Страница 59 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. На рисунке 13 изображён график функции $y = f(x)$.

Постройте график функции:

1) $y = f(x) + 1$;

2) $y = f(x - 1)$;

3) $y = 2 - f(x)$;

4) $y = f\left(-\frac{x}{2}\right)$.

Рис. 13

Для построения графика функции $y = f(x) + 1$ необходимо график функции $y = f(x)$ сместить параллельным переносом на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (оси Oy). Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x_0, y_0 + 1)$. Например, точка с координатами $(-1, 0)$ на исходном графике переместится в точку $(-1, 1)$, а точка $(-5, 1)$ переместится в точку $(-5, 2)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ сдвигается на 1 единицу вверх.

Для построения графика функции $y = f(x - 1)$ необходимо график функции $y = f(x)$ сместить параллельным переносом на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox). Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x_0 + 1, y_0)$. Например, точка с координатами $(-1, 0)$ переместится в точку $(0, 0)$, а точка $(-5, 1)$ переместится в точку $(-4, 1)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ сдвигается на 1 единицу вправо.

Для построения графика функции $y = 2 - f(x)$ или, что то же самое, $y = -f(x) + 2$, необходимо выполнить два последовательных преобразования. Сначала график функции $y = f(x)$ отражается симметрично относительно оси Ox. При этом каждая точка $(x_0, y_0)$ переходит в точку $(x_0, -y_0)$. Затем полученный график сдвигается на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. В результате точка $(x_0, -y_0)$ переходит в точку $(x_0, -y_0 + 2)$. Например, точка $(-1, 0)$ сначала отразится в саму себя, а затем сдвинется в точку $(-1, 2)$. Точка $(-5, 1)$ сначала отразится в точку $(-5, -1)$, а затем сдвинется в точку $(-5, 1)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ отражается симметрично относительно оси Ox и затем сдвигается на 2 единицы вверх.

Для построения графика функции $y = f(-\frac{x}{2})$ необходимо выполнить два последовательных преобразования над графиком $y = f(x)$. Во-первых, произвести отражение относительно оси Oy (замена $x$ на $-x$). Во-вторых, произвести растяжение графика от оси Oy в 2 раза (замена $x$ на $x/2$). Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ исходного графика перейдет в точку $(x, y)$, где $y = y_0$ и $-\frac{x}{2} = x_0$, что эквивалентно $x = -2x_0$. Координата $y$ не меняется, а координата $x$ умножается на $-2$. Например, точка $(-1, 0)$ перейдет в точку $(-2 \cdot (-1), 0) = (2, 0)$, а точка $(-5, 1)$ перейдет в точку $(-2 \cdot (-5), 1) = (10, 1)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ отражается симметрично относительно оси Oy и затем растягивается в 2 раза вдоль оси Ox.

18. Постройте график функции:

1) $y = \frac{4}{x}$;

2) $y = \frac{4}{x} + 1$;

3) $y = \frac{4}{x - 2}$;

4) $y = \frac{4}{2 - x}$;

5) $y = \frac{2x}{x - 2}$.

1) $y = \frac{4}{x}$

Это канонический вид функции обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. Построим её по шагам:

Шаг 1: Определение асимптот.
Функция не определена в точке $x=0$, так как знаменатель обращается в ноль. Следовательно, прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой. При $x \to \pm\infty$, значение $y \to 0$. Следовательно, прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

Шаг 2: Расположение ветвей.
Коэффициент пропорциональности $k=4$ положителен ($k > 0$), поэтому ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях.

Шаг 3: Нахождение контрольных точек.
Составим таблицу значений для каждой ветви:

• Для I четверти:
  • если $x=1$, то $y = 4/1 = 4$; Точка (1, 4).
  • если $x=2$, то $y = 4/2 = 2$; Точка (2, 2).
  • если $x=4$, то $y = 4/4 = 1$; Точка (4, 1).
• Для III четверти (используя симметрию относительно начала координат):
  • если $x=-1$, то $y = 4/(-1) = -4$; Точка (-1, -4).
  • если $x=-2$, то $y = 4/(-2) = -2$; Точка (-2, -2).
  • если $x=-4$, то $y = 4/(-4) = -1$; Точка (-4, -1).

Шаг 4: Построение графика.
На координатной плоскости чертим оси координат, которые являются асимптотами. Затем отмечаем найденные точки и соединяем их плавными линиями, получая две ветви гиперболы, которые приближаются к асимптотам, но не пересекают их.

Ответ: Графиком функции является гипербола с центром симметрии в начале координат, асимптотами $x=0$ и $y=0$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.

2) $y = \frac{4}{x} + 1$

Этот график можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ (рассмотренного в пункте 1) путем его сдвига (параллельного переноса) на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

Шаг 1: Определение асимптот.
Вертикальная асимптота не изменяется, так как сдвиг происходит только по вертикали: $x=0$.
Горизонтальная асимптота сдвигается вместе с графиком на 1 единицу вверх: $y=1$.

Шаг 2: Нахождение контрольных точек.
Возьмем ключевые точки графика $y = \frac{4}{x}$ и увеличим их ординаты (координаты $y$) на 1:

• (1, 4) $\rightarrow$ (1, 4+1) = (1, 5).
• (2, 2) $\rightarrow$ (2, 2+1) = (2, 3).
• (4, 1) $\rightarrow$ (4, 1+1) = (4, 2).
• (-1, -4) $\rightarrow$ (-1, -4+1) = (-1, -3).
• (-2, -2) $\rightarrow$ (-2, -2+1) = (-2, -1).
• (-4, -1) $\rightarrow$ (-4, -1+1) = (-4, 0). Эта точка является точкой пересечения с осью Ox.

Шаг 3: Построение графика.
На координатной плоскости чертим новые асимптоты: $x=0$ и $y=1$. Затем отмечаем полученные точки и строим ветви гиперболы относительно новых асимптот.

Ответ: Графиком функции является гипербола, полученная сдвигом графика $y=\frac{4}{x}$ на 1 единицу вверх. Ее асимптоты - прямые $x=0$ и $y=1$.

3) $y = \frac{4}{x-2}$

Этот график можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем его сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

Шаг 1: Определение асимптот.
Вертикальная асимптота сдвигается вместе с графиком на 2 единицы вправо: $x=2$.
Горизонтальная асимптота не изменяется, так как сдвиг происходит только по горизонтали: $y=0$.

Шаг 2: Нахождение контрольных точек.
Возьмем ключевые точки графика $y = \frac{4}{x}$ и увеличим их абсциссы (координаты $x$) на 2:

• (1, 4) $\rightarrow$ (1+2, 4) = (3, 4).
• (2, 2) $\rightarrow$ (2+2, 2) = (4, 2).
• (4, 1) $\rightarrow$ (4+2, 1) = (6, 1).
• (-1, -4) $\rightarrow$ (-1+2, -4) = (1, -4).
• (-2, -2) $\rightarrow$ (-2+2, -2) = (0, -2). Эта точка является точкой пересечения с осью Oy.

Шаг 3: Построение графика.
На координатной плоскости чертим новые асимптоты: $x=2$ и $y=0$. Затем отмечаем полученные точки и строим ветви гиперболы относительно новых асимптот.

Ответ: Графиком функции является гипербола, полученная сдвигом графика $y=\frac{4}{x}$ на 2 единицы вправо. Ее асимптоты - прямые $x=2$ и $y=0$.

4) $y = \frac{4}{2-x}$

Преобразуем функцию: $y = \frac{4}{2-x} = \frac{4}{-(x-2)} = -\frac{4}{x-2}$.
Этот график можно получить из графика $y = \frac{4}{x-2}$ (рассмотренного в пункте 3) путем его зеркального отражения относительно оси Ox. Или, что то же самое, получить из графика $y = \frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо и отражением относительно оси Ox.

Шаг 1: Определение асимптот.
Асимптоты остаются такими же, как у функции $y = \frac{4}{x-2}$: вертикальная $x=2$ и горизонтальная $y=0$.

Шаг 2: Расположение ветвей.
Из-за знака "минус" перед дробью ветви гиперболы будут располагаться во II и IV четвертях относительно системы координат с центром в точке пересечения асимптот (2, 0).

Шаг 3: Нахождение контрольных точек.
Возьмем ключевые точки графика $y = \frac{4}{x-2}$ и изменим знак их ординат на противоположный:

• (3, 4) $\rightarrow$ (3, -4).
• (4, 2) $\rightarrow$ (4, -2).
• (1, -4) $\rightarrow$ (1, 4).
• (0, -2) $\rightarrow$ (0, 2). Эта точка является точкой пересечения с осью Oy.

Шаг 4: Построение графика.
Чертим асимптоты $x=2$ и $y=0$. Отмечаем точки и строим ветви гиперболы во II и IV "новых" четвертях.

Ответ: Графиком функции является гипербола с асимптотами $x=2$ и $y=0$. Ветви расположены во второй и четвертой четвертях относительно центра симметрии (2,0).

5) $y = \frac{2x}{x-2}$

Для построения графика преобразуем данную дробно-рациональную функцию, выделив целую часть:

$y = \frac{2x}{x-2} = \frac{2x - 4 + 4}{x-2} = \frac{2(x-2) + 4}{x-2} = \frac{2(x-2)}{x-2} + \frac{4}{x-2} = 2 + \frac{4}{x-2}$.

Получили функцию $y = \frac{4}{x-2} + 2$. Ее график можно получить из графика $y = \frac{4}{x}$ путем двух последовательных сдвигов: на 2 единицы вправо вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Шаг 1: Определение асимптот.
Вертикальная асимптота: $x=2$.
Горизонтальная асимптота: $y=2$.

Шаг 2: Нахождение контрольных точек.
Возьмем ключевые точки графика $y = \frac{4}{x}$ и применим к ним сдвиги: $(x, y) \rightarrow (x+2, y+2)$.

• (2, 2) $\rightarrow$ (2+2, 2+2) = (4, 4).
• (4, 1) $\rightarrow$ (4+2, 1+2) = (6, 3).
• (-2, -2) $\rightarrow$ (-2+2, -2+2) = (0, 0). Это точка пересечения с обеими осями координат (начало координат).
• (-4, -1) $\rightarrow$ (-4+2, -1+2) = (-2, 1).

Шаг 3: Построение графика.
На координатной плоскости чертим новые асимптоты $x=2$ и $y=2$. Отмечаем найденные точки, включая начало координат, и строим ветви гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола, полученная из графика $y=\frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо и 2 единицы вверх. Ее асимптоты - прямые $x=2$ и $y=2$. График проходит через начало координат.

19. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{x - 4}$;

2) $y = \sqrt{x} - 4$;

3) $y = \sqrt{x - 4} + 2$;

4) $y = 3 - \sqrt{x + 1}$;

5) $y = 3 - \sqrt{-x + 1}$.

Для построения графиков данных функций используется метод геометрических преобразований графика базовой функции $y = \sqrt{x}$.

1) $y = \sqrt{x} - 4$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем его сдвига вдоль оси Oy.

Алгоритм построения:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, выходящая из начала координат. Контрольные точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$.
2. Выполняем параллельный перенос (сдвиг) построенного графика на 4 единицы вниз вдоль оси Oy. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y = \sqrt{x}$ переходит в точку $(x, y - 4)$.

Таким образом, начальная точка графика переместится из $(0, 0)$ в $(0, -4)$. Контрольные точки для нового графика: $(0, -4)$, $(1, -3)$, $(4, -2)$, $(9, -1)$.

Область определения: $x \geq 0$, то есть $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений: $y \geq -4$, то есть $E(y) = [-4; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 4$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 4 единицы вниз вдоль оси ординат. Начальная точка графика — $(0, -4)$.

2) $y = \sqrt{x - 4}$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем его сдвига вдоль оси Ox.

Алгоритм построения:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$ с контрольными точками $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$.
2. Выполняем параллельный перенос (сдвиг) построенного графика на 4 единицы вправо вдоль оси Ox. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y = \sqrt{x}$ переходит в точку $(x + 4, y)$.

Начальная точка графика переместится из $(0, 0)$ в $(4, 0)$. Контрольные точки для нового графика: $(4, 0)$, $(5, 1)$, $(8, 2)$, $(13, 3)$.

Область определения: $x - 4 \geq 0 \implies x \geq 4$, то есть $D(y) = [4; +\infty)$.

Область значений: $y \geq 0$, то есть $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 4}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс. Начальная точка графика — $(4, 0)$.

3) $y = \sqrt{x - 4} + 2$

График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем его сдвигов вдоль обеих координатных осей.

Алгоритм построения:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.
2. Сдвигаем его на 4 единицы вправо вдоль оси Ox, получая график функции $y = \sqrt{x - 4}$.
3. Затем сдвигаем полученный график на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Эти два сдвига можно объединить в один: перенос графика $y = \sqrt{x}$ на вектор $(4, 2)$. Начальная точка $(0, 0)$ переместится в точку $(4, 2)$. Контрольные точки для нового графика: $(4, 2)$, $(5, 3)$, $(8, 4)$.

Область определения: $x - 4 \geq 0 \implies x \geq 4$, то есть $D(y) = [4; +\infty)$.

Область значений: $\sqrt{x-4} \ge 0 \implies \sqrt{x-4} + 2 \ge 2$, то есть $E(y) = [2; +\infty)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x - 4} + 2$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 4 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Начальная точка графика — $(4, 2)$.

4) $y = 3 - \sqrt{x + 1}$

Запишем функцию в виде $y = -\sqrt{x + 1} + 3$. График этой функции можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ с помощью нескольких преобразований.

Алгоритм построения:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.
2. Сдвигаем его на 1 единицу влево вдоль оси Ox, получая график $y = \sqrt{x + 1}$. Начальная точка смещается в $(-1, 0)$.
3. Отражаем полученный график симметрично относительно оси Ox, получая график $y = -\sqrt{x + 1}$. Ветвь будет направлена вниз.
4. Сдвигаем последний график на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Начальная точка графика после всех преобразований переместится в $(-1, 3)$. Контрольные точки: $(-1, 3)$, $(0, 2)$, $(3, 1)$, $(8, 0)$.

Область определения: $x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1$, то есть $D(y) = [-1; +\infty)$.

Область значений: $\sqrt{x+1} \ge 0 \implies -\sqrt{x+1} \le 0 \implies 3-\sqrt{x+1} \le 3$, то есть $E(y) = (-\infty; 3]$.

Ответ: График функции $y = 3 - \sqrt{x + 1}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ сдвигом на 1 единицу влево, симметричным отражением относительно оси Ox и сдвигом на 3 единицы вверх. Начальная точка графика — $(-1, 3)$, ветвь направлена вниз и вправо.

5) $y = 3 - \sqrt{-x + 1}$

Запишем функцию в виде $y = -\sqrt{-(x - 1)} + 3$. График строится преобразованиями из графика $y = \sqrt{x}$.

Алгоритм построения:

1. Строим график базовой функции $y = \sqrt{x}$.
2. Отражаем его симметрично относительно оси Oy, получая график $y = \sqrt{-x}$. Ветвь будет направлена влево из начала координат.
3. Сдвигаем полученный график на 1 единицу вправо вдоль оси Ox, получая $y = \sqrt{-(x-1)} = \sqrt{-x+1}$. Начальная точка смещается в $(1, 0)$.
4. Отражаем последний график симметрично относительно оси Ox, получая $y = -\sqrt{-x+1}$. Ветвь будет направлена вниз и влево из точки $(1, 0)$.
5. Сдвигаем график на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

Начальная точка графика после всех преобразований будет $(1, 3)$. Контрольные точки: $(1, 3)$, $(0, 2)$, $(-3, 1)$, $(-8, 0)$.

Область определения: $-x + 1 \geq 0 \implies 1 \geq x$, то есть $D(y) = (-\infty; 1]$.

Область значений: $\sqrt{-x+1} \ge 0 \implies -\sqrt{-x+1} \le 0 \implies 3-\sqrt{-x+1} \le 3$, то есть $E(y) = (-\infty; 3]$.

Ответ: График функции $y = 3 - \sqrt{-x + 1}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ отражением относительно оси Oy, сдвигом на 1 единицу вправо, отражением относительно оси Ox и сдвигом на 3 единицы вверх. Начальная точка графика — $(1, 3)$, ветвь направлена вниз и влево.

20. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{6x};$

2) $y = \sqrt{-\frac{1}{2}x}.$

1) $y = \sqrt{6x}$

Чтобы построить график функции $y = \sqrt{6x}$, сначала определим ее область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $6x \ge 0$, что означает $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции — это луч $[0, +\infty)$. Область значений функции, так как корень арифметический, также неотрицательна: $y \ge 0$. Следовательно, график функции расположен в первой координатной четверти.

Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему. Выберем такие значения $x$, чтобы было удобно извлекать квадратный корень из выражения $6x$:

• При $x=0$, $y = \sqrt{6 \cdot 0} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x=1.5$, $y = \sqrt{6 \cdot 1.5} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(1.5; 3)$.
• При $x=6$, $y = \sqrt{6 \cdot 6} = \sqrt{36} = 6$. Точка $(6; 6)$.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой. График функции является ветвью параболы, выходящей из начала координат.

Ответ: График функции $y = \sqrt{6x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти. Для построения используются ключевые точки, например, (0; 0), (1.5; 3) и (6; 6).

2) $y = \sqrt{-\frac{1}{2}x}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{-\frac{1}{2}x}$ найдем ее область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $-\frac{1}{2}x \ge 0$. Умножив неравенство на -2 и изменив знак на противоположный, получим $x \le 0$. Таким образом, область определения функции — это луч $(-\infty, 0]$. Область значений: $y \ge 0$. Следовательно, график функции расположен во второй координатной четверти.

Составим таблицу значений, выбирая удобные для вычислений значения $x \le 0$:

• При $x=0$, $y = \sqrt{-\frac{1}{2} \cdot 0} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(0; 0)$.
• При $x=-2$, $y = \sqrt{-\frac{1}{2} \cdot (-2)} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-2; 1)$.
• При $x=-8$, $y = \sqrt{-\frac{1}{2} \cdot (-8)} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-8; 2)$.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой. График функции также является ветвью параболы, которая начинается в точке (0; 0) и уходит влево и вверх.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-\frac{1}{2}x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат и расположенная во второй координатной четверти. Для построения используются ключевые точки, например, (0; 0), (-2; 1) и (-8; 2).

21. Постройте график функции:

1) $y = (4x - 1)^2 + 2;$

2) $y = \left(\frac{1}{4}x - 1\right)^2 + 2.$

1) $y = (4x - 1)^2 + 2$
Для построения графика данной функции преобразуем ее к виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины параболы.
Вынесем коэффициент 4 за скобки внутри выражения в квадрате:
$y = (4(x - \frac{1}{4}))^2 + 2$
$y = 4^2(x - \frac{1}{4})^2 + 2$
$y = 16(x - \frac{1}{4})^2 + 2$
График этой функции — парабола. Он может быть получен из графика базовой параболы $y = x^2$ с помощью следующих геометрических преобразований:
1. Растяжение вдоль оси Oy в 16 раз (график становится "уже"). Получаем функцию $y = 16x^2$.
2. Сдвиг вправо вдоль оси Ox на $\frac{1}{4}$ единицы. Получаем функцию $y = 16(x - \frac{1}{4})^2$.
3. Сдвиг вверх вдоль оси Oy на 2 единицы. Получаем искомую функцию $y = 16(x - \frac{1}{4})^2 + 2$.
Определим ключевые точки и характеристики для построения графика:
- Координаты вершины параболы: $(x_0, y_0) = (\frac{1}{4}, 2)$.
- Ось симметрии параболы: $x = \frac{1}{4}$.
- Так как коэффициент $a=16 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
- Найдем точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$ в уравнение:
$y = (4 \cdot 0 - 1)^2 + 2 = (-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$.
Таким образом, точка пересечения с осью Oy — это $(0, 3)$.
- Найдем точку, симметричную точке $(0, 3)$ относительно оси симметрии $x=\frac{1}{4}$. Ее абсцисса будет $x = \frac{1}{4} + (\frac{1}{4} - 0) = \frac{1}{2}$, а ордината останется той же. Симметричная точка — $(\frac{1}{2}, 3)$.
Для построения графика необходимо отметить на координатной плоскости вершину $(\frac{1}{4}, 2)$, точки $(0, 3)$ и $(\frac{1}{2}, 3)$ и соединить их плавной кривой.
Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(\frac{1}{4}; 2)$, ветви которой направлены вверх. График получен из параболы $y=16x^2$ сдвигом на $\frac{1}{4}$ вправо по оси Ox и на 2 вверх по оси Oy.

2) $y = (\frac{1}{4}x - 1)^2 + 2$
Аналогично первому пункту, преобразуем функцию к стандартному виду $y = a(x - x_0)^2 + y_0$.
Вынесем коэффициент $\frac{1}{4}$ за скобки внутри выражения в квадрате:
$y = (\frac{1}{4}(x - 4))^2 + 2$
$y = (\frac{1}{4})^2(x - 4)^2 + 2$
$y = \frac{1}{16}(x - 4)^2 + 2$
График этой функции — парабола, полученная из графика $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:
1. Сжатие вдоль оси Oy в 16 раз (график становится "шире"). Получаем функцию $y = \frac{1}{16}x^2$.
2. Сдвиг вправо вдоль оси Ox на 4 единицы. Получаем функцию $y = \frac{1}{16}(x - 4)^2$.
3. Сдвиг вверх вдоль оси Oy на 2 единицы. Получаем искомую функцию $y = \frac{1}{16}(x - 4)^2 + 2$.
Определим ключевые точки и характеристики для построения графика:
- Координаты вершины параболы: $(x_0, y_0) = (4, 2)$.
- Ось симметрии параболы: $x = 4$.
- Так как коэффициент $a=\frac{1}{16} > 0$, ветви параболы направлены вверх.
- Найдем точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$ в уравнение:
$y = (\frac{1}{4} \cdot 0 - 1)^2 + 2 = (-1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3$.
Таким образом, точка пересечения с осью Oy — это $(0, 3)$.
- Найдем точку, симметричную точке $(0, 3)$ относительно оси симметрии $x=4$. Ее абсцисса будет $x = 4 + (4 - 0) = 8$, а ордината останется той же. Симметричная точка — $(8, 3)$.
Для построения графика необходимо отметить на координатной плоскости вершину $(4, 2)$, точки $(0, 3)$ и $(8, 3)$ и соединить их плавной кривой.
Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(4; 2)$, ветви которой направлены вверх. График получен из параболы $y=\frac{1}{16}x^2$ сдвигом на 4 вправо по оси Ox и на 2 вверх по оси Oy.

22. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{2x + 1}$;

2) $y = \frac{1}{1 - 2x}$;

3) $y = \frac{4}{2x - 1} + 2$.

1) $y = \frac{1}{2x+1}$

Графиком данной функции является гипербола. Для ее построения определим основные характеристики.

Область определения:
Знаменатель не может быть равен нулю: $2x+1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -0.5$.

Асимптоты:
Вертикальная асимптота — прямая, где знаменатель обращается в ноль: $x = -0.5$.
Горизонтальная асимптота — прямая $y = 0$, так как при $x \to \pm\infty$ значение функции стремится к нулю.

Точки для построения:

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{2 \cdot 0 + 1} = 1$. Точка $(0; 1)$.
• При $x = -1$, $y = \frac{1}{2 \cdot (-1) + 1} = -1$. Точка $(-1; -1)$.
• При $x = 0.5$, $y = \frac{1}{2 \cdot 0.5 + 1} = \frac{1}{2} = 0.5$. Точка $(0.5; 0.5)$.
• При $x = -1.5$, $y = \frac{1}{2 \cdot (-1.5) + 1} = -\frac{1}{2} = -0.5$. Точка $(-1.5; -0.5)$.

Построение графика:
В системе координат строим асимптоты $x=-0.5$ и $y=0$. Затем отмечаем вычисленные точки и соединяем их плавными линиями, получая две ветви гиперболы. Ветви расположены в первой и третьей четвертях относительно точки пересечения асимптот $(-0.5; 0)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x=-0.5$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. График проходит через точки $(0; 1)$ и $(-1; -1)$.

2) $y = \frac{1}{1-2x}$

Графиком данной функции является гипербола.

Область определения:
Знаменатель не равен нулю: $1-2x \neq 0$, следовательно, $x \neq 0.5$.

Асимптоты:
Вертикальная асимптота: $x = 0.5$.
Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

Точки для построения:

• При $x = 0$, $y = \frac{1}{1 - 2 \cdot 0} = 1$. Точка $(0; 1)$.
• При $x = 1$, $y = \frac{1}{1 - 2 \cdot 1} = -1$. Точка $(1; -1)$.
• При $x = -0.5$, $y = \frac{1}{1 - 2 \cdot (-0.5)} = \frac{1}{2} = 0.5$. Точка $(-0.5; 0.5)$.
• При $x = 1.5$, $y = \frac{1}{1 - 2 \cdot 1.5} = -\frac{1}{2} = -0.5$. Точка $(1.5; -0.5)$.

Построение графика:
В системе координат строим асимптоты $x=0.5$ и $y=0$. Отмечаем точки и соединяем их плавными кривыми. Функцию можно представить как $y = -\frac{1}{2x-1}$. Из-за знака минус ветви гиперболы будут расположены во второй и четвертой четвертях относительно точки пересечения асимптот $(0.5; 0)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x=0.5$ и горизонтальной асимптотой $y=0$. Ветви расположены во второй и четвертой четвертях относительно асимптот. График проходит через точки $(0; 1)$ и $(1; -1)$.

3) $y = \frac{4}{2x-1} + 2$

Графиком функции является гипербола. Преобразуем функцию: $y = \frac{4}{2(x-0.5)} + 2 = \frac{2}{x-0.5} + 2$. Это график функции $y = \frac{2}{x}$, смещенный на $0.5$ единиц вправо и на $2$ единицы вверх.

Область определения:
$2x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 0.5$.

Асимптоты:
Вертикальная асимптота (определяется сдвигом по горизонтали): $x = 0.5$.
Горизонтальная асимптота (определяется сдвигом по вертикали): $y = 2$.

Точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{4}{0-1} + 2 = -4 + 2 = -2$. Точка $(0; -2)$.
• С осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{4}{2x-1} + 2 \implies -2 = \frac{4}{2x-1} \implies -2(2x-1)=4 \implies -4x+2=4 \implies -4x=2 \implies x=-0.5$. Точка $(-0.5; 0)$.

Дополнительные точки:

• При $x = 1$, $y = \frac{4}{2 \cdot 1 - 1} + 2 = 4 + 2 = 6$. Точка $(1; 6)$.
• При $x = 2.5$, $y = \frac{4}{2 \cdot 2.5 - 1} + 2 = \frac{4}{4} + 2 = 3$. Точка $(2.5; 3)$.

Построение графика:
В системе координат строим асимптоты $x=0.5$ и $y=2$. Отмечаем точки пересечения с осями и дополнительные точки. Соединяем их, получая две ветви гиперболы, расположенные в первой и третьей четвертях относительно новых асимптот.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x=0.5$ и горизонтальной асимптотой $y=2$. График пересекает оси координат в точках $(0; -2)$ и $(-0.5; 0)$.