Страница 52 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

298. На рисунке 9 изображён график производной функции $f$, дифференцируемой на $R$. Укажите промежутки возрастания функции $f$.

Рис. 9

Для того чтобы найти промежутки возрастания функции $f$, необходимо определить интервалы, на которых её производная $f'(x)$ является неотрицательной. Это следует из достаточного условия возрастания функции: если $f'(x) \ge 0$ на некотором промежутке, и $f'(x) = 0$ лишь в отдельных точках, то функция $f$ возрастает на этом промежутке.

На рисунке изображён график производной функции $y = f'(x)$. Промежутки возрастания исходной функции $f$ соответствуют тем промежуткам оси $x$, на которых график её производной $f'(x)$ расположен не ниже оси абсцисс (то есть, на оси или выше неё).

Проанализируем данный график:

1. На промежутке от $-\infty$ до $x_1$ график $f'(x)$ находится выше оси $x$, а в точке $x_1$ пересекает её. Это означает, что на всём промежутке $(-\infty, x_1]$ выполняется условие $f'(x) \ge 0$. Следовательно, на этом промежутке функция $f$ возрастает.

2. На промежутке от $x_1$ до $x_2$ график $f'(x)$ находится ниже оси $x$. Это означает, что на интервале $(x_1, x_2)$ выполняется условие $f'(x) < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция $f$ убывает.

3. На промежутке от $x_2$ до $x_3$ график $f'(x)$ находится выше оси $x$. В точках $x_2$ и $x_3$ график пересекает ось. Это означает, что на всём промежутке $[x_2, x_3]$ выполняется условие $f'(x) \ge 0$. Следовательно, на этом промежутке функция $f$ возрастает.

4. На промежутке от $x_3$ до $+\infty$ график $f'(x)$ находится ниже оси $x$, что означает $f'(x) < 0$. Следовательно, на этом промежутке функция $f$ убывает.

Таким образом, мы определили, что функция $f$ возрастает на двух промежутках.

Ответ: Промежутки возрастания функции $f$: $(-\infty, x_1]$ и $[x_2, x_3]$.

299. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x};$

2) $f(x) = \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}x.$

1) $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, найдем ее производную и определим знаки производной на области определения функции.

1. Найдем область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x^2 - 4x \ge 0$

$x(x - 4) \ge 0$

Решая это неравенство методом интервалов, получаем, что область определения функции $D(f) = (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$.

2. Найдем производную функции.

$f'(x) = (\sqrt{x^2 - 4x})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 4x}} \cdot (x^2 - 4x)' = \frac{2x - 4}{2\sqrt{x^2 - 4x}} = \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x}}$

Производная определена на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(4, +\infty)$.

3. Найдем критические точки функции.

Критические точки — это точки из области определения, в которых производная равна нулю или не существует.

$f'(x) = 0$ при $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$. Однако, точка $x=2$ не принадлежит области определения функции, поэтому она не является критической точкой.

Производная не существует в точках $x=0$ и $x=4$, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль. Эти точки принадлежат области определения и являются критическими.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Знаменатель производной $\sqrt{x^2 - 4x}$ всегда положителен в области ее определения. Следовательно, знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x - 2$.

• На интервале $(-\infty, 0)$: $x - 2 < 0$, значит $f'(x) < 0$. Функция убывает.
• На интервале $(4, +\infty)$: $x - 2 > 0$, значит $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

Так как функция непрерывна в точках $x=0$ и $x=4$, мы можем включить их в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[4, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.

2) $f(x) = \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}x$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, найдем ее производную и определим ее знаки.

1. Найдем область определения функции.

Функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции.

$f'(x) = (\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}x)' = \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. Найдем критические точки функции.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки:

$f'(x) = 0 \Rightarrow \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого уравнения: $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

4. Определим знаки производной на интервалах.

Знак производной $f'(x)$ зависит от того, больше или меньше $\cos x$, чем $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

• Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, то есть $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
  Это неравенство выполняется на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in Z$.
  Следовательно, функция возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi n]$, $n \in Z$.
• Функция убывает, когда $f'(x) < 0$, то есть $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
  Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{6} + 2\pi n, 2\pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n) = (\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in Z$.
  Следовательно, функция убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n]$, $n \in Z$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi n]$ и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{11\pi}{6} + 2\pi n]$, где $n \in Z$.

300. Докажите, что функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 5$ является возрастающей.

Для того чтобы доказать, что функция является возрастающей на всей своей области определения, достаточно показать, что ее производная неотрицательна (в данном случае, строго положительна) для всех действительных значений аргумента.

Заданная функция: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 5$.

Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

1. Найдем производную функции $f(x)$.

Используем правила дифференцирования, в частности, правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = \left(\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 5\right)' = \frac{1}{3}(x^3)' - \frac{1}{2}(x^2)' + (x)' - (5)'$

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x + 1 - 0$

$f'(x) = x^2 - x + 1$

2. Исследуем знак производной $f'(x)$.

Производная $f'(x) = x^2 - x + 1$ представляет собой квадратичную функцию. Ее график - парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).

Чтобы определить знак этой функции, найдем ее дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), квадратный трехчлен $x^2 - x + 1$ не имеет действительных корней, то есть уравнение $x^2 - x + 1 = 0$ не имеет решений. Это означает, что график функции $f'(x)$ не пересекает ось абсцисс (Ox).

Так как ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола лежит выше этой оси. Следовательно, $f'(x) > 0$ для любого действительного значения $x$.

Это также можно показать, выделив полный квадрат:

$f'(x) = x^2 - x + 1 = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + 1 = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0$, то наименьшее значение выражения $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}$ равно $\frac{3}{4}$, что больше нуля. Таким образом, $f'(x) \ge \frac{3}{4} > 0$ при всех $x$.

Поскольку производная функции $f'(x)$ строго положительна на всей области определения, это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: Производная функции $f'(x) = x^2 - x + 1$ положительна при всех $x \in \mathbb{R}$, следовательно, функция $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x - 5$ является возрастающей на всей своей области определения. Что и требовалось доказать.

301. Найдите, при каких значениях $a$ возрастает на $R$ функция:

1) $f(x) = (a-2)x^2 + 4x - 9$;

2) $f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{ax^2}{2} + 4x - 10$.

1) f(x) = (a - 2)x² + 4x - 9;

Для того чтобы функция возрастала на всей числовой прямой $R$, ее производная должна быть неотрицательной для всех $x \in R$, то есть $f'(x) \geq 0$.

Найдем производную данной функции:

$f'(x) = ((a - 2)x^2 + 4x - 9)' = 2(a - 2)x + 4$.

Теперь решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$2(a - 2)x + 4 \geq 0$ для всех $x \in R$.

Это линейное неравенство относительно $x$. Оно будет выполняться для всех $x$ только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю, иначе функция $f'(x)$ будет принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Приравняем коэффициент при $x$ к нулю:

$2(a - 2) = 0$

$a - 2 = 0$

$a = 2$

Проверим, выполняется ли неравенство при $a=2$:

$f'(x) = 2(2 - 2)x + 4 = 0 \cdot x + 4 = 4$.

Так как $4 \geq 0$, неравенство выполняется для всех $x \in R$. Следовательно, функция возрастает на $R$ только при $a=2$. При этом значении $a$ исходная функция становится линейной: $f(x) = 4x - 9$.

Ответ: $a=2$.

2) f(x) = $\frac{x^3}{3} - \frac{ax^2}{2} + 4x - 10$.

Как и в предыдущем случае, для возрастания функции на $R$ необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неотрицательна на всей числовой прямой: $f'(x) \geq 0$ для всех $x \in R$.

Найдем производную:

$f'(x) = (\frac{x^3}{3} - \frac{ax^2}{2} + 4x - 10)' = \frac{3x^2}{3} - \frac{2ax}{2} + 4 = x^2 - ax + 4$.

Теперь решим неравенство $f'(x) \geq 0$:

$x^2 - ax + 4 \geq 0$ для всех $x \in R$.

Это квадратичное неравенство. Графиком функции $y = x^2 - ax + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительное число).

Чтобы такая парабола была всегда неотрицательной (то есть находилась выше оси Ox или касалась ее), соответствующее квадратное уравнение $x^2 - ax + 4 = 0$ должно иметь не более одного действительного корня. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ меньше или равен нулю ($D \leq 0$).

Найдем дискриминант:

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16$.

Решим неравенство $D \leq 0$:

$a^2 - 16 \leq 0$

$(a - 4)(a + 4) \leq 0$

Решением этого неравенства является промежуток между корнями $a = -4$ и $a = 4$, включая концы.

$-4 \leq a \leq 4$.

Ответ: $a \in [-4; 4]$.

302. На рисунке 10 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-11; 9]$. Укажите:

1) критические точки функции;

2) точки минимума;

3) точки максимума.

Рис. 10

1) критические точки функции

Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции $f'(x)$ равна нулю или не существует. Для функции, график которой изображён, производная существует во всех внутренних точках. Следовательно, критическими точками будут абсциссы точек, в которых касательная к графику горизонтальна. Это соответствует точкам локальных максимумов и минимумов (точкам экстремума).
Найдём абсциссы всех "вершин" и "впадин" на графике:
- Точка локального максимума при $x = -8$.
- Точка локального минимума при $x = -5$.
- Точка локального максимума при $x = 2$.
- Точка локального минимума при $x = 7$.
Таким образом, критическими точками функции являются абсциссы всех её точек экстремума.

Ответ: -8; -5; 2; 7.

2) точки минимума

Точки минимума — это абсциссы точек, в которых функция достигает локального минимума. На графике это абсциссы "впадин", где убывание функции сменяется возрастанием.
Из графика видно, что функция имеет локальные минимумы в точках с абсциссами $x = -5$ и $x = 7$.

Ответ: -5; 7.

3) точки максимума

Точки максимума — это абсциссы точек, в которых функция достигает локального максимума. На графике это абсциссы "вершин", где возрастание функции сменяется убыванием.
Из графика видно, что функция имеет локальные максимумы в точках с абсциссами $x = -8$ и $x = 2$.

Ответ: -8; 2.