Номер 26, страница 60 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. Какие из функций являются обратимыми:

1) $y = \frac{1}{x}$;

2) $y = x^2, x \in [-3; 3]$;

3) $y = x^2, x \in (-\infty; -1]$;

4) $y = x^2, x \in (-\infty; 1]$?

Функция является обратимой, если она является инъективной (взаимно-однозначной), то есть каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента. Достаточным условием обратимости является строгая монотонность функции на всей ее области определения (она должна быть либо строго возрастающей, либо строго убывающей).

1) $y = \frac{1}{x}$

Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; \infty)$.
Чтобы проверить, является ли функция обратимой, проверим ее на инъективность. Предположим, что $f(x_1) = f(x_2)$ для некоторых $x_1, x_2$ из области определения. $\frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2}$ Из этого равенства следует, что $x_1 = x_2$. Это означает, что разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, следовательно, функция инъективна и обратима на всей своей области определения.
Также можно проанализировать производную: $y' = -\frac{1}{x^2}$. Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x \neq 0$, производная $y' < 0$ на всей области определения. Это означает, что функция строго убывает на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; \infty)$, что подтверждает ее инъективность.

Ответ: функция является обратимой.

2) $y = x^2, x \in [-3; 3]$

Функция определена на отрезке $[-3; 3]$. Проверим ее на строгую монотонность на этом отрезке. Производная функции: $y' = 2x$.

• При $x \in [-3; 0)$, производная $y' < 0$, значит, функция строго убывает.
• При $x \in (0; 3]$, производная $y' > 0$, значит, функция строго возрастает.

Поскольку на своей области определения функция сначала убывает, а затем возрастает, она не является строго монотонной и, следовательно, не является обратимой. Например, возьмем два разных значения аргумента из этого отрезка: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. $y(-2) = (-2)^2 = 4$ $y(2) = 2^2 = 4$ Так как $y(-2) = y(2)$ при $-2 \neq 2$, функция не является инъективной.

Ответ: функция не является обратимой.

3) $y = x^2, x \in (-\infty; -1]$

Функция определена на промежутке $(-\infty; -1]$. Проверим ее на строгую монотонность. Производная функции: $y' = 2x$. Для любого $x$ из области определения $(-\infty; -1]$, значение $x$ отрицательно ($x \le -1$). Следовательно, производная $y' = 2x$ также будет отрицательной ($y' \le -2$). Поскольку производная отрицательна на всей области определения, функция является строго убывающей. Строго монотонная функция является обратимой.

Ответ: функция является обратимой.

4) $y = x^2, x \in (-\infty; 1]$

Функция определена на промежутке $(-\infty; 1]$. Проверим ее на строгую монотонность. Производная функции: $y' = 2x$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, производная $y' < 0$, значит, функция строго убывает.
• При $x \in (0; 1]$, производная $y' > 0$, значит, функция строго возрастает.

На своей области определения функция не является строго монотонной, следовательно, она не является обратимой. Например, возьмем два разных значения аргумента из этого промежутка: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. $y(-1) = (-1)^2 = 1$ $y(1) = 1^2 = 1$ Так как $y(-1) = y(1)$ при $-1 \neq 1$, функция не является инъективной.

Ответ: функция не является обратимой.