Страница 51 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

290. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x-4}{x^2-2}$ в точке его пересечения с осью абсцисс.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Нахождение точки касания.

Точка касания — это точка пересечения графика функции с осью абсцисс (осью Ox). В этой точке ордината (значение функции) равна нулю: $f(x) = 0$.

$\frac{x-4}{x^2-2} = 0$

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x - 4 = 0 \implies x_0 = 4$.

Проверим, что знаменатель не обращается в ноль при $x=4$:

$4^2 - 2 = 16 - 2 = 14 \neq 0$.

Следовательно, абсцисса точки касания $x_0 = 4$. Ордината в этой точке $y_0 = f(4) = 0$. Таким образом, точка касания — $(4; 0)$.

2. Нахождение производной функции.

Чтобы найти угловой коэффициент касательной, нужно вычислить значение производной $f'(x)$ в точке $x_0 = 4$.

Воспользуемся правилом дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \left(\frac{x-4}{x^2-2}\right)' = \frac{(x-4)'(x^2-2) - (x-4)(x^2-2)'}{(x^2-2)^2}$

$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2-2) - (x-4) \cdot 2x}{(x^2-2)^2} = \frac{x^2 - 2 - 2x^2 + 8x}{(x^2-2)^2} = \frac{-x^2 + 8x - 2}{(x^2-2)^2}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 4$:

$f'(4) = \frac{-4^2 + 8(4) - 2}{(4^2-2)^2} = \frac{-16 + 32 - 2}{(16-2)^2} = \frac{14}{14^2} = \frac{1}{14}$.

Угловой коэффициент касательной $k = f'(4) = \frac{1}{14}$.

3. Составление уравнения касательной.

Подставим найденные значения $x_0 = 4$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = \frac{1}{14}$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = 0 + \frac{1}{14}(x - 4)$

$y = \frac{1}{14}x - \frac{4}{14}$

$y = \frac{1}{14}x - \frac{2}{7}$

Ответ: $y = \frac{1}{14}x - \frac{2}{7}$

291. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции $f(x) = x^4 - 4x^2 - 8$.

Горизонтальная касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, поэтому ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной в некоторой точке равен значению производной функции в этой точке. Следовательно, для нахождения уравнений горизонтальных касательных необходимо найти точки, в которых производная функции равна нулю.

Дана функция: $f(x) = x^4 - 4x^2 - 8$.

1. Найдем производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования:

$f'(x) = (x^4 - 4x^2 - 8)' = (x^4)' - (4x^2)' - (8)' = 4x^3 - 4 \cdot 2x - 0 = 4x^3 - 8x$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссы $x$ точек, в которых касательные горизонтальны:

$f'(x) = 0$

$4x^3 - 8x = 0$

Для решения этого уравнения вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x^2 - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем:

$4x = 0$ или $x^2 - 2 = 0$

Из первого уравнения находим: $x_1 = 0$.

Из второго уравнения находим: $x^2 = 2$, откуда $x_2 = \sqrt{2}$ и $x_3 = -\sqrt{2}$.

Мы нашли три точки, в которых касательная к графику функции горизонтальна.

3. Теперь найдем уравнения этих касательных. Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — это ордината точки касания. Найдем значения функции $f(x)$ в найденных точках $x_1, x_2, x_3$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = f(0) = 0^4 - 4(0)^2 - 8 = -8$.

Уравнение первой горизонтальной касательной: $y = -8$.

Для $x_2 = \sqrt{2}$:

$y_2 = f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 - 8 = 4 - 4 \cdot 2 - 8 = 4 - 8 - 8 = -12$.

Для $x_3 = -\sqrt{2}$:

$y_3 = f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^4 - 4(-\sqrt{2})^2 - 8 = 4 - 4 \cdot 2 - 8 = 4 - 8 - 8 = -12$.

Значения функции в точках $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$ совпадают, следовательно, касательные в этих точках представляют собой одну и ту же прямую. Уравнение второй горизонтальной касательной: $y = -12$.

Таким образом, у графика данной функции есть две горизонтальные касательные.

Ответ: $y = -8, y = -12$.

292. Найдите такую точку графика функции $f(x) = x^3 - 26x + 4$, что проведённая в этой точке касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Геометрический смысл производной функции в точке $x_0$ заключается в том, что её значение равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент $k$ касательной связан с углом её наклона $\alpha$ к положительному направлению оси абсцисс формулой $k = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, угол наклона касательной $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Найдём угловой коэффициент касательной:
$k = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ также равен значению производной функции $f(x)$ в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Найдём производную функции $f(x) = x^3 - 26x + 4$:
$f'(x) = (x^3 - 26x + 4)' = 3x^2 - 26$.

Чтобы найти абсциссу $x_0$ искомой точки, приравняем значение производной к найденному угловому коэффициенту:
$f'(x_0) = 1$
$3x_0^2 - 26 = 1$
$3x_0^2 = 27$
$x_0^2 = 9$
Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Теперь найдём соответствующие ординаты этих точек, подставив найденные значения $x$ в исходную функцию $f(x) = x^3 - 26x + 4$.

1. При $x_1 = 3$:
$y_1 = f(3) = 3^3 - 26 \cdot 3 + 4 = 27 - 78 + 4 = -47$.
Таким образом, первая искомая точка имеет координаты $(3, -47)$.

2. При $x_2 = -3$:
$y_2 = f(-3) = (-3)^3 - 26 \cdot (-3) + 4 = -27 + 78 + 4 = 55$.
Таким образом, вторая искомая точка имеет координаты $(-3, 55)$.

Ответ: $(3, -47)$ и $(-3, 55)$.

293. Составьте уравнение касательной к графику функции$f(x) = x^2 - 4x + 6$, которая параллельна прямой$y = 4x + 7$.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ следующий: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

По условию задачи, касательная должна быть параллельна прямой $y = 4x + 7$. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент (наклон) прямой $y = 4x + 7$ равен $k=4$.

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Таким образом, $f'(x_0) = k$.

Следовательно, нам нужно найти такую точку $x_0$, для которой выполняется условие $f'(x_0) = 4$.

1. Найдем производную функции $f(x) = x^2 - 4x + 6$.
$f'(x) = (x^2 - 4x + 6)' = 2x^{2-1} - 4x^{1-1} + 0 = 2x - 4$.

2. Найдем абсциссу точки касания $x_0$.
Приравняем производную к заданному угловому коэффициенту $k=4$:
$f'(x_0) = 4$
$2x_0 - 4 = 4$
$2x_0 = 8$
$x_0 = 4$.

3. Найдем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$.
Подставим найденное значение $x_0=4$ в исходное уравнение функции:
$y_0 = f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 6 = 16 - 16 + 6 = 6$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(4; 6)$.

4. Составим уравнение касательной.
Теперь у нас есть все необходимые данные: точка касания $(x_0; y_0) = (4; 6)$ и угловой коэффициент $k=4$. Подставим эти значения в уравнение касательной $y = y_0 + k(x - x_0)$:
$y = 6 + 4(x - 4)$
$y = 6 + 4x - 16$
$y = 4x - 10$.

Ответ: $y = 4x - 10$

294. Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x-3}{4-x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 3$. Существуют ли прямые, параллельные найденной касательной, которые также являются касательными к графику данной функции?

1. Найдем уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $x_0 = 3$.

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.
Дана функция $f(x) = \frac{x-3}{4-x}$ и точка $x_0 = 3$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = \frac{3-3}{4-3} = \frac{0}{1} = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(x-3)'(4-x) - (x-3)(4-x)'}{(4-x)^2} = \frac{1 \cdot (4-x) - (x-3) \cdot (-1)}{(4-x)^2} = \frac{4-x + x-3}{(4-x)^2} = \frac{1}{(4-x)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 3$. Это значение является угловым коэффициентом $k$ касательной:
$k = f'(3) = \frac{1}{(4-3)^2} = \frac{1}{1^2} = 1$.

4. Подставим найденные значения $x_0=3$, $f(x_0)=0$ и $f'(x_0)=1$ в уравнение касательной:
$y = 0 + 1 \cdot (x - 3)$
$y = x - 3$.
Ответ: $y = x - 3$.

2. Существуют ли прямые, параллельные найденной касательной, которые также являются касательными к графику данной функции?

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент найденной касательной $k = 1$.
Чтобы найти другие касательные, параллельные данной, нужно найти другие точки $x$, в которых производная функции $f(x)$ также равна 1.
Решим уравнение $f'(x) = 1$:
$\frac{1}{(4-x)^2} = 1$
$(4-x)^2 = 1$
Это уравнение эквивалентно двум уравнениям:
1) $4-x = 1 \implies x = 3$. Это абсцисса исходной точки касания.
2) $4-x = -1 \implies x = 5$. Это абсцисса новой точки, в которой касательная имеет тот же угловой коэффициент.
Поскольку существует еще одна точка ($x=5$), в которой касательная к графику функции имеет угловой коэффициент, равный 1, то существует еще одна касательная, параллельная найденной.
Ответ: Да, существуют.

295. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $f(x) = x^3 - x^2 + 6x - 2$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, образованного осями координат и касательной, необходимо сначала найти уравнение этой касательной, затем определить точки ее пересечения с осями координат и, наконец, вычислить площадь получившегося прямоугольного треугольника.

1. Находим уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = x^3 - x^2 + 6x - 2$ и точка касания $x_0 = 1$.

Сначала вычислим значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = 1^3 - 1^2 + 6 \cdot 1 - 2 = 1 - 1 + 6 - 2 = 4$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - x^2 + 6x - 2)' = 3x^2 - 2x + 6$.

Далее вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$, которое является угловым коэффициентом касательной:

$f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 6 = 3 - 2 + 6 = 7$.

Подставим найденные значения $f(1) = 4$ и $f'(1) = 7$ в уравнение касательной:

$y = 4 + 7(x - 1)$

$y = 4 + 7x - 7$

$y = 7x - 3$.

Таким образом, уравнение касательной: $y = 7x - 3$.

2. Находим точки пересечения касательной с осями координат

Искомый треугольник является прямоугольным, его вершины — это начало координат и точки пересечения касательной с осями Ox и Oy.

Для нахождения точки пересечения с осью Oy (осью ординат), подставим $x = 0$ в уравнение касательной:

$y = 7 \cdot 0 - 3 = -3$.

Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0; -3)$.

Для нахождения точки пересечения с осью Ox (осью абсцисс), подставим $y = 0$ в уравнение касательной:

$0 = 7x - 3$

$7x = 3$

$x = \frac{3}{7}$.

Координаты точки пересечения с осью Ox: $(\frac{3}{7}; 0)$.

3. Вычисляем площадь треугольника

Катеты прямоугольного треугольника лежат на осях координат, их длины равны модулям соответствующих координат точек пересечения.

Длина катета на оси Ox равна $|\frac{3}{7}| = \frac{3}{7}$.

Длина катета на оси Oy равна $|-3| = 3$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ — длины катетов.

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} \cdot 3 = \frac{9}{14}$.

Ответ: $\frac{9}{14}$.

296. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x^3 - 18x;$

2) $f(x) = 1 + 3x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4};$

3) $f(x) = 0.2x^5 - x^3 + 2x - 9.$

1) $f(x) = x^3 - 18x$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную, приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем определим знаки производной на полученных интервалах.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 18x)' = 3x^2 - 18$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 18 = 0$

$3x^2 = 18$

$x^2 = 6$

$x_1 = -\sqrt{6}$, $x_2 = \sqrt{6}$.

3. Критические точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{6})$, $(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$ и $(\sqrt{6}; +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале. Если $f'(x) > 0$, функция возрастает, если $f'(x) < 0$, функция убывает.

• При $x \in (-\infty; -\sqrt{6})$, например $x = -3$: $f'(-3) = 3(-3)^2 - 18 = 27 - 18 = 9 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-\sqrt{6}; \sqrt{6})$, например $x = 0$: $f'(0) = 3(0)^2 - 18 = -18 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (\sqrt{6}; +\infty)$, например $x = 3$: $f'(3) = 3(3)^2 - 18 = 27 - 18 = 9 > 0$. Функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{6}]$ и $[\sqrt{6}; +\infty)$, а убывает на промежутке $[-\sqrt{6}; \sqrt{6}]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{6}]$ и $[\sqrt{6}; +\infty)$, убывает на промежутке $[-\sqrt{6}; \sqrt{6}]$.

2) $f(x) = 1 + 3x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}$

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (1 + 3x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4})' = 6x - \frac{3x^2}{3} - \frac{4x^3}{4} = -x^3 - x^2 + 6x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-x^3 - x^2 + 6x = 0$

$-x(x^2 + x - 6) = 0$

$-x(x+3)(x-2) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = -3$, $x_3 = 2$.

3. Критические точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале.

• При $x \in (-\infty; -3)$, например $x = -4$: $f'(-4) = -(-4)^3 - (-4)^2 + 6(-4) = 64 - 16 - 24 = 24 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-3; 0)$, например $x = -1$: $f'(-1) = -(-1)^3 - (-1)^2 + 6(-1) = 1 - 1 - 6 = -6 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (0; 2)$, например $x = 1$: $f'(1) = -(1)^3 - (1)^2 + 6(1) = -1 - 1 + 6 = 4 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (2; +\infty)$, например $x = 3$: $f'(3) = -(3)^3 - (3)^2 + 6(3) = -27 - 9 + 18 = -18 < 0$. Функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[0; 2]$, а убывает на промежутках $[-3; 0]$ и $[2; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[0; 2]$, убывает на промежутках $[-3; 0]$ и $[2; +\infty)$.

3) $f(x) = 0,2x^5 - x^3 + 2x - 9$

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (0,2x^5 - x^3 + 2x - 9)' = 0,2 \cdot 5x^4 - 3x^2 + 2 = x^4 - 3x^2 + 2$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$x^4 - 3x^2 + 2 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$):

$y^2 - 3y + 2 = 0$.

По теореме Виета находим корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 2$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

$x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$.

Критические точки: $-\sqrt{2}, -1, 1, \sqrt{2}$.

3. Критические точки разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty; -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; \sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}; +\infty)$. Производную можно представить в виде $f'(x) = (x^2-1)(x^2-2)$. Определим знак производной в каждом интервале.

• При $x \in (-\infty; -\sqrt{2})$, например $x = -2$: $f'(-2) = ((-2)^2-1)((-2)^2-2) = (3)(2) = 6 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-\sqrt{2}; -1)$, например $x = -1,2$: $f'(-1,2) = ((-1,2)^2-1)((-1,2)^2-2) = (1,44-1)(1,44-2) = (0,44)(-0,56) < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-1; 1)$, например $x = 0$: $f'(0) = (0^2-1)(0^2-2) = (-1)(-2) = 2 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (1; \sqrt{2})$, например $x = 1,2$: $f'(1,2) = ((1,2)^2-1)((1,2)^2-2) = (1,44-1)(1,44-2) = (0,44)(-0,56) < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (\sqrt{2}; +\infty)$, например $x = 2$: $f'(2) = (2^2-1)(2^2-2) = (3)(2) = 6 > 0$. Функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{2}]$, $[-1; 1]$ и $[\sqrt{2}; +\infty)$, а убывает на промежутках $[-\sqrt{2}; -1]$ и $[1; \sqrt{2}]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{2}]$, $[-1; 1]$ и $[\sqrt{2}; +\infty)$, убывает на промежутках $[-\sqrt{2}; -1]$ и $[1; \sqrt{2}]$.

297. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$;

2) $f(x) = x + \frac{5}{x}$;

3) $f(x) = \frac{x^2 - 2,5x}{x+2}$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции необходимо исследовать знак ее производной. Если производная $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке. Если $f'(x) < 0$, то функция убывает.

1) $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$. Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \left(\frac{3x-1}{x+2}\right)' = \frac{(3x-1)'(x+2) - (3x-1)(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{3(x+2) - (3x-1) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{3x+6-3x+1}{(x+2)^2} = \frac{7}{(x+2)^2}$.

3. Определим знак производной. Числитель $7 > 0$. Знаменатель $(x+2)^2 > 0$ при всех $x$ из области определения. Следовательно, $f'(x) > 0$ при всех $x \in D(f)$.

4. Так как производная положительна на всей области определения, функция возрастает на каждом из промежутков, входящих в область определения.

Промежутки возрастания: $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$.
Промежутков убывания нет.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; +\infty)$; промежутков убывания нет.

2) $f(x) = x + \frac{5}{x}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x + \frac{5}{x})' = (x)' + (5x^{-1})' = 1 - 5x^{-2} = 1 - \frac{5}{x^2} = \frac{x^2-5}{x^2}$.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{x^2-5}{x^2} = 0 \implies x^2-5 = 0 \implies x^2 = 5 \implies x_1 = -\sqrt{5}, x_2 = \sqrt{5}$.

Производная не существует в точке $x=0$, которая не входит в область определения функции.

4. Критические точки $x = -\sqrt{5}$ и $x = \sqrt{5}$ и точка разрыва $x=0$ разбивают числовую ось на промежутки: $(-\infty; -\sqrt{5})$, $(-\sqrt{5}; 0)$, $(0; \sqrt{5})$ и $(\sqrt{5}; +\infty)$. Определим знак производной на каждом промежутке.

Знак $f'(x) = \frac{x^2-5}{x^2}$ совпадает со знаком числителя $x^2-5$, так как знаменатель $x^2 > 0$ при $x \neq 0$.

• При $x \in (-\infty; -\sqrt{5})$, например $x=-3$: $f'(-3) = \frac{(-3)^2-5}{(-3)^2} = \frac{4}{9} > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-\sqrt{5}; 0)$, например $x=-1$: $f'(-1) = \frac{(-1)^2-5}{(-1)^2} = -4 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; \sqrt{5})$, например $x=1$: $f'(1) = \frac{1^2-5}{1^2} = -4 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (\sqrt{5}; +\infty)$, например $x=3$: $f'(3) = \frac{3^2-5}{3^2} = \frac{4}{9} > 0$, функция возрастает.

5. Запишем промежутки возрастания и убывания, включая концы промежутков (критические точки), так как функция в них непрерывна.

Промежутки возрастания: $(-\infty; -\sqrt{5}]$ и $[\sqrt{5}; +\infty)$.
Промежутки убывания: $[-\sqrt{5}; 0)$ и $(0; \sqrt{5}]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{5}]$ и $[\sqrt{5}; +\infty)$; убывает на промежутках $[-\sqrt{5}; 0)$ и $(0; \sqrt{5}]$.

3) $f(x) = \frac{x^2 - 2,5x}{x+2}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x+2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$. Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного:

$f'(x) = \left(\frac{x^2 - 2,5x}{x+2}\right)' = \frac{(x^2 - 2,5x)'(x+2) - (x^2 - 2,5x)(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{(2x - 2,5)(x+2) - (x^2 - 2,5x) \cdot 1}{(x+2)^2}$.

Раскроем скобки в числителе:
$(2x - 2,5)(x+2) = 2x^2 + 4x - 2,5x - 5 = 2x^2 + 1,5x - 5$.
$f'(x) = \frac{2x^2 + 1,5x - 5 - x^2 + 2,5x}{(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x+2)^2}$.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{x^2 + 4x - 5}{(x+2)^2} = 0 \implies x^2 + 4x - 5 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -4$, $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни: $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.

Производная не существует в точке $x=-2$, которая не входит в область определения функции.

4. Критические точки $x = -5$ и $x = 1$ и точка разрыва $x=-2$ разбивают числовую ось на промежутки: $(-\infty; -5)$, $(-5; -2)$, $(-2; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом промежутке.

Знак $f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x+2)^2}$ совпадает со знаком числителя $x^2 + 4x - 5$, так как знаменатель $(x+2)^2 > 0$ при $x \neq -2$. Числитель $x^2 + 4x - 5 = (x+5)(x-1)$ является параболой с ветвями вверх, пересекающей ось Ox в точках -5 и 1. Он положителен вне корней и отрицателен между ними.

• При $x \in (-\infty; -5)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-5; -2)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-2; 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. Запишем промежутки возрастания и убывания, включая концы промежутков (критические точки), так как функция в них непрерывна.

Промежутки возрастания: $(-\infty; -5]$ и $[1; +\infty)$.
Промежутки убывания: $[-5; -2)$ и $(-2; 1]$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -5]$ и $[1; +\infty)$; убывает на промежутках $[-5; -2)$ и $(-2; 1]$.