Страница 55 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Проведем полное исследование функции для построения графика.

1. Область определения.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Область определения функции $D(f) = [0, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

Область определения не является симметричной относительно нуля, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0$, $f(0) = 0 - \sqrt{0} = 0$. Точка $(0, 0)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0$, $x - \sqrt{x} = 0 \Rightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)=0$. Отсюда $\sqrt{x}=0$ или $\sqrt{x}=1$. Получаем $x=0$ и $x=1$. Точки $(0, 0)$ и $(1, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей области определения.

Проверим наличие наклонных асимптот вида $y=kx+b$ при $x \to +\infty$.

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x - \sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 - \frac{\sqrt{x}}{x}) = \lim_{x \to +\infty} (1 - \frac{1}{\sqrt{x}}) = 1 - 0 = 1$.

$b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x} - 1 \cdot x) = \lim_{x \to +\infty} (-\sqrt{x}) = -\infty$.

Так как предел для $b$ бесконечен, наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную: $f'(x) = (x - \sqrt{x})' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \Rightarrow 2\sqrt{x} = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{1}{4}$.

Производная не определена при $x=0$, что является граничной точкой области определения.

Исследуем знак производной на интервалах $(0, \frac{1}{4})$ и $(\frac{1}{4}, +\infty)$.

При $x \in (0, \frac{1}{4})$, например $x=0.01$, $f'(0.01) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{0.01}} = 1 - \frac{1}{0.2} = 1 - 5 = -4 < 0$. Функция убывает.

При $x \in (\frac{1}{4}, +\infty)$, например $x=1$, $f'(1) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{1}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} > 0$. Функция возрастает.

В точке $x=\frac{1}{4}$ происходит смена знака производной с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума.

Значение функции в точке минимума: $f(\frac{1}{4}) = \frac{1}{4} - \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

Точка минимума: $(\frac{1}{4}, -\frac{1}{4})$.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $f''(x) = (1 - \frac{1}{2}x^{-1/2})' = -\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})x^{-3/2} = \frac{1}{4x\sqrt{x}}$.

На всей области определения $x > 0$, $f''(x) > 0$. Следовательно, график функции является вогнутым (выпуклым вниз) на всем интервале $(0, +\infty)$. Точек перегиба нет.

7. Построение графика.

На основе исследования строим график:

• График начинается в точке (0, 0).
• Убывает до точки минимума $(\frac{1}{4}, -\frac{1}{4})$.
• Возрастает, пересекая ось Ox в точке (1, 0), и уходит в $+\infty$.
• График всегда вогнутый (выпуклый вниз).

Ответ: Исследование функции проведено. График функции $f(x) = x - \sqrt{x}$ начинается в точке (0,0), имеет точку минимума в $(\frac{1}{4}, -\frac{1}{4})$, пересекает ось абсцисс в точке (1,0) и возрастает на интервале $(\frac{1}{4}, +\infty)$, будучи вогнутым на всей области определения.

Проведем полное исследование функции для построения графика.

1. Область определения.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.

Область определения функции $D(f) = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

$f(-x) = \frac{(-x)^2}{-x-2} = \frac{x^2}{-(x+2)} = -\frac{x^2}{x+2}$.

Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0$, $f(0) = \frac{0^2}{0-2} = 0$. Точка $(0, 0)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0$, $\frac{x^2}{x-2} = 0 \Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0$. Точка $(0, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: $x=2$.

$\lim_{x \to 2-} \frac{x^2}{x-2} = \frac{4}{0-} = -\infty$.

$\lim_{x \to 2+} \frac{x^2}{x-2} = \frac{4}{0+} = +\infty$.

Прямая $x=2$ является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота вида $y=kx+b$:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x(x-2)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2-2x} = 1$.

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{x^2}{x-2} - x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - x(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - x^2 + 2x}{x-2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{x-2} = 2$.

Прямая $y=x+2$ является наклонной асимптотой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную: $f'(x) = (\frac{x^2}{x-2})' = \frac{2x(x-2) - x^2 \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{2x^2-4x-x^2}{(x-2)^2} = \frac{x^2-4x}{(x-2)^2} = \frac{x(x-4)}{(x-2)^2}$.

Критические точки: $f'(x)=0 \Rightarrow x(x-4)=0 \Rightarrow x=0, x=4$.

Исследуем знак производной. Знаменатель $(x-2)^2$ всегда положителен.

При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

При $x \in (0, 2)$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

При $x \in (2, 4)$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

При $x \in (4, +\infty)$, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

Точка $x=0$ - точка локального максимума. $f(0)=0$. Точка максимума $(0, 0)$.

Точка $x=4$ - точка локального минимума. $f(4)=\frac{4^2}{4-2} = \frac{16}{2}=8$. Точка минимума $(4, 8)$.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $f''(x) = (\frac{x^2-4x}{(x-2)^2})' = \frac{(2x-4)(x-2)^2 - (x^2-4x) \cdot 2(x-2)}{(x-2)^4} = \frac{(2x-4)(x-2) - 2(x^2-4x)}{(x-2)^3} = \frac{2x^2-4x-4x+8 - 2x^2+8x}{(x-2)^3} = \frac{8}{(x-2)^3}$.

$f''(x) \neq 0$ нигде. Знак второй производной зависит от знака $(x-2)^3$.

При $x \in (-\infty, 2)$, $f''(x) < 0$. График выпуклый вверх (выпуклый).

При $x \in (2, +\infty)$, $f''(x) > 0$. График выпуклый вниз (вогнутый).

Точек перегиба нет, так как в точке $x=2$ функция не определена.

7. Построение графика.

На основе исследования строим график:

• Асимптоты: вертикальная $x=2$ и наклонная $y=x+2$.
• Левая ветвь (при $x < 2$): возрастает от асимптоты $y=x+2$ до точки максимума $(0,0)$, затем убывает к $-\infty$ вдоль асимптоты $x=2$. Ветвь выпуклая.
• Правая ветвь (при $x > 2$): убывает от $+\infty$ вдоль асимптоты $x=2$ до точки минимума $(4,8)$, затем возрастает к асимптоте $y=x+2$. Ветвь вогнутая.

Ответ: Исследование функции проведено. График имеет две ветви, разделенные вертикальной асимптотой $x=2$. Существует наклонная асимптота $y=x+2$. Локальный максимум в точке $(0,0)$, локальный минимум в точке $(4,8)$.

Проведем полное исследование функции для построения графика.

1. Область определения.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $4-x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 4 \Rightarrow -2 \le x \le 2$.

Область определения функции $D(f) = [-2, 2]$.

2. Четность и нечетность.

$f(-x) = (-x)\sqrt{4-(-x)^2} = -x\sqrt{4-x^2} = -f(x)$.

Функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0$, $f(0) = 0\sqrt{4-0} = 0$. Точка $(0, 0)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0$, $x\sqrt{4-x^2} = 0 \Rightarrow x=0$ или $\sqrt{4-x^2}=0$. Отсюда $x=0, x=2, x=-2$. Точки $(-2, 0)$, $(0, 0)$, $(2, 0)$.

4. Асимптоты.

Так как область определения - замкнутый отрезок, асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную: $f'(x) = (x\sqrt{4-x^2})' = 1 \cdot \sqrt{4-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}} = \sqrt{4-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-x^2-x^2}{\sqrt{4-x^2}} = \frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}$.

Производная определена на интервале $(-2, 2)$.

Критические точки: $f'(x)=0 \Rightarrow 4-2x^2=0 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$.

Исследуем знак производной. Знаменатель $\sqrt{4-x^2}$ положителен.

При $x \in (-2, -\sqrt{2})$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

При $x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

При $x \in (\sqrt{2}, 2)$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

Точка $x=-\sqrt{2}$ - точка локального минимума. $f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2}\sqrt{4-2} = -2$. Точка минимума $(-\sqrt{2}, -2)$.

Точка $x=\sqrt{2}$ - точка локального максимума. $f(\sqrt{2}) = \sqrt{2}\sqrt{4-2} = 2$. Точка максимума $(\sqrt{2}, 2)$.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $f''(x) = (\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}})' = \frac{-4x\sqrt{4-x^2} - (4-2x^2)\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}}{4-x^2} = \frac{-4x(4-x^2) + x(4-2x^2)}{(4-x^2)\sqrt{4-x^2}} = \frac{-16x+4x^3+4x-2x^3}{(4-x^2)^{3/2}} = \frac{2x^3-12x}{(4-x^2)^{3/2}} = \frac{2x(x^2-6)}{(4-x^2)^{3/2}}$.

$f''(x)=0 \Rightarrow 2x(x^2-6)=0$. Так как $x^2-6=0$ дает $x=\pm\sqrt{6}$ (не входят в область определения), то единственная точка, где вторая производная равна нулю - это $x=0$.

На интервале $(-2, 2)$ выражение $x^2-6$ всегда отрицательно, а знаменатель всегда положителен. Знак $f''(x)$ зависит только от знака $x$.

При $x \in (-2, 0)$, $f''(x) > 0$. График вогнутый (выпуклый вниз).

При $x \in (0, 2)$, $f''(x) < 0$. График выпуклый (выпуклый вверх).

Точка $x=0$ - точка перегиба. $f(0)=0$. Точка перегиба $(0, 0)$.

7. Построение графика.

На основе исследования строим график:

• График определен на отрезке $[-2, 2]$. Он симметричен относительно начала координат.
• Точки пересечения с осями: $(-2, 0), (0, 0), (2, 0)$.
• От точки $(-2, 0)$ функция убывает до точки минимума $(-\sqrt{2}, -2)$.
• Затем возрастает, проходя через точку перегиба $(0, 0)$, до точки максимума $(\sqrt{2}, 2)$.
• Затем убывает до точки $(2, 0)$.
• На интервале $(-2, 0)$ график вогнутый, на $(0, 2)$ — выпуклый.

Ответ: Исследование функции проведено. График функции представляет собой замкнутую кривую, расположенную на отрезке $x \in [-2, 2]$. Функция нечетная, симметричная относительно начала координат. Точки экстремумов: минимум в $(-\sqrt{2}, -2)$ и максимум в $(\sqrt{2}, 2)$. Точка перегиба в $(0,0)$.