Номер 291, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

291. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции $f(x) = x^4 - 4x^2 - 8$.

Горизонтальная касательная к графику функции параллельна оси абсцисс, поэтому ее угловой коэффициент равен нулю. Угловой коэффициент касательной в некоторой точке равен значению производной функции в этой точке. Следовательно, для нахождения уравнений горизонтальных касательных необходимо найти точки, в которых производная функции равна нулю.

Дана функция: $f(x) = x^4 - 4x^2 - 8$.

1. Найдем производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования:

$f'(x) = (x^4 - 4x^2 - 8)' = (x^4)' - (4x^2)' - (8)' = 4x^3 - 4 \cdot 2x - 0 = 4x^3 - 8x$.

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссы $x$ точек, в которых касательные горизонтальны:

$f'(x) = 0$

$4x^3 - 8x = 0$

Для решения этого уравнения вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x^2 - 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем:

$4x = 0$ или $x^2 - 2 = 0$

Из первого уравнения находим: $x_1 = 0$.

Из второго уравнения находим: $x^2 = 2$, откуда $x_2 = \sqrt{2}$ и $x_3 = -\sqrt{2}$.

Мы нашли три точки, в которых касательная к графику функции горизонтальна.

3. Теперь найдем уравнения этих касательных. Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — это ордината точки касания. Найдем значения функции $f(x)$ в найденных точках $x_1, x_2, x_3$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = f(0) = 0^4 - 4(0)^2 - 8 = -8$.

Уравнение первой горизонтальной касательной: $y = -8$.

Для $x_2 = \sqrt{2}$:

$y_2 = f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 - 8 = 4 - 4 \cdot 2 - 8 = 4 - 8 - 8 = -12$.

Для $x_3 = -\sqrt{2}$:

$y_3 = f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^4 - 4(-\sqrt{2})^2 - 8 = 4 - 4 \cdot 2 - 8 = 4 - 8 - 8 = -12$.

Значения функции в точках $x = \sqrt{2}$ и $x = -\sqrt{2}$ совпадают, следовательно, касательные в этих точках представляют собой одну и ту же прямую. Уравнение второй горизонтальной касательной: $y = -12$.

Таким образом, у графика данной функции есть две горизонтальные касательные.

Ответ: $y = -8, y = -12$.