^6 = (-(x-1))^6 = (x-1)^6$ и $(-(x + 1))^6 = (x + 1)^6$.
Тогда $f(-x) = (x - 1)^6 + (x + 1)^6 = f(x)$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

7) Для функции $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2}{4x - 12}$ найдем область определения. Знаменатель не должен равняться нулю: $4x - 12 \neq 0$, откуда $x \neq 3$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.
Эта область не является симметричной относительно нуля (например, $-3 \in D(f)$, а $3 \notin D(f)$).
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: ни четная, ни нечетная.

8) Для функции $f(x) = (x - 5)(x + 4) + x$ область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Упростим выражение:
$f(x) = (x^2 + 4x - 5x - 20) + x = x^2 - x - 20 + x = x^2 - 20$.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x)^2 - 20 = x^2 - 20$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.

9) Для функции $f(x) = (x - 9)|x + 8| + (x + 9)|x - 8|$ область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = (-x - 9)|-x + 8| + (-x + 9)|-x - 8|$.
Используя свойство модуля $|a| = |-a|$, имеем $|-x + 8| = |x - 8|$ и $|-x - 8| = |x + 8|$.
$f(-x) = (-x - 9)|x - 8| + (9 - x)|x + 8| = -(x + 9)|x - 8| - (x - 9)|x + 8|$.
$f(-x) = -((x - 9)|x + 8| + (x + 9)|x - 8|) = -f(x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.
Ответ: нечетная.

10) Для функции $f(x) = \frac{5x + 4}{x^2 - 3x + 9} - \frac{5x - 4}{x^2 + 3x + 9}$ найдем область определения. Дискриминант обоих знаменателей $x^2 - 3x + 9$ и $x^2 + 3x + 9$ отрицателен ($D = 9 - 36 = -27$), поэтому они никогда не равны нулю. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Найдем $f(-x)$:
$f(-x) = \frac{5(-x) + 4}{(-x)^2 - 3(-x) + 9} - \frac{5(-x) - 4}{(-x)^2 + 3(-x) + 9} = \frac{-5x + 4}{x^2 + 3x + 9} - \frac{-5x - 4}{x^2 - 3x + 9}$.
$f(-x) = \frac{-(5x - 4)}{x^2 + 3x + 9} - \frac{-(5x + 4)}{x^2 - 3x + 9} = \frac{5x + 4}{x^2 - 3x + 9} - \frac{5x - 4}{x^2 + 3x + 9}$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.
Ответ: четная.