Номер 295, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

295. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $f(x) = x^3 - x^2 + 6x - 2$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, образованного осями координат и касательной, необходимо сначала найти уравнение этой касательной, затем определить точки ее пересечения с осями координат и, наконец, вычислить площадь получившегося прямоугольного треугольника.

1. Находим уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Дана функция $f(x) = x^3 - x^2 + 6x - 2$ и точка касания $x_0 = 1$.

Сначала вычислим значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = 1^3 - 1^2 + 6 \cdot 1 - 2 = 1 - 1 + 6 - 2 = 4$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 - x^2 + 6x - 2)' = 3x^2 - 2x + 6$.

Далее вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$, которое является угловым коэффициентом касательной:

$f'(1) = 3 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 + 6 = 3 - 2 + 6 = 7$.

Подставим найденные значения $f(1) = 4$ и $f'(1) = 7$ в уравнение касательной:

$y = 4 + 7(x - 1)$

$y = 4 + 7x - 7$

$y = 7x - 3$.

Таким образом, уравнение касательной: $y = 7x - 3$.

2. Находим точки пересечения касательной с осями координат

Искомый треугольник является прямоугольным, его вершины — это начало координат и точки пересечения касательной с осями Ox и Oy.

Для нахождения точки пересечения с осью Oy (осью ординат), подставим $x = 0$ в уравнение касательной:

$y = 7 \cdot 0 - 3 = -3$.

Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0; -3)$.

Для нахождения точки пересечения с осью Ox (осью абсцисс), подставим $y = 0$ в уравнение касательной:

$0 = 7x - 3$

$7x = 3$

$x = \frac{3}{7}$.

Координаты точки пересечения с осью Ox: $(\frac{3}{7}; 0)$.

3. Вычисляем площадь треугольника

Катеты прямоугольного треугольника лежат на осях координат, их длины равны модулям соответствующих координат точек пересечения.

Длина катета на оси Ox равна $|\frac{3}{7}| = \frac{3}{7}$.

Длина катета на оси Oy равна $|-3| = 3$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$, где $a$ и $b$ — длины катетов.

$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} \cdot 3 = \frac{9}{14}$.

Ответ: $\frac{9}{14}$.