Номер 299, страница 52 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

299. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x};$

2) $f(x) = \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}x.$

1) $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, найдем ее производную и определим знаки производной на области определения функции.

1. Найдем область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 - 4x \ge 0$

$x(x - 4) \ge 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем, что область определения функции $D(f) = (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$.

2. Найдем производную функции.

$f'(x) = (\sqrt{x^2 - 4x})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 4x}} \cdot (x^2 - 4x)' = \frac{2x - 4}{2\sqrt{x^2 - 4x}} = \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x}}$

Производная определена на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(4, +\infty)$.

3. Найдем критические точки функции.

Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует.

$f'(x) = 0$ при $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$. Однако, точка $x=2$ не принадлежит области определения функции, поэтому она не является критической точкой.

Производная не существует в точках $x=0$ и $x=4$, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль. Эти точки принадлежат области определения и являются критическими.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Знаменатель производной $\sqrt{x^2 - 4x}$ всегда положителен в области ее определения. Следовательно, знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x - 2$.

• На интервале $(-\infty, 0)$: $x - 2 < 0$, значит $f'(x) < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(4, +\infty)$: $x - 2 > 0$, значит $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

Так как функция непрерывна в точках $x=0$ и $x=4$, мы можем включить их в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[4, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.

2) $f(x) = \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}x$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, найдем ее производную и определим ее знаки.

1. Найдем область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции.

$f'(x) = (\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}x)' = \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. Найдем критические точки функции.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения: $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Знак производной $f'(x)$ зависит от того, больше или меньше $\cos x$, чем $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, то есть $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
  Это неравенство выполняется на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in Z$.
  Следовательно, функция возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi n]$, $n \in Z$.
• Функция убывает, когда $f'(x) < 0$, то есть $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
  Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{6} + 2\pi n, 2\pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n) = (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in Z$.
  Следовательно, функция убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n]$, $n \in Z$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi n]$ и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n]$, где $n \in Z$.