Страница 49 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

279. Касательная к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет угловой коэффициент $k$. Найдите $x_0$, если:

1) $f(x) = x^5, k = \frac{1}{125}$;

2) $f(x) = \sqrt[6]{x}, k = \frac{1}{6}$;

3) $f(x) = \cos x, k = -\frac{1}{2}$.

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. Для нахождения $x_0$ необходимо найти производную $f'(x)$, приравнять её к заданному значению $k$ и решить полученное уравнение.

1) Дана функция $f(x) = x^5$ и угловой коэффициент $k = \frac{1}{125}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^5)' = 5x^4$.

Теперь составим и решим уравнение $f'(x_0) = k$:

$5x_0^4 = \frac{1}{125}$

Разделим обе части на 5:

$x_0^4 = \frac{1}{125 \cdot 5} = \frac{1}{625}$

Так как $625 = 5^4$, уравнение принимает вид:

$x_0^4 = (\frac{1}{5})^4$

Это уравнение имеет два действительных корня:

$x_0 = \frac{1}{5}$ и $x_0 = -\frac{1}{5}$.

Ответ: $x_0 = \pm\frac{1}{5}$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt[6]{x}$ и угловой коэффициент $k = \frac{1}{6}$.

Представим функцию в виде степени для удобства дифференцирования: $f(x) = x^{\frac{1}{6}}$.

Найдем производную функции (при $x > 0$):

$f'(x) = (x^{\frac{1}{6}})' = \frac{1}{6}x^{\frac{1}{6}-1} = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}$.

Составим и решим уравнение $f'(x_0) = k$:

$\frac{1}{6\sqrt[6]{x_0^5}} = \frac{1}{6}$

Из равенства дробей следует равенство их знаменателей:

$6\sqrt[6]{x_0^5} = 6$

$\sqrt[6]{x_0^5} = 1$

Возведем обе части уравнения в шестую степень:

$x_0^5 = 1^6$

$x_0^5 = 1$

Отсюда получаем единственный действительный корень $x_0 = 1$.

Ответ: $x_0 = 1$.

3) Дана функция $f(x) = \cos x$ и угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Составим и решим уравнение $f'(x_0) = k$:

$-\sin x_0 = -\frac{1}{2}$

$\sin x_0 = \frac{1}{2}$

Это простейшее тригонометрическое уравнение. Его общее решение имеет вид:

$x_0 = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Так как $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, то получаем:

$x_0 = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x_0 = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

280. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = \frac{1}{t^2}$. Найдите $s'(6)$. Какой механический смысл имеет найденная величина?

Найдите s'(6)

Закон движения материальной точки задан функцией $s(t) = \frac{1}{t^2}$. Для того чтобы найти значение $s'(6)$, сначала необходимо найти производную функции $s(t)$ по времени $t$.

Для удобства дифференцирования представим функцию $s(t)$ в виде степенной функции: $s(t) = t^{-2}$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$: $s'(t) = (t^{-2})' = -2 \cdot t^{-2-1} = -2t^{-3}$.

Запишем полученную производную в виде дроби: $s'(t) = -\frac{2}{t^3}$.

Подставим значение $t=6$ в выражение для производной, чтобы найти $s'(6)$: $s'(6) = -\frac{2}{6^3} = -\frac{2}{216}$.

Сократим полученную дробь на 2: $s'(6) = -\frac{1}{108}$.

Ответ: $s'(6) = -\frac{1}{108}$.

Какой механический смысл имеет найденная величина?

Механический (или физический) смысл производной от закона движения по времени заключается в том, что она определяет мгновенную скорость движения объекта в данный момент времени.

В нашей задаче $s(t)$ — это координата точки в момент времени $t$. Следовательно, производная $s'(t)$ — это мгновенная скорость точки $v(t)$ в момент времени $t$.

Таким образом, найденная величина $s'(6) = -\frac{1}{108}$ является мгновенной скоростью материальной точки в момент времени $t=6$. Отрицательное значение скорости означает, что в этот момент точка движется в отрицательном направлении координатной прямой.

Ответ: Найденная величина — это мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t=6$.

281. Найдите производную функции:

1) $y = 3x^7 - 6x^5 - 4x^2 + 17;$

2) $y = \frac{1}{3}x^6 - 8\sqrt{x} + 2x;$

3) $y = x - \frac{4}{x};$

4) $y = \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3};$

5) $y = \frac{x^3}{3} + \sqrt{3}\sin x - \cos\frac{\pi}{3} - 3x^2;$

6) $y = \text{tg}x + \text{ctg}x.$

1) Найдём производную функции $y = 3x^7 - 6x^5 - 4x^2 + 17$.
Используем правило дифференцирования суммы/разности функций, формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило, что производная константы равна нулю, $(C)'=0$.
$y' = (3x^7 - 6x^5 - 4x^2 + 17)' = (3x^7)' - (6x^5)' - (4x^2)' + (17)'$
$y' = 3 \cdot 7x^{7-1} - 6 \cdot 5x^{5-1} - 4 \cdot 2x^{2-1} + 0$
$y' = 21x^6 - 30x^4 - 8x$
Ответ: $y' = 21x^6 - 30x^4 - 8x$.

2) Найдём производную функции $y = \frac{1}{3}x^6 - 8\sqrt{x} + 2x$.
Представим $\sqrt{x}$ в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Функция примет вид: $y = \frac{1}{3}x^6 - 8x^{1/2} + 2x$.
Применяем правило дифференцирования суммы/разности и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$y' = (\frac{1}{3}x^6 - 8x^{1/2} + 2x)' = (\frac{1}{3}x^6)' - (8x^{1/2})' + (2x)'$
$y' = \frac{1}{3} \cdot 6x^{6-1} - 8 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} + 2 \cdot 1x^{1-1}$
$y' = 2x^5 - 4x^{-1/2} + 2$
Запишем результат, используя корень:
$y' = 2x^5 - \frac{4}{\sqrt{x}} + 2$
Ответ: $y' = 2x^5 - \frac{4}{\sqrt{x}} + 2$.

3) Найдём производную функции $y = x - \frac{4}{x}$.
Представим $\frac{4}{x}$ в виде степени: $\frac{4}{x} = 4x^{-1}$. Функция примет вид: $y = x - 4x^{-1}$.
Дифференцируем по правилу производной степенной функции:
$y' = (x - 4x^{-1})' = (x)' - (4x^{-1})'$
$y' = 1 - 4 \cdot (-1)x^{-1-1} = 1 + 4x^{-2}$
$y' = 1 + \frac{4}{x^2}$
Ответ: $y' = 1 + \frac{4}{x^2}$.

4) Найдём производную функции $y = \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3}$.
Представим функцию в виде суммы степеней: $y = 2x^{-2} - 3x^{-3}$.
Дифференцируем каждый член:
$y' = (2x^{-2} - 3x^{-3})' = (2x^{-2})' - (3x^{-3})'$
$y' = 2 \cdot (-2)x^{-2-1} - 3 \cdot (-3)x^{-3-1}$
$y' = -4x^{-3} + 9x^{-4}$
Запишем результат в виде дробей:
$y' = -\frac{4}{x^3} + \frac{9}{x^4}$
Ответ: $y' = -\frac{4}{x^3} + \frac{9}{x^4}$.

5) Найдём производную функции $y = \frac{x^3}{3} + \sqrt{3}\sin x - \cos\frac{\pi}{3} - 3x^2$.
Для нахождения производной будем использовать правила дифференцирования суммы/разности, производную степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, производную синуса $(\sin x)' = \cos x$ и правило, что производная константы равна нулю. Обратите внимание, что $\cos\frac{\pi}{3}$ является константой (равна $\frac{1}{2}$), поэтому ее производная равна 0.
$y' = (\frac{x^3}{3})' + (\sqrt{3}\sin x)' - (\cos\frac{\pi}{3})' - (3x^2)'$
$y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + \sqrt{3} \cdot \cos x - 0 - 3 \cdot 2x^{2-1}$
$y' = x^2 + \sqrt{3}\cos x - 6x$
Ответ: $y' = x^2 + \sqrt{3}\cos x - 6x$.

6) Найдём производную функции $y = \tan x + \cot x$.
Используем формулы производных тригонометрических функций: $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
$y' = (\tan x + \cot x)' = (\tan x)' + (\cot x)'$
$y' = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}$
Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}$.

282. Найдите производную функции:

1) $y = (x^3 - 2)(x^2 + 1)$;

2) $y = \sqrt{x}(3x^2 + 2)$;

3) $y = (\sqrt{x} + 1)(3 - 2\sqrt{x})$;

4) $y = (x^2 - 3x + 1)(x^4 - 3x + 2)$;

5) $y = x^2 \cos x$;

6) $y = 3x \operatorname{tg} x$.

1) Для нахождения производной функции $y = (x^3 - 2)(x^2 + 1)$ воспользуемся правилом производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x^3 - 2$ и $v = x^2 + 1$.

Найдем производные этих функций:

$u' = (x^3 - 2)' = 3x^2$

$v' = (x^2 + 1)' = 2x$

Теперь подставим найденные производные в формулу:

$y' = u'v + uv' = (3x^2)(x^2 + 1) + (x^3 - 2)(2x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y' = 3x^4 + 3x^2 + 2x^4 - 4x = 5x^4 + 3x^2 - 4x$

Ответ: $y' = 5x^4 + 3x^2 - 4x$

2) Для функции $y = \sqrt{x}(3x^2 + 2)$ также используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = \sqrt{x} = x^{1/2}$ и $v = 3x^2 + 2$.

Найдем их производные:

$u' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v' = (3x^2 + 2)' = 6x$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = (\frac{1}{2\sqrt{x}})(3x^2 + 2) + (\sqrt{x})(6x)$

Упростим полученное выражение:

$y' = \frac{3x^2}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{2\sqrt{x}} + 6x\sqrt{x} = \frac{3}{2}x^{3/2} + \frac{1}{\sqrt{x}} + 6x^{3/2}$

$y' = (\frac{3}{2} + 6)x^{3/2} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{15}{2}x^{3/2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{15}{2}x^{3/2} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

3) Для функции $y = (\sqrt{x} + 1)(3 - 2\sqrt{x})$ сначала упростим выражение, раскрыв скобки.

$y = \sqrt{x} \cdot 3 - \sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x} + 1 \cdot 3 - 1 \cdot 2\sqrt{x}$

$y = 3\sqrt{x} - 2x + 3 - 2\sqrt{x}$

$y = \sqrt{x} - 2x + 3$

Теперь найдем производную полученной функции, представив $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:

$y' = (x^{1/2} - 2x + 3)' = (x^{1/2})' - (2x)' + (3)'$

$y' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 2 + 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2$

Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 2$

4) Для функции $y = (x^2 - 3x + 1)(x^4 - 3x + 2)$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x^2 - 3x + 1$ и $v = x^4 - 3x + 2$.

Найдем их производные:

$u' = (x^2 - 3x + 1)' = 2x - 3$

$v' = (x^4 - 3x + 2)' = 4x^3 - 3$

Подставляем в формулу:

$y' = (2x - 3)(x^4 - 3x + 2) + (x^2 - 3x + 1)(4x^3 - 3)$

Раскроем скобки:

$y' = (2x^5 - 6x^2 + 4x - 3x^4 + 9x - 6) + (4x^5 - 3x^2 - 12x^4 + 9x + 4x^3 - 3)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$y' = (2x^5+4x^5) + (-3x^4-12x^4) + 4x^3 + (-6x^2-3x^2) + (4x+9x+9x) + (-6-3)$

$y' = 6x^5 - 15x^4 + 4x^3 - 9x^2 + 22x - 9$

Ответ: $y' = 6x^5 - 15x^4 + 4x^3 - 9x^2 + 22x - 9$

5) Для функции $y = x^2 \cos x$ применяем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u = x^2$ и $v = \cos x$.

Их производные:

$u' = (x^2)' = 2x$

$v' = (\cos x)' = -\sin x$

Подставляем в формулу:

$y' = u'v + uv' = (2x)(\cos x) + (x^2)(-\sin x)$

$y' = 2x \cos x - x^2 \sin x$

Ответ: $y' = 2x \cos x - x^2 \sin x$

6) Для функции $y = 3x \operatorname{tg} x$ вынесем константу 3 за знак производной и применим правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

$y' = 3 \cdot (x \operatorname{tg} x)'$

Пусть $u = x$ и $v = \operatorname{tg} x$.

Их производные:

$u' = (x)' = 1$

$v' = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Найдем производную произведения $x \operatorname{tg} x$:

$(x \operatorname{tg} x)' = u'v + uv' = (1)(\operatorname{tg} x) + (x)(\frac{1}{\cos^2 x}) = \operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x}$

Теперь умножим результат на 3:

$y' = 3(\operatorname{tg} x + \frac{x}{\cos^2 x}) = 3\operatorname{tg} x + \frac{3x}{\cos^2 x}$

Ответ: $y' = 3\operatorname{tg} x + \frac{3x}{\cos^2 x}$

283. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{3x - 7}{5 - 2x}$;

2) $y = \frac{x^2 + 5x}{x - 3}$;

3) $y = \frac{x - 1}{\sqrt{x}}技术服务，请联系邮箱：support@chatmind.tech$;

4) $y = \frac{\sqrt{x}}{4x - 1}$;

5) $y = \frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}$;

6) $y = \frac{3 \cos x}{x^3}$.

1)Для нахождения производной функции $y = \frac{3x-7}{5-2x}$ используется правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В данном случае, $u = 3x-7$ и $v = 5-2x$.
Найдем производные $u'$ и $v'$:
$u' = (3x-7)' = 3$
$v' = (5-2x)' = -2$
Подставим эти значения в формулу производной частного:
$y' = \frac{3(5-2x) - (3x-7)(-2)}{(5-2x)^2} = \frac{15 - 6x - (-6x + 14)}{(5-2x)^2} = \frac{15 - 6x + 6x - 14}{(5-2x)^2} = \frac{1}{(5-2x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{(5-2x)^2}$.

2)Для нахождения производной функции $y = \frac{x^2+5x}{x-3}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u = x^2+5x$ и $v = x-3$.
Найдем производные числителя и знаменателя:
$u' = (x^2+5x)' = 2x+5$
$v' = (x-3)' = 1$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(2x+5)(x-3) - (x^2+5x)(1)}{(x-3)^2} = \frac{2x^2 - 6x + 5x - 15 - x^2 - 5x}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 15}{(x-3)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{x^2 - 6x - 15}{(x-3)^2}$.

3)Для нахождения производной функции $y = \frac{x-1}{\sqrt{x}}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В данном случае $u = x-1$ и $v = \sqrt{x} = x^{1/2}$.
Найдем производные:
$u' = (x-1)' = 1$
$v' = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{1 \cdot \sqrt{x} - (x-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{\sqrt{x} - \frac{x-1}{2\sqrt{x}}}{x}$.
Чтобы упростить выражение, умножим числитель и знаменатель дроби на $2\sqrt{x}$:
$y' = \frac{(\sqrt{x} - \frac{x-1}{2\sqrt{x}}) \cdot 2\sqrt{x}}{x \cdot 2\sqrt{x}} = \frac{2(\sqrt{x})^2 - (x-1)}{2x\sqrt{x}} = \frac{2x - x + 1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$.

4)Для нахождения производной функции $y = \frac{\sqrt{x}}{4x-1}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u = \sqrt{x}$ и $v = 4x-1$.
Найдем производные:
$u' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$v' = (4x-1)' = 4$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(4x-1) - \sqrt{x} \cdot 4}{(4x-1)^2} = \frac{\frac{4x-1}{2\sqrt{x}} - 4\sqrt{x}}{(4x-1)^2}$.
Умножим числитель и знаменатель на $2\sqrt{x}$, чтобы избавиться от дроби в числителе:
$y' = \frac{(\frac{4x-1}{2\sqrt{x}} - 4\sqrt{x}) \cdot 2\sqrt{x}}{(4x-1)^2 \cdot 2\sqrt{x}} = \frac{4x-1 - 4\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(4x-1)^2} = \frac{4x-1 - 8x}{2\sqrt{x}(4x-1)^2} = \frac{-4x-1}{2\sqrt{x}(4x-1)^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{4x+1}{2\sqrt{x}(4x-1)^2}$.

5)Для нахождения производной функции $y = \frac{1-\sin x}{1+\sin x}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В нашем случае $u = 1-\sin x$ и $v = 1+\sin x$.
Найдем производные:
$u' = (1-\sin x)' = -\cos x$
$v' = (1+\sin x)' = \cos x$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{-\cos x(1+\sin x) - (1-\sin x)\cos x}{(1+\sin x)^2} = \frac{-\cos x - \cos x \sin x - \cos x + \cos x \sin x}{(1+\sin x)^2} = \frac{-2\cos x}{(1+\sin x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{-2\cos x}{(1+\sin x)^2}$.

6)Для нахождения производной функции $y = \frac{3\cos x}{x^3}$ используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u = 3\cos x$ и $v = x^3$.
Найдем производные:
$u' = (3\cos x)' = -3\sin x$
$v' = (x^3)' = 3x^2$
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{-3\sin x \cdot x^3 - 3\cos x \cdot 3x^2}{(x^3)^2} = \frac{-3x^3\sin x - 9x^2\cos x}{x^6}$.
Вынесем общий множитель $-3x^2$ в числителе и сократим дробь:
$y' = \frac{-3x^2(x\sin x + 3\cos x)}{x^6} = \frac{-3(x\sin x + 3\cos x)}{x^4}$.
Ответ: $y' = -\frac{3(x\sin x + 3\cos x)}{x^4}$.