gdz.top
Номер 292, страница 51 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 1. Уравнение касательной - номер 292, страница 51.
№291
№292 (с. 51)
Условие. №292 (с. 51)
292. Найдите такую точку графика функции $f(x) = x^3 - 26x + 4$, что проведённая в этой точке касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha = \frac{\pi}{4}$.
Решение. №292 (с. 51)
Геометрический смысл производной функции в точке $x_0$ заключается в том, что её значение равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент $k$ касательной связан с углом её наклона $\alpha$ к положительному направлению оси абсцисс формулой $k = \tan(\alpha)$.
По условию задачи, угол наклона касательной $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Найдём угловой коэффициент касательной:
$k = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ также равен значению производной функции $f(x)$ в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.
Найдём производную функции $f(x) = x^3 - 26x + 4$:
$f'(x) = (x^3 - 26x + 4)' = 3x^2 - 26$.
Чтобы найти абсциссу $x_0$ искомой точки, приравняем значение производной к найденному угловому коэффициенту:
$f'(x_0) = 1$
$3x_0^2 - 26 = 1$
$3x_0^2 = 27$
$x_0^2 = 9$
Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Теперь найдём соответствующие ординаты этих точек, подставив найденные значения $x$ в исходную функцию $f(x) = x^3 - 26x + 4$.
1. При $x_1 = 3$:
$y_1 = f(3) = 3^3 - 26 \cdot 3 + 4 = 27 - 78 + 4 = -47$.
Таким образом, первая искомая точка имеет координаты $(3, -47)$.
2. При $x_2 = -3$:
$y_2 = f(-3) = (-3)^3 - 26 \cdot (-3) + 4 = -27 + 78 + 4 = 55$.
Таким образом, вторая искомая точка имеет координаты $(-3, 55)$.
Ответ: $(3, -47)$ и $(-3, 55)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 292 расположенного на странице 51 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №292 (с. 51), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.