Номер 281, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

281. Найдите производную функции:

1) $y = 3x^7 - 6x^5 - 4x^2 + 17;$

2) $y = \frac{1}{3}x^6 - 8\sqrt{x} + 2x;$

3) $y = x - \frac{4}{x};$

4) $y = \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3};$

5) $y = \frac{x^3}{3} + \sqrt{3}\sin x - \cos\frac{\pi}{3} - 3x^2;$

6) $y = \text{tg}x + \text{ctg}x.$

1) Найдём производную функции $y = 3x^7 - 6x^5 - 4x^2 + 17$.
Используем правило дифференцирования суммы/разности функций, формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило, что производная константы равна нулю, $(C)'=0$.
$y' = (3x^7 - 6x^5 - 4x^2 + 17)' = (3x^7)' - (6x^5)' - (4x^2)' + (17)'$
$y' = 3 \cdot 7x^{7-1} - 6 \cdot 5x^{5-1} - 4 \cdot 2x^{2-1} + 0$
$y' = 21x^6 - 30x^4 - 8x$
Ответ: $y' = 21x^6 - 30x^4 - 8x$.

2) Найдём производную функции $y = \frac{1}{3}x^6 - 8\sqrt{x} + 2x$.
Представим $\sqrt{x}$ в виде степени: $\sqrt{x} = x^{1/2}$. Функция примет вид: $y = \frac{1}{3}x^6 - 8x^{1/2} + 2x$.
Применяем правило дифференцирования суммы/разности и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$y' = (\frac{1}{3}x^6 - 8x^{1/2} + 2x)' = (\frac{1}{3}x^6)' - (8x^{1/2})' + (2x)'$
$y' = \frac{1}{3} \cdot 6x^{6-1} - 8 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} + 2 \cdot 1x^{1-1}$
$y' = 2x^5 - 4x^{-1/2} + 2$
Запишем результат, используя корень:
$y' = 2x^5 - \frac{4}{\sqrt{x}} + 2$
Ответ: $y' = 2x^5 - \frac{4}{\sqrt{x}} + 2$.

3) Найдём производную функции $y = x - \frac{4}{x}$.
Представим $\frac{4}{x}$ в виде степени: $\frac{4}{x} = 4x^{-1}$. Функция примет вид: $y = x - 4x^{-1}$.
Дифференцируем по правилу производной степенной функции:
$y' = (x - 4x^{-1})' = (x)' - (4x^{-1})'$
$y' = 1 - 4 \cdot (-1)x^{-1-1} = 1 + 4x^{-2}$
$y' = 1 + \frac{4}{x^2}$
Ответ: $y' = 1 + \frac{4}{x^2}$.

4) Найдём производную функции $y = \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^3}$.
Представим функцию в виде суммы степеней: $y = 2x^{-2} - 3x^{-3}$.
Дифференцируем каждый член:
$y' = (2x^{-2} - 3x^{-3})' = (2x^{-2})' - (3x^{-3})'$
$y' = 2 \cdot (-2)x^{-2-1} - 3 \cdot (-3)x^{-3-1}$
$y' = -4x^{-3} + 9x^{-4}$
Запишем результат в виде дробей:
$y' = -\frac{4}{x^3} + \frac{9}{x^4}$
Ответ: $y' = -\frac{4}{x^3} + \frac{9}{x^4}$.

5) Найдём производную функции $y = \frac{x^3}{3} + \sqrt{3}\sin x - \cos\frac{\pi}{3} - 3x^2$.
Для нахождения производной будем использовать правила дифференцирования суммы/разности, производную степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, производную синуса $(\sin x)' = \cos x$ и правило, что производная константы равна нулю. Обратите внимание, что $\cos\frac{\pi}{3}$ является константой (равна $\frac{1}{2}$), поэтому ее производная равна 0.
$y' = (\frac{x^3}{3})' + (\sqrt{3}\sin x)' - (\cos\frac{\pi}{3})' - (3x^2)'$
$y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + \sqrt{3} \cdot \cos x - 0 - 3 \cdot 2x^{2-1}$
$y' = x^2 + \sqrt{3}\cos x - 6x$
Ответ: $y' = x^2 + \sqrt{3}\cos x - 6x$.

6) Найдём производную функции $y = \tan x + \cot x$.
Используем формулы производных тригонометрических функций: $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ и $(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
$y' = (\tan x + \cot x)' = (\tan x)' + (\cot x)'$
$y' = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}$
Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x}$.