Номер 296, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

296. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x^3 - 18x;$

2) $f(x) = 1 + 3x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4};$

3) $f(x) = 0.2x^5 - x^3 + 2x - 9.$

1) $f(x) = x^3 - 18x$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную, приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем определим знаки производной на полученных интервалах.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 18x)' = 3x^2 - 18$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 - 18 = 0$

$3x^2 = 18$

$x^2 = 6$

$x_1 = -\sqrt{6}$, $x_2 = \sqrt{6}$.

3. Критические точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{6})$, $(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$ и $(\sqrt{6}; +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале. Если $f'(x) > 0$, функция возрастает, если $f'(x) < 0$, функция убывает.

• При $x \in (-\infty; -\sqrt{6})$, например $x = -3$: $f'(-3) = 3(-3)^2 - 18 = 27 - 18 = 9 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-\sqrt{6}; \sqrt{6})$, например $x = 0$: $f'(0) = 3(0)^2 - 18 = -18 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (\sqrt{6}; +\infty)$, например $x = 3$: $f'(3) = 3(3)^2 - 18 = 27 - 18 = 9 > 0$. Функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{6}]$ и $[\sqrt{6}; +\infty)$, а убывает на промежутке $[-\sqrt{6}; \sqrt{6}]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{6}]$ и $[\sqrt{6}; +\infty)$, убывает на промежутке $[-\sqrt{6}; \sqrt{6}]$.

2) $f(x) = 1 + 3x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}$

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (1 + 3x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4})' = 6x - \frac{3x^2}{3} - \frac{4x^3}{4} = -x^3 - x^2 + 6x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$-x^3 - x^2 + 6x = 0$

$-x(x^2 + x - 6) = 0$

$-x(x+3)(x-2) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = -3$, $x_3 = 2$.

3. Критические точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной в каждом интервале.

• При $x \in (-\infty; -3)$, например $x = -4$: $f'(-4) = -(-4)^3 - (-4)^2 + 6(-4) = 64 - 16 - 24 = 24 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-3; 0)$, например $x = -1$: $f'(-1) = -(-1)^3 - (-1)^2 + 6(-1) = 1 - 1 - 6 = -6 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (0; 2)$, например $x = 1$: $f'(1) = -(1)^3 - (1)^2 + 6(1) = -1 - 1 + 6 = 4 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (2; +\infty)$, например $x = 3$: $f'(3) = -(3)^3 - (3)^2 + 6(3) = -27 - 9 + 18 = -18 < 0$. Функция убывает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[0; 2]$, а убывает на промежутках $[-3; 0]$ и $[2; +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$ и $[0; 2]$, убывает на промежутках $[-3; 0]$ и $[2; +\infty)$.

3) $f(x) = 0,2x^5 - x^3 + 2x - 9$

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (0,2x^5 - x^3 + 2x - 9)' = 0,2 \cdot 5x^4 - 3x^2 + 2 = x^4 - 3x^2 + 2$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$x^4 - 3x^2 + 2 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$):

$y^2 - 3y + 2 = 0$.

По теореме Виета находим корни: $y_1 = 1$, $y_2 = 2$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

$x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$.

Критические точки: $-\sqrt{2}, -1, 1, \sqrt{2}$.

3. Критические точки разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty; -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}; -1)$, $(-1; 1)$, $(1; \sqrt{2})$ и $(\sqrt{2}; +\infty)$. Производную можно представить в виде $f'(x) = (x^2-1)(x^2-2)$. Определим знак производной в каждом интервале.

• При $x \in (-\infty; -\sqrt{2})$, например $x = -2$: $f'(-2) = ((-2)^2-1)((-2)^2-2) = (3)(2) = 6 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (-\sqrt{2}; -1)$, например $x = -1,2$: $f'(-1,2) = ((-1,2)^2-1)((-1,2)^2-2) = (1,44-1)(1,44-2) = (0,44)(-0,56) < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (-1; 1)$, например $x = 0$: $f'(0) = (0^2-1)(0^2-2) = (-1)(-2) = 2 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (1; \sqrt{2})$, например $x = 1,2$: $f'(1,2) = ((1,2)^2-1)((1,2)^2-2) = (1,44-1)(1,44-2) = (0,44)(-0,56) < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (\sqrt{2}; +\infty)$, например $x = 2$: $f'(2) = (2^2-1)(2^2-2) = (3)(2) = 6 > 0$. Функция возрастает.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{2}]$, $[-1; 1]$ и $[\sqrt{2}; +\infty)$, а убывает на промежутках $[-\sqrt{2}; -1]$ и $[1; \sqrt{2}]$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{2}]$, $[-1; 1]$ и $[\sqrt{2}; +\infty)$, убывает на промежутках $[-\sqrt{2}; -1]$ и $[1; \sqrt{2}]$.